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函数y=Asin(ωx+) 的图象


课 题:函数 y=Asin(ω x+ ? ) 的图象

教学目的: 1.探索学生合作学习的形式,培养学生合作交流的能力. 2.会用五点法画出函数 y=Asinx、y=Asinω x 和

y ? sin( x ? ? ) 的图象,明确 A、ω

和 ? 对 函 数 图 象 的 影 响 作 用 ; 并 会 由 y=sinx

的 图 象 得 出 y=Asinx 、 y=Asin ω x 和

y ? sin( x ? ? ) 的图象。
3.理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律; 教学重点:熟练地对 y=sinx 进行振幅、周期变换和相位变换. 教学难点:理解振幅变换和周期变换的规律 教学过程: 一、新课引入: 师:前面我们学习了正弦函数 y=sinx 的图象和性质,请同学画出它的草图并说出它的 定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间? 生:定义域:R,值域:[-1,1],奇函数,单增区间:[2k? ? 间: [2k? ? ,2k? ? 3? ] 2 2

?
2

,2k? ?

? ,单减区 ]
2

?

师:回答的很好,那么形如

1 ? y ? 2 sin x, y ? sin x和y ? sin( x ? ) 函数的定 2 6

义域、值域、奇偶性、周期及单调区间又如何呢? (一片茫然,没有学生回答) 师:大家别着急,今天我们就要来学习它们的图象和性质,并通过它们的图象和性质 进一步来探究它们的图象与 y=sinx 图象会有什么样的关系. 二、分小组画图讨论 下面请请第一到第五组的同学用五点法画出以下第一组三角函数的图象,第六到第十 组的同学画出以下第二组三角函数的图象,第 11 到第 15 组的同学画出以下第三组三角函 数的图象,并观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其相互之间的关系、特 点,然后进行小组内讨论、交流.

第一组:

1 y ? sin x, y ? 2 sin x和y ? sin x 2

第二组:

1 y ? sin x, y ? sin 2 x和y ? sin x 2 y ? sin x, y ? sin( x ?

第三组:

?
4

)和y ? sin( x ?

?
6

)

(教师巡视) 三、师生交流:

师:从下列第一组图 1,你有什么体会?

1 y ? sin x, y ? 2 sin x和y ? sin x 2

图1 师:y=2sinx 的周期是多少?请第二组同学代表回答. 生:y=2sinx 的定义域:x∈R,值域:y [-2,2],周期:应该与 y=sinx 的一样还 是 2?

师:不错,那么

1 y ? sin x 呢? 2

生:

1 1 1 y ? sin x 的定义域 x∈R,值域:y∈[- , ],周期: 2? 2 2 2

师:很好,那么它们三者之间的图象有什么关系呢? 生:好象它们之间有一定的伸缩关系 师:能不能再说得具体一点吗?

生:伸缩倍数是不是与 2 和

1 有关呢? 2

师:大家探究和分析的很好,是不是这样呢?不过别着急.下面请大家先看大屏幕几 何画板的动画演示

(他们能够说出“伸缩”二字,而且发现与 2 和 时,利用动画演示有助于验证他们的猜想)

1 有关,只是猜想不知是否正确,此 2

图2 演示 1:拖动点 C,请大家观察图象上 D、E 的运动,在横坐标相同的条件下,纵坐标的 变化,同时注意

DC 比值的变化.(对比 y=sinx 与 y=2sinx) EC

图3 演示 2:拖动点 B,观察图象 y=sinx 与 y=Asinx 图象,当 A 发生变化时,点 D、E 的纵 坐标的变化,同时注意 系) 进一步引导,观察,启发: 师:通过大家的作图和我刚才的几何画板演示,你又有什么体会? 生: 函数 y=1/2sinx 的图象可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的 1/2 倍而得(横坐标不变),函数 y=2sinx 图象可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的纵坐标缩 短到原来的 2 倍而得(横坐标不变) 师:太好了,回答完全正确. (演示进一步巩固了他们的猜想) 总结: 一般地,y=Asinx,(x∈R,A>0 且 A ? 1 )的图象可以看作把正弦曲线 y=sinx 上的所 有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的. 我们把这种变换简称为振幅变 换.

yD yE

比值的变化.(改变 A 的值,整体对比 y=sinx 与 y=Asinx 的关

第二组:

1 y ? sin x, y ? sin 2 x和y ? sin x 2

师生交流:

师:和第一组一样,你们有什么体会?请第七组同学代表回答

图4

师:

1 y ? sin x 与 y=sin2x 的定义域、值域、周期分别是多少? 2

生:

1 y ? sin x 与 y=sin2x 的定义域:R,值域:[-1,1],和 y=sinx 的都一样,周 2

期是多少看不出来,反正它们的周期显然不一样. 师:是的,他们的图象差别太大,但是可以看出一个周期较小,一个较大. (教师想通过周期的不一样来突破周期变换) 现在我给大家演示两个动画 3.

