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平面向量基本定理及坐标表示和平面向量的数量积


课 题 教 学 目 标 重 点 难 点

平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量的数量积
(1)了解平面向量的基本定理 (2)了解平面向量的正交分解及坐标表示 (3)了解平面向量的数量积 (1)熟练运用向量的基本定理 (2)掌握并运用平面向量的数量积 教学过程

知识点一

平面向量的基本定理 ?? ?? ? (1)定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个______向量,那么对于这一平面内的

向量 a ,

?

实数 ?1 , ?2 ,使 a ? _

?

__。

(2)基底:不共线的向量 e1 , e2 叫做

?? ?? ?



知识点二

两非零向量的夹角 ? ? ??? ? ? ??? ? ? (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OA ? b ,则_
_ __, a 与 b 同向时,夹角_

__叫做向量 a 与 b 的夹角。 __; a 与 b 反向时,夹角__

?

?

(2) 范围: 向量夹角 θ 的范围是_ (3)向量垂直:

?

?

?

?

__。

则 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。

?

?

?

?

知识点三

平面向量的正交分解
,叫做把向量正交分解.

知识点四

平面向量的坐标表示
的两个单位向量 i, j 作为基底,对于平面内的一 ,把有序数对 (x,y) 叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),

(1)在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向 个向量 a ,有且只有一对实数 x,y,使 其中 x 叫做 a 在

??

?

?

?

?

上的坐标,y 叫做 a 在

?

上的坐标。 的坐标,即若 OA =(x,y),

(2)设 OA ? xi ? y j ,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 则 A.点坐标为(x,y),反之亦成立.(O 为坐标原点)

??? ?

?

?

??? ?

??? ?

知识点五

平面向量的坐标运算

(1)加法.减法.数乘运算 向量 坐标

? a
( x1 , y1 )

? b
( x2 , y2 )

? ? a +b

? ? a -b

? ?a

(2)向量坐标的求法 已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB =______ 始点的坐标.

??? ?

____,即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去

知识点六

平面向量共线的坐标表示 ? ? ? ? ? ? ? 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,其中 b ≠0,则 a 与 b 共线 ? a = ? b ? _____

_______.

经典例题

题型 1
例 1 已知向量 e1 , e2 求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

例 2、如图:在平行四边形 ABCD 中, M , N 分别为 DC , BC 的中点,

已知 AM ? c, AN ? d , 试用 c, d 表示 AB, AD .

???? ?

? ????

? ?

? ? ?

??? ? ????

例 3、如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP .

题型 2
例 4、已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标

??? ?

例 5、已知 A(?2, 4) , B(3, ?1) , C (?3, ?4) .设 AB ? a, BC ? b, CA ? c 且 CM ? 3c, CN ? ?2b, 求: (1) 3a ? b ? 3c; (2)满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (3) M , N 的坐标及向量 MN 的坐标

??? ?

? ??? ?

?

?

?

???? ?

? ??? ?

?

? ?

?

?

?

?

???? ?

题型 4

? ? ? ? 例 6、已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y.

? ? ? ? ? ? 例 7、已知 a ? (1, 2), b ? (?3, 2), 当 k 为何值时, ka ? b 与 a ? 3b 平行;平行时它们是同向还是反向?

课后训练
1、设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R)

2、已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3、已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

4、已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

.

5、已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________(填共线或不共 线). 6、已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

?

?

? ?

? ?

?

?

7、已知三个力 F1 (3, 4),

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标.

8、若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标 2

9、若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =

.

10、已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD

11、若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7

) D.8

12.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

)?

13.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与 DC 共 线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 B.2,2 ) C.3,2 D.2,4

14.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

.

15.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

.

16.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x=

.


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