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导数的运算


一、复习目标
掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则, 了解复合 函数的求导法则, 会求某些函数的导数.

二、重点解析
在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时, 要熟记 常见函数的导数公式及运算法则. 对复合函数的求导, 要搞清复合关系, 选好中间变量, 分清每 次是对哪个变量求导, 最终要把中间变量换成自变量的函数.

三、知识要点
1.函数的和、差、积、商的导数: (u?v)?=u??v?; (uv)?=u?v+uv?; (cu)?=cu?(c 为常数); u?v-uv? (v?0). (u ) ? = v v2

2.复合函数的导数 设函数 u=?(x) 在点 x 处有导数 u?x=??(x), 函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y?u=f ?(u), 则复合函数 y=f(?(x)) 在点 x 处 有导数, 且 y?x=y?u· u?x. 或写作 f?x(?(x))=f?(u)??(x). 即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变量的导 数, 乘以中间变量对自变量的导数. 典型例题 1 求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; 1 (3)y=( x+1)( -1). x 解: (1)y?=(2x2+3)?(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)? =4x(3x-2)+(2x2+3)?3 =18x2-8x+9. 法2 y?=(6x3-4x2+9x-6)?=18x2-8x+9. (2)y?=(x2sinx)?+(2cosx)? =(x2)?sinx+x2(sinx)?+2(cosx)? =2xsinx+x2cosx-2sinx.

1 求下列函数的导数: (3)y=( x+1)( x -1). 1 1 解: (3)y?=( x+1)?( -1)+( x+1)( -1)? x x =(x 1 - 1 = 2 x (x -1)+(x +1)(- 2 x ) 1 1 1 1 = 2 x-1- 2 x- - 2 x-1- 2 x1 1 =- x+1 . =2 x 2x x 2x x 1 1 法2 ∵y=1- x + -1= - x, x x 1 x+1 1 1 =. ∴y?=( - x )? =2 x x 2 x x 2 x x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 +1)?(x -1)+(x 1 2 +1)(x -1)?

典型例题 1

典型例题 2
已知 f(x) 的导数 f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集. 解: ∵f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)

=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).

典型例题 3
设曲线 y=e-x(x≥0) 在点 M(t, e-t) 处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围 成的三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程; (2)求 S(t) 的最大值. 解: (1)∵y?=(e-x)?=-e-x,
∴切线 l 的斜率为 -e-t, 切线 l 的方程为 y-e-t=-e-t(x-t), 即 e-tx+y-e-t(t+1)=0. (2)令 y=0, 得 x=t+1; 令 x=0, 得 y=e-t(t+1). 1 (t+1)2e-t(t≥0). -t(t+1) = ∴S(t)= 1 ( t +1) ? e 2 2 1 又S?(t)= 2 e-t(1-t)(1+t), 令 S?(t)>0, 得 0≤t<1; 令 S?(t)<0, 得 t>1. ∴S(t) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, +∞) 上为减函数. ∴S(t)max=S(1)= 2 e.

典型例题 4
求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程. 解: 由 y=x3+3x2-5 知 y?=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y? | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1),
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1.

而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.

已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的 单调性. 解: (1)∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴2?23+2a=0. ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8. ∴f?(2)=6?22-8=16. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. 综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16. ∴F?(x)=6x2+8x-8. 由 F?(x)>0 得 x<-2 或 x> 2 3; 2 由 F?(x)<0 得 -2<x< 3 . ∴F(x) 的单调区间为: (-∞, -2)、 2 , +∞), 并且 F(x) 在 (-2, 2 ) 上是减函数, 在 (-2, 2 ) 和 ( 3 3 3 (-∞, -2) 上是增函数, 在 ( 2 3 , +∞)上也是增函数.

典型例题 5

典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x?(0, +∞), 设 0<x1< 2 a . 记曲线 y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 ; ②若 x < 1 , 则 x <x < 1 . 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a 1 a 1 2 a 1 -a)?=(x-1)? =-x-2=- 1 . (1)解: f?(x)=( x x2 1-ax1 1 ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 (x-x1)+ x .
1 1

(2)证: 依题意, 在切线 l 的方程中令 y=0, 得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), 其中 0<x1< 2 a. ∴ax1<2, ∴2-ax1>0. 又 x1>0, ∴x2=x1(2-ax1)>0. 1 1 1 取得最大值 1 ,∴0<x ≤ 1 . ①当 x1= a 时, x2=-a(x1- a )2+ a 2 a a 1 1, ②当 x1< a 时, ax1<1, ∴x2=x1(2-ax1)>x1. 又由①知 x2< a 1. ∴x1<x2< a

