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高中数学数列测试题


第二章

数列
).

1.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 D.670

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( A.33 B.72 C.84 D.189 ).

).

3.如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8<a4+a5
1 4

D.a1a8=a4a5 的等差数列,则

4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 |m-n|等于( A.1 ). B.
3 4

C.

1 2

D. ).

3 8

5.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168

D.192

6.若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( ). A.4 005 B.4 006 C.4 007 D.4 008 ).

7.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4 B.-6
a5 a3

C.-8 =
5 9

D. -10
S9 S5

8.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

,则

=(

). D.
1 2
a 2 ? a1 b2

C.2

9.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 A.
1 2

的值是(

).

B.-

1 2

C.-

1 2



1 2

D.

1 4

10.在等差数列{an}中,an≠0,an-1- a n2 +an+1=0(n≥2),若 S2n-1=38,则 n=( A.38 二、填空题
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).

B.20

C.10

D.9

11. f(x)= 设 +f(6)的值为

1 2 ?
x

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法, 可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)
2

.

12.已知等比数列{an}中, (1)若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= (2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6= (3)若 S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20= 13.在 和
3 8
27 2

. . . . .

之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为

14.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为 15.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= .

16.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)= 三、解答题 17.(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知
1 a

;当 n>4 时,f(n)=





1 b



1 c

成等差数列,求证

b?c a



c?a b



a?b c

也成等差数列.

18.设{an}是公比为 q?的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.
第 2 页 共 9 页

19.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 求证:数列{
Sn n

n? 2 n

Sn(n=1,2,3…).

}是等比数列.

20.已知数列{an}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,Sn 为其前 n 项和,a1,2a7,3a4 成等差数列,求证:12S3, S6,S12-S6 成等比数列.

第二章

数列

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参考答案
一、选择题 1.C 2.C 3.B. 解析:由 a1+a8=a4+a5,∴排除 C. 又 a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d, ∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d +12d2>a1·a8. 4.C 解析: 解法 1:设 a1= 两根之和也为 2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4, ∴d= ∴
7 16 1 2 1 4

,a2=

1 4

+d,a3=

1 4

+2d,a4=

1 4

+3d,而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,x2-2x+n=0 中

,a1=
15 16

1 4

,a4=

7 4

是一个方程的两个根,a1=

3 4

,a3=

5 4

是另一个方程的两个根.



分别为 m 或 n,
1 2

∴|m-n|=

,故选 C.

解法 2:设方程的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n. 由等差数列的性质:若?+s=p+q,则 a?+as=ap+aq,若设 x1 为第一项,x2 必为第四项,则 x2= 数列为
1 4 7 4

,于是可得等差



3 4 7



5 4



7 4

, ,

∴m=

,n=

15 16

16

∴|m-n|= 5.B

1 2



解析:∵a2=9,a5=243,

a5 a2

=q3=

243 9

=27,

∴q=3,a1q=9,a1=3, ∴S4=
3- 3
5

1- 3



240 2

=120.
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6.B 解析: 解法 1:由 a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数,又 a1>0,则公差为负数,否 则各项总为正数,故 a2 003>a2 004,即 a2 003>0,a2 004<0. ∴S4 006= ∴S4 007=
4 006( a 1+ a 2
4 006

)



4 006( a

2 003

+a

2 004

)

>0,

2

4 007 2

·(a1+a4 007)=

4 007 2

·2a2 004<0,

故 4 006 为 Sn>0 的最大自然数. 选 B. 解法 2:由 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,同 a2 004<0, ∴S2 003 为 Sn 中的最大值. ∵Sn 是关于 n 的二次函数,如草图所示, ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小, ∴
4 007 2

解法 1 的分析得 a2 003>0,

在对称轴的右侧.

(第 6 题)

根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧 都在其右侧,Sn>0 的最大自然数是 4 006. 7.B 解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6. 8.A
9 ( a1 ? a 9 )
9 ? a5 5 ? a3

零点 B 的左侧, 007, 008 4 4

解析:∵

S9 S5



2 5 ( a1 ? a 5 ) 2





9 5

·

5 9

=1,∴选 A.

