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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第19届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 19 届)
1. 在正方形 ABCD 中作等边三角形 ABK、BCL、CDM、DAN,证明线段 KL、LM、 MN、NK 的四个中点以及线段 AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN 的八个中点构 成一个正十二边形的定点. 2. 在一个有限项的实数序列中,任意的相连七项之和为负,任意的相连十一项之和为 正.求出这种序列最多有几项. 3. n>2 是一给定整数,Vn 是所有 1+kn 形式的整数构成的集合,其中 k 是正整数,对 于 Vn 中的一个数 m,如果不存在 Vn 中的两个数 p、q 使得 m=pq,则称 m 是不可分解 的. 求证: n 中存在一数 r, V 它可有多于一种的方式表示为 Vn 中不可分解数的乘积. 乘 ( 积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解. ) 4. 定义 f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x,其中 a,b,A,B 都是实数常量.如 果 f(x)>=0 对所有实数 x 都成立,求证 a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1. 5. a,b 是正整数,设 a2 + b2 除以 a + b 得到商为 q,余数是 r.试求出所有的正整数对 (a,b)使得 q2 + r = 1977. 6. f 是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数,求证如果 f(n+1) > f(f(n))对所有 正整数 n 都成立,则 f(n) = n 对每个 n 都成立.


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