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《16.2 二次根式的乘除(第1课时)》教学设计案例


《16.2 二次根式的乘除(第 1 课时)》教学设计案例
一、内容和内容解析 1.内容 二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,化简二次根式. 2.内容解析 二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章,因此承担着整理“数与式”的内容、 方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据, 因此教材通 过“探究”栏目,引导学生利用二次根式的性质,从具

体数字运算中发现规律,进而归纳得 出二次根式的乘法法则. 基于以上分析, 确定本节课的教学重点: 探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的 性质. 二、目标和目标解析 1.教学目标 (1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二 次根式的乘法运算; (2)会用公式化简二次根式. 2.目标解析 (1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广,得出乘法法则的内容; (2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,化简二次根式. 三、教学问题诊断分析 本节课的学习中, 学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后, 对于何时该选用何 公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关,由 于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系, 例如, 整式中的乘法公式在二次根式的运算 中也成立,在教学中,要多从联系性上下力气.,培养学生良好的运算习惯. 在教学时,通过实例运算,对于将一个二次根式化为最简二次根式,一般有两种情况: (1)如果被开方数是分数或分式(包括小数),可以采用直接利用分式的性质,结合二次 根式的性质进行化简(例见教科书例 6 解法 1),也可以先写成算术平方根的商的形式,再 利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例 6 解法 2);(2)如果被开方数不含分母, 可以先将它分解因数或分解因式,然后吧开得尽方的因数或因式开出来,从而将式子化简.

本节课的教学难点为:二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简. 四、教学过程设计 1.复习引入,探究新知 我们前面已经学习了二次根式的概念和性质,本节课开始我们要学习二次根式的乘除. 本节课先学习二次根式的乘法. 问题 1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?

师生活动 学生回答。 【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质. 问题 2 教材第 6 页“探究”栏目,计算结果如何?有何规律? 学生计算、思考并尝试归纳,引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.

师生活动

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律,运用类比思想,由特殊到一般地,采 用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则, 以培养学生的符号意识. 2.观察比较,理解法则 问题 3 简单的根式运算. 学生动手操作,教师检验.

师生活动

问题 4 师生活动

成立的条件是什么?等式反过来有什么价值? 学生回答,给出正确答案后,教师给出积的算术平方根的性质.

【设计意图】 让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算, 以检验法则的掌握情况. 乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质, 性质是为运算服务的, 积的算术平方根的性质 将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积, 利用整式的运算法则、 乘法公 式等可以简化二次根式,培养学生的运算能力. 3.例题示范,学会应用

例 1 化简:(1)



(2)

.

师生活动

提问:你是怎么理解例(1)的?

如果学生回答不完善,再追问:这个问题中,就直接将结果算成 为本题怎样才达到了化简的效果?

可以吗?你认

师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果,一般被开方数中有开得尽方的因数 或因式,应依据二次根式的性质 将其移出根号外.

再提问:你能仿照第(1)题的解答,能自己解决(2)吗? 【设计意图】通过运算,培养学生的运算能力,明确二次根式化简的方向.积的算术平 方根的性质可以进行二次根式的化简.

例 2 计算:(1) 师生活动

; (2)

; (3)

学生计算,教师检验.

( 1 )在被开方数相乘的时候,就可以考虑因数或因式分解,由 而不必先写成 再分解;

直接可得

(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算,交换律、结合律都是适用的.对于根 号外有系数的根式在相乘时,可以将系数先相乘作为积的系数,再对根式进行运算; (3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式” 的运算.本题先利用积的算术平方根的性质,得到 变成 ,由于 可以判断 ,然后利用二次根式的乘法法则,

,因此直接将 x 移出根号外.

【设计意图】引导学生及时总结,强调利用运算律进行运算,利用乘法公式简化运算. 让学生认识到,二次根式是一类特殊的实数,因此满足实数的运算律,关于整式运算的公式 和方法也适用. 教材中虽然指明,如未特别说明,本章中所有的字母都表示正数,但仍应强调,看到根 号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断,在移出根号 时正确处理符号问题.

4.巩固概念,学以致用 练习:教科书第 7 页练习第 1 题. 第 10 页习题 16.2 第 1 题. 【设计意图】巩固性练习,同时检验乘法法则的掌握情况. 5.归纳小结,反思提高 师生共同回顾本节课所学内容,并请学生回答以下问题: (1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗? (2)你能说明乘法法则逆用的意义吗? (3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求? 6.布置作业:教科书第 7 页第 2、3 题.习题 16.2 第 1,6 题. 五、目标检测设计 1.下列各式中,一定能成立的是( )

A.

B.

C.

D.

【设计意图】考查二次根式的概念和性质,这是进行二次根式的乘法运算的基础.

2.化简

______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数,实数的相关运算法则也适用于二次根式.

3.已知

,化简二次根式

的结果是(



A.

B.

C.

D.

【设计意图】巩固二次根式的性质,利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式.


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