图5

演示 1:拖动点 A (A、B,它们分别在各自的图象上)在纵坐标相同的条件下,观察 A、 B 的横坐标的变化,以及

xA xB

的比值的变化.(对比 y=sinx 与 y=sin2x 的关系)

演示 2: 拖动点 B, 改变 W 的值, 再观察上述的变化. (改变 W 的值, 进一步观察 y=sinx 与 y=sinWx 的图象关系) (该环节的演示要慢,要让学生注意观察比值的不变特点)

图6 进一步引导, 观察启发: 师:通过上述你的实验、和几何画板的动画演示,你又有什么体会? 生:函数 y=sin2x,x∈R 的图象,可看作把 y=sinx,x∈R 上所有点的横坐标缩短到 原来的

1 倍(纵坐标不变)而得到的 2

函数 y=sin

1 x ,x∈R 的图象,可看作把 y=sinx(x 2

∈R)上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到 (的确难得,他们能发现影响周期的量是 W 了,这样也为下一节课周期的教学作好准 备) 师:大家已经能通过第一组的变换特点,类比的方式得到它们之间的关系,真的很不 错.那么谁能把 y=sinω x 图象与 y=sinx 的图象作比较 ,说出它们之间的关系吗? 生:函数 y=sinω x, x∈R (ω >0 且 ? 缩短(ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的

? 1 )的图象,可看作把 y=sinx 所有点的横坐标

1

?

倍(纵坐标不变)

(鼓励学生用自己的语言来归纳,总结) 师:有进步. 总结: 一般地,函数 y=sinω x, x∈R (ω >0 且 ? 的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的 为周期变换.

? 1 )的图象,可看作把正弦曲线上所有点
倍(纵坐标不变).我们把这种变换简称

1

?

第三组:

y ? sin x, y ? sin( x ?

?
4
8

)和y ? sin( x ?

?
6

)

6

g?x? = sin?x? f?x? = sin

h?x? = sin

? ? ? ?
x+ ? 4 x? 6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

图7 师:它们的定义域、值域、周期分别是多少?以及它们的图象关系又有如何关系?

生:定义域:x∈R,值域:y ∈[-1,1],周期: 移得到。

,相互间好象可以通过左右平

师:回答的十分正确.请大家看我用几何画板的动画演示 4. 演示 1:拖动点 C,观察变化.(观察平移的单位) 演示 2:拖动点 B,改变 B 的值,观察平移的方向. (让学生去发现:从左边移动(B>0), 从右边移动(B<0)

引导,观察,启发: 师:通过上述实验、和几何画板演示的结果你有什么体会?

生:函数

y ? sin( x ?

?
4

) 的图象可看作把正弦曲线 y ? sin( x ?

y=sinx 上所有的点向左平行移



? 个单位长度而得到 4 ? 6

.函数的图象

?
6

) 可看作把正弦曲线

y=sinx 上所有

点向右平行移动

个单位长度而得到

师:太棒了,回答的十分正确. 教师总结: 一般地,函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有 点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注 意讲清方向:“左加”“右减”),我们把这一变换称为相位变换 四、课堂练习:

1.(1)y=sin(x+

? ? )是由 y=sinx 向左平移 个单位得到的. 4 4

(2)y=sin(x-

? ? )是由 y=sinx 向右平移 个单位得到的. 4 4

(3)y=sin(2x-

? ? )是由 y=sin2x 向右平移 个单位得到的. 4 8

(4)y=sin(x-

? ? ? )是由 y=sin(x+ )向右平移 个单位得到的. 4 4 2

(5)y=sinx 与 y=3sinx 的图象有什么关系? 2.若将某函数的图象向右平移 的函数表达式为( A.y=sin(x+ C.y=sin(x- 答案:A

? ? 以后所得到的图象的函数式是 y=sin(x+ ),则原来 2 4 ? ) 2 ? ? D.y=sin(x+ )- 4 4
B.y=sin(x+

? ) 4

3? ) 4

)

3、 为了得到函数 的每个点( )

y ? sin(2 x ?

?
5

) 的图象,只需将函数 y ? sin( x ?

?
5

) 的图象上

A.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变 B. 横坐标伸长为原来的 1/2 倍,纵坐标不变 C. 纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变 D.纵坐标伸长为原来的 1/2 倍,横坐标不变

4、为了得到函数 每个点( )

1 ? 1 y ? sin( x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象上的 2 3 2

A.横坐标向左平移

? 个单位长度 3
2? 3

B. 横坐标向右平移

? 个单位长度 3
2? 3

C. 横坐标向左平移

个单位长度

D. 横坐标向右平移

个单位长度

五、小结与思考:

今天我们学习了三种三角函数:形如

y ? Asinx, y ? sin?x和y ? sin(x ? ? )

图象是由 y=sinx 的图象怎么变换得到, 我们分别把三种变换分别称为振幅变换、 周期变换、 相位变换.

课后思考:函数

y ? 3 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 的图象怎样由 y=sinx 的图象变换得到。

六、作业:略


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