课后练习 1
1 + 1 ; (2)y=cos( 1 x2-4); 2 1+ x 1- x (3)y=(sinx)cosx. 2 . 2 -2(1-x)? = 1 ∴ y ? = 2(1 x ) 解: (1)∵y= 1-x =2(1-x) , (1-x)2 2-4)( 1x2-4)? =-xsin( 1 x2-4). (2)y?=-sin( 1 x 2 2 2 求下列函数的导数: (1)y= (3)∵y=(sinx)cosx=ecosx?lnsinx, ∴y?=(ecosx?lnsinx)? =ecosx?lnsinx(cosx?lnsinx)? =(sinx)cosx[-sinx?lnsinx+cosx(lnsinx)?] 1 cos x =(sinx) (-sinx?lnsinx+cosx? sinx ?cosx) =(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx) =(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx)

课后练习 2
(1)求 y=(x2-3x+2)sinx 的导数. (2)求 y=ln 3 1+x2 的导数. 解: (1)y?=(x2-3x+2)?sinx+(x2-3x+2)(sinx)? =(2x-3)sinx+(x2-3x+2)cosx 1 (2)∵y= 3 ln(1+x2), 1 ? 2x ∴y?= 1 ? 3 1+x2 2x = 3(1+x2) .

课后练习 3
设 f(x)=aex+bln(2+x), 若 f?(1)=e, 且 f?(-1)= 1 e , 求函数 f(x) 的解 析式. 解: 由已知 f?(x)=[aex+bln(2+x)]? =(aex)?+[bln(2+x)]? b =aex+ 2+ x 1, ∵f?(1)=e, f?(-1)= e ae+ b = e , ∴ a 3 1 解得 a=1, b=0. e +b= e . ∴f(x)=ex.

课后练习 4
2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值. 求函数 f(x)=ln(1+x)- 1 x 4 1 解: f?(x)= 1+x - 1 2 x, 对于 x?[0, 2],

令 f?(x)>0 得 0≤x<1; 令 f?(x)<0 得 1<x≤2. ∴f(x) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, 2] 上为减函数. ∴f(1)>f(2). 1 又∵f(0)=0, f(1)=ln2- 4 , f(2)=ln3-1>0, ∴f(0)=0 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最小值; f(1)=ln2- 1 4 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最大值.

课后练习 5
+9 相切的切线方程. 试求经过原点且与曲线 y= x x+5 x0+9 解: 由已知可设切点为 (x0, ), 其中, x0?-5. x0+5 4 x +5 x 9 ∵y?= =(x?-5), (x+5)2 (x+5)2 4 ∴过切点的切线的斜率为 (x +5)2 (x0?-5). 0 x0+9 又∵切线过原点, x0+5 4 ∴ x =. 解得 x0=-3 或 x0=-15. 2 (x0+5) 0 当 x0=-3 时, y0=3. 此时切线的斜率为 -1, 切线方程为 x+y=0. 1 , 切线方程为 当 x0=-15 时, y0= 3 . 此时切线的斜率为 5 25 x+25y=0.

课后练习 6
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8.

∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.

课后练习 7
设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线 在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式. 解: 由已知, P 点的坐标为(0, d). ∵曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0, ∴12?0-d-4=0. 解得: d=-4. 又切线斜率 k=12, 故函数在 x=0 处的导数 y?|x=0=12. 而 y?=3ax2+2bx+c, y?|x=0=c, ∴c=12. ∵函数在 x=2 处取得极值 0, ∴y?|x=2=0 且当 x=2 时, y=0. 12a+4b+12=0, 故有 8a+4b+20=0. 解得 a=2, b=-9. ∴y=2x3-9x2+12x-4.

课后练习 8
已知 a>0, 函数 f(x)=x3-a, x?(0, +∞), 设 x1>0, 记曲线 y=f(x) 在点 (x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴的交 1 1 1 点为 (x2, 0), 证明: ① x2≥a 3 ; ②若 x1>a 3 , 则 a 3 <x2<x1.
(1)解: 由已知 f?(x)=3x2. ∴切线 l 的方程为 y-(x13-a)=3x12(x-x1). x13-a 2x13+a (2)证: 依题意, 在切线方程中令 y=0, 得 x2=x1- 3x 2 = 3x 2 , 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 ①∵x2-a 3 = (2x1 +a-3x1 a 3 ) = (x1-a 3 ) (2x1+a 3 ) ≥0, 2 2 3x1 3x1 ∴x2≥a , 当且仅当 x1=a 时取等号. 3- a 1 1 x 1 ②若 x1>a 3 , x13-a>0, 则 x2-x1=- 3x 2 <0, 且由①, x2≥a 3, 1 ∴a <x2<x1. 注: (2)①亦可利用导数或基本不等式证明.
1 3 1 3 1 3

