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方程的根与函数的零点


3.1.1方程的根与 函数的零点

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

问题探究一
探究:求下列方程的实数根,画出对应函数的简图。

(1)3x ? 3 ? 0 ? x ? ?1

y ? 3x ? 3

y

3 -1 0
x

(2) x ? 4 ? 0 ? x ? ?2 1 (3) ? o x
2

y ? x ?4
2

y

? 无实数根

1 y? x

-2
y 0

0

2

x

x

引入新知
函数的零点: 函数 y ? f (x) 的图象 方程 f (x) ? 0 的根 对于函数 y ? f (x) ,我们把使 f (x) ? 0 与x轴交点的横坐标 的实数x 叫做函数

y ? f (x) 的零点

函数 y

? f (x) 的零点

抢答一:判断对错
1 不是所有的函数都有零点 1.函数 f ( x) ? 有零点。 x 错

2.函数 f ( x) ? x ?1(2 ? x ? 10) 零点要在定义域内

的零点为

x ? 1 。错
零点是实数

3.函数 f ( x) ? x ? 1 的零点 是(1,0)。



请完成下表:
判别式△ = b2-4ac △>0 △=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y

△<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0两个不相等 的实数根x1 、x2 (a>0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
x1 0 x2 x

0

x1

x

0

x

函数的零点

x 1, x 2

x1

没有零点

例1.求函数的零点
x f x ? 2 ?2 ? ? (1) f ? x? ? x( x ?1)( x ? 3) (2)

解:(1)由 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,得 x ? 0,1,3 所以函数的零点是 (2)由

0,1, 3

f ( x) ? 2x ? 2 ? 0 ,得

x ?1

所以函数的零点是 1

问题探究二 哪一组镜头能说明她的行程一定有过河? 第1组

第2组
[来源:学科网ZXXK]

零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就 是方程f(x)=0的根。

抢答二:判断对错
1.若函数满足 f (a) f (b) ? 0 , 图象连续不断 则函数在区间 ( a, b) 上 至少有一个零点。 (错 )

2.若函数 y

? f (x) 在区间
定理不可逆

[a, b] 上的图象是连续不断
的一条曲线,并且函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点,则 f (a) ? f (b) ? 0 (错 ) 。

例2 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表
x f(x) 1 -4 2 -1.31 3 1.10 4 3.39
y
14 12 10 8 6 4 2 0

5 5.6

6 7.79 .

由表可知: f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0, 且图象连续,说明这个函数在 区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数,所以它仅有一个零点。

.
1 2 . 3

..
4 5 6 7 8 9 10

.

.

.

.

-2 -4 -6

x

例2 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数。

解法2: 函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数
方程lnx+2x-6=0根的个数 方程lnx=-2x+6根的个数

函数h(x)=lnx与g(x)=-2x+6图像交点 的个数
y

函数h(x)=lnx 和g(x)=-2x+6 的交点只有一个,所以 f(x)=lnx+2x- 6 的零点只有一个。

0

1 2 3 4

x

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

小结
?

?
? ?

一个定义 三个等价关系 一个定理 三个数学思想:函数与方程、数形结合 的思想、转化思想

课后作业 必做: 1.若函数 2.若函数
f ? x ? ? 2x ? a

的零点为2,则实数a的值为______

f ? x ? ? 2x ? a的零点为正数,求实数a的取值范围。

3. 函数 f(x)=lg x-9的零点所在的大致区间是(
x A.(6,7) C.(8,9) B.(7,8) D.(9,10)

)

选做: 2 1.讨论 f ( x) ?| x ? 2 x | ?a 零点的个数


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