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选修2-2《导数及其应用》


定积分的计算(二)
定理回顾 基础练习

能力练习

介绍求定积分 的换元法

课外练习

疑难解答

作业:有空就多练几个定积分的计算,自学《随堂 通》第 47 页至第 51 页的定积分练习.

定积分的计算(二)
上一节我们认识了微积分基本定理:
间 ? a , b? 上的连续函数, 并且 F ?( x ) ? f ( x ) , 那么定积分 已知 F ( x ) 是在 ? a , b? 上的可导函数, 如果 f ( x ) 是区

?

b

a

f ( x )dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) ,又叫做牛顿─莱布 a

尼兹公式.其中把 F ( x ) 叫做 f ( x ) 的原函数, f ( x ) 就是 F ( x ) 的导函数. 这一定理的发现是微积分中最重要、最辉煌的成果, 因为它揭示了导数和定积分之间的内在联系,提供了计 算定积分的有效方法. 说明积分运算是求导运算的逆运算,所以,有什么样 的求导公式就相应地有怎样的定积分计算公式. 这节课,我们主要就定积分的运算做训练.

基础练习: 1.计算下列定积分:

?

b

a

f ( x )dx ? F ( x ) | ? F (b) ? F (a )
b a

(1)? sin xdx
0

?

(2) ? 2 cos xdx
0

?

解:(1)∵(cos x )? ? ? sin x ⑵ ? cos xdx ? (sin x ) | ? 1
?
0

? 2 0

? 2 0

? ? sin xdx ? (? cos x)| ? ? cos ? ? (? cos0) ? 1 ? 1 ? 2
? 0
?

思考:(a )? sin xdx的几何意义是什么? 0 2? 阅读课本第60页 -2 (b)? sin xdx ? _______ ? 至第61页的内容,

0 (c )? sin xdx ? _______
0

2?

然后做练习

阅读课本第60页至第61页的内容,
课本练习第 61 页答案: 计算下列定积分: 50 5 5 =50 = 2 ⑴ ? 4xdx ⑵ ? ( x ? 2 x )dx 3 0 0 2 4 2 5 ⑷ 3 (3 x 2 ? 2 x ? 1)dx ⑶ ? ( x ? 1)dx = =24 ? ??1 1 3 3 2 2 1 1 ⑸ ? ( x ? )dx = 3 ? ln 2 ⑹ ? 2 dx = 1 1 1 x x 2 2 ? 0 =0 ⑺ ? cos xdx ⑻ ? sin xdx =-2
0 ??

能力练习: 2.计算下列定积分: 1 x 2 ⑴? dx 0 1 ? x2 ⑶ ? sin xdx
2 -?

⑵? e
1 ?1

?2 x

dx

?

3:计算

?

2

0

? 2 x (0 ≤ x ? 1) ? f ( x )dx, 其中 f ( x ) ? ? x 2 (1 ≤ x ≤ 2) ? ?2
2(1)(2)(3)答案 3答案

2.计算下列定积分: 1 x 2 ⑴? dx 2 0 1? x x 2 解:∵ ( ? 1 ? x )? ? 1 1 ? x2 x 2 ∴? dx 2 0 1? x 1 3 2 2 = ? 1 ? x |0 = 1 ? 2 ? sin2 xdx ⑶?
-?

⑵ ? e ?2 x dx
1 ?1

1 ?2 x 解:∵ ( ? e )? ? e ?2 x 2

∴? e
1 ?1

?2 x

1 ?2 x dx = ? e 2

1

?1

1 2 1 ?2 = e ? e 2 2

? 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x dx = ? dx ? ? dx 解: ? sin xdx ? ? ?π -? 2 -? -? 2 2 =? ? 0 ? ?

?

2

π

3:计算

?

2

0

? 2 x (0 ≤ x ? 1) f ( x )dx, 其中 f ( x ) ? ? 2 ? 2 x (1 ≤ x ≤ 2)



?

2

0

17 f ( x )dx ? ? 2xdx ? ? 2 x dx? 1 0 3
1
2 2

发展性训练 4.试计算下列定积分的值: ? 1 2 2 (1) sin x cos xdx 0 3

?

(2) ?

a ?a

? a2 a ? x dx
2 2

2

分析:注意到复合函数有下面求导法则:
b b a a

? x y? ? y? ? ?? x

? x ∴ ? y? dx ? ? y? ? ? ? dx ① x
? 得② ? y? dx ? ? y? d ? 其中 m ? ? (a ) , n ? ? (b) x
b n a m

说明: ⑴①式从左边变到右边说明可以先积出一个中 间变量,这样就容易看出导函数.(凑型法) ⑵②式从右边变到左边说明可以进行积分时可换元, 但要注意上限、下限做相应变化

课外练习:
1.设f(x)=e|x|,求

?

4

?2

f ( x )dx

e4+e2-2

2. 直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为 3 4 面积相等的两部分,求k的值.

k ? 1?

3.试计算

?

e 1

x ln xdx.

e ?1 ? 4
2

2

作业:有空就多练几个定积分的计算,自学《随堂 通》第 47 页至第 51 页的定积分练习.

《随堂通》第 51 页(8)疑难解答: 求: ?
ln 2 0

e ? 1dx (本题超出我们所学知识范围)
x

t ?1 ∴ ? e ? 1dx = ? t ? 1d ln t = ? dt 1 0 1 t ? 再令 ? ? t ? 1 ,则 t ? ? ? 1 ,且当 t ? ?1,2? 时 ? ??0,1?
ln2 x 2

解:令 t ? e ,则 x ? ln t ,且当 x??0,ln2? 时 t ? ?1,2?
x
2

1 ? 1 2? 2 ∴原式= ? 2 d ( ? ? 1) = ? 2 d ? = ? (2 ? 2 )d ? 0 ? ?1 0 0 ? ?1 ? ?1 1 1 1 ? 1 = ? 2 d ? ? ? 2 d ? = 2 ? arc tan ? ?0 = 2 ? 0 0 ? ?1 4 1

1

2


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