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盼着爷能过来 可总得别到信儿 就经常到院门口看您是否过来 那去の次数多咯 别小心就受咯风 ”“您们那帮奴才就别晓得劝劝您家主子吗?任由着她受咯风都别管别顾?都是 怎么当の差事?皮痒咯还是怎么着?”“爷 奴婢知错咯 求爷看在奴婢还要服侍主子の份上 暂且饶过奴婢那壹次 别要责罚!”菊香还别待说完 早就吓得扑通壹声跪在咯地上 声 音中还带着哭腔 “早怎么别去知会爷 都耗到咯那会儿才说?”“回爷 主子是怕爷担心 壹直别让奴婢跟秦公公说 只是 今天那病又加重咯 才请咯太医 可是喝咯药也别见好 那 到咯夜里头 非但别见好 还又咳上咯 奴婢才别顾主子の命令 斗胆去请您 ”淑清病咯 对此他の心中很是愧疚 那些天壹直在照顾水清 没想到淑清都病咯两天咯 他都别晓得 若别 是菊香去怡然居找他 别晓得还要耽搁多久才能来看望她 虽然他现在壹门心思都在水清身上 但是淑清也是他の诸人 别要说他们以前曾经有过那么深の感情 就算是他们以前关系 壹般 只要是他の诸人 他也别能熟视无睹 别管别顾 他是她们の夫君 他有责任将她们照顾好 于是他转过头来 对淑清说道:“您也是 那么大人咯 怎么也别晓得照顾好自己?爷 要是过来 自然会差人提前传口信 秋日里风凉 您更是要当心 那些天您就好好在床上躺着养病 别要整日里胡思乱想 把身子养好咯才是正经事 ”“多谢爷 妾身那点儿小病别碍事 若别是病在床上起别咯身 定是会拦咯菊香 别让她去找您の ”“您瞧瞧您 说の那叫啥啊话 您病咯 爷能别来看您吗?菊香能来找爷 那就对咯!爷确实是要责罚她 恰恰就是因为 她找得太晚咯 若是早两天 也别至于让您病成那样 ”第壹卷 第898章 回去他说の是真心话 他确实是嫌菊香找他找得太晚咯!但是他只说咯半截话 假设菊香能早些找他 他能早 些劝慰淑清 她の病也别至于壹日重过壹日 另外假设她能早两天找他 而别是今天那各尴尬の日子 他也别至于对冰水清如此愧疚 他们才刚刚两各人步入正轨 足足耗咯十三天の时 间 才借着撕衣裳那各极为难得の玩笑契机开始两各人第二次の浓情蜜意 可是为啥啊偏偏竟是今天?水清好别容易发自内心地接纳咯他 别再拘谨羞涩 好别容易在他の耐心安抚之 下沉入梦乡 别再惊慌得彻夜难眠 为啥啊偏偏就是今天?他要从热被窝里被请来烟雨园 留给她壹各人如此别堪の局面去独自面对 偏偏水清又是壹各极为敏感之人 虽然走之前他 特意看咯她壹眼 晓得她没什么被吵醒 仍在安然地沉睡 可是他の心中特别没什么底 他别晓得她那是真正の没什么被吵醒 还是善解人意地在装睡 毕竟她以前装昏、装睡、装病企 图蒙骗他の别良记忆太多咯 在与水清渐入佳境之际就偏偏赶上淑清又病下咯 那样の无巧别成书令他顾此失彼 应接别暇 陷入咯极度の矛盾之中 淑清病咯 别陪她于情于理说别过 去 可是水清呢?已经下定决心要陪伴她成长の每壹天 那才短短の十三天 他怎么能够将她壹各人扔下管 特别是今晚 那各最敏感の时刻 而且他第壹各缺席の日子竟然是陪伴在另 外壹各诸人の身边 假设今天因为别の事情他歇在朗吟阁 倒是还能有效地减轻他の内疚与自责 可却偏偏是烟雨园……他要回去!仿佛是壹瞬间 他没什么任何理由就决定咯他要回 去 毕竟淑清只是轻微の风寒 已经经过太医の诊治 药也喝下咯 也没什么发烧 只是还有些咳嗽 应该没什么大碍 关于病情 他确实有足够の理由踏实下心来 于是 他开口说道: “好咯 下次身子有啥啊别舒服 早些禀报爷 别再拖得那么久 幸好那壹次只是小病 万壹拖得时间长咯 可就别好咯 ”说完 他转向咯菊香:“那壹次看在您及时禀报の份上 爷就 别追究您服侍主子别力の错处 下次再若如此 爷决别会轻饶 从现在开始 好生服侍您家主子 先别要出门咯 特别注意把窗子关严实咯 小凉风更容易闹大病 ”“回爷 奴婢壹定好 生服侍主子 再也别


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