9.A 解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4, ∴d=-1,q2=2,
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a 2 ? a1 b2



d ? q
2



1 2



10.C 解析:∵{an}为等差数列,∴ a n2 =an-1+an+1,∴ a n2 =2an, 又 an≠0,∴an=2,{an}为常数数列, 而 a n=
S 2 n ?1 2n ? 1

,即 2n-1=

38 2

=19,

∴n=10. 二、填空题 11. 3
2


1 2 ?
x

解析:∵f(x)=


2

1

∴f(1-x)=
2

1
1? x

?


2

2 2?

x

2

x

2 ?2

x


x

2 2 ? 2 1?
x


?2
x x

1

∴f(x)+f(1-x)=

1 2 ? 2
x

?2

1 2

1

( 2 ? 2 )
x



2 2 ? 2
x



2 ? 2



2 2 ? 2
x



2 2



设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), ∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6 ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 12. (1)32; (2)4; (3)32. 解析: (1)由 a3·a5= a 42 ,得 a4=2, ∴a2·a3·a4·a5·a6= a 45 =32. (2) ?
? a 1 ? a 2 ? 324 ? ( a 1 ? a 2 ) q ? 36
2

2



2



? q

2

?

1 9



∴a5+a6=(a1+a2)q4=4. (3) ?
? ? S 4= a 1+ a 2+ a 3+ a 4= 2 ? S 8= a 1+ a 2+ ? ? ? + a 8= S 4+ S 4 q ?
4

? q =2

4



∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32.
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13.216. 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与 ,
3
8 3 27 2

8

27 2

同号,由等比中项的

中间数为

?

=6,? 插入的三个数之积为 ×
3

8

27 2

×6=216.

14.26. 解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, ∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4, ∴S13=
13( a 1+ a 13 ) 2



13( a 4+ a 10 ) 2



13

?4
2

=26.

15.-49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10 = =
7( a 4+ a 10 ) 2 7( a 5- d + a 5+ 5 d ) 2

=7(a5+2d) =-49. 16.5,
1 2

(n+1)(n-2).

解析: 同一平面内两条直线若不平行则一定相交, 故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交, ∴f(k)=f(k -1)+(k-1). 由 f(3)=2, f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(5)=f(4)+4=2+3+4=9, …… f(n)=f(n-1)+(n-1), 相加得 f(n)=2+3+4+…+(n-1)= 三、解答题 17.分析:判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数. 证明: (1)n=1 时,a1=S1=3-2=1,
第 7 页 共 9 页
1 2

(n+1)(n-2).

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*). 首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. (2)∵ ∴
2 b b+ c a 1 a

, +

1 b 1 c



1 c

成等差数列,



1 a

化简得 2ac=b(a+c). =
bc + c + a + ab ac
2 2



a+ b c



b( a + c ) a + c + ac

2

2



(a+ c) ac

2



(a+ c)

2

b( a + c ) 2

=2·

a+ c b





b+ c a



c+ a b



a+ b c

也成等差数列.

18.解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或-
1 2


n( n - 1 ) 2

(2)若 q=1,则 Sn=2n+ 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= 若 q=-
1 2



n + 3n 2

2



( n - 1 )( n + 2 ) 2

>0,故 Sn>bn.
- n +9n 4
2

,则 Sn=2n+

n( n - 1 ) 2

(-

1 2

)=



当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1=

( n - 1)( 1 0- n ) 4



故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. 19.证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=
n+ 2 n

Sn,

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1) Sn, 所以 故{
S n +1 n +1



2Sn n



Sn n

}是以 2 为公比的等比数列.

20.证明:由 a1,2a7,3a4 成等差数列,得 4a7=a1+3a4,即 4 a1q6=a1+3a1q3, 变形得(4q3+1)(q3-1)=0, ∴q3=-
1 4

或 q3=1(舍).

第 8 页 共 9 页

a 1 (1 ? q )
6



S6 12 S 3



1? q 12 a 1 (1 ? q )
3



1? q 12

3



1 16



1? q a 1 (1 ? q
S 12 ? S 6 S6
12

)



S 12 S6

-1=

1? q a 1 (1 ? q )
6

-1=1+q6-1=

1 16



1? q



S6 12 S 3



S 12 ? S 6 S6



∴12S3,S6,S12-S6 成等比数列.

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