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第3单元-三角函数、解三角形-数学(理科)-人教A版


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第三单元

三角函数、解三角形

第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式 第18讲 三角函数的图象与性质 第19讲 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图 象与性质及三角函数模型的简单 应用 第20讲 两角和与差的正弦、余弦、正切 第21讲 简单的三角恒等变换

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第三单元 形

三角函数、解三角

第22讲

正、余弦定理和三角形面积公式

第23讲 解三角形的应用

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第三单元 三角函数、解三角形

第三单元 │ 知识网络

知识网络

第三单元 │ 网络解读

网络解读
本单元由三角函数与三角恒等变换和解三角形两部分组成. 1.三角函数与三角恒等变换 主要内容:任意角的概念、任意角的三角函数、三角函数的 图象和性质以及简单的三角恒等变换. (1)角的概念的推广,主要联系终边相同的角的表示,角度 与弧度的互化; (2)借助单位圆定义三角函数,根据定义可求任意角的三角 函数值、判断不同三角函数在各个象限的符号、利用同角三角函 数的基本关系式与诱导公式化简与求值;

第三单元 │ 网络解读
(3)三角函数的图象与性质,应充分体现数形结合的思想, 主要的题型是利用图象的直观性得出函数的性质(周期性、单调 性、奇偶性、最大值与最小值等),或由函数的性质来描绘图象; (4)三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上,关 键是熟练掌握两角和与差的三角函数、二倍角公式,利用三角 恒等变换把函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,复习中要充分 体会三角恒等变换的工具性作用.

第三单元 │ 网络解读
通过三角函数与三角恒等变换的学习,能熟练借助公式进 行三角函数的化简、求值,以及三角函数的图象与图象变换, 也为学习解三角形准备必要的基础知识;高考对这部分内容的 考查,一般以选择题或填空题的形式考查三角函数的定义、同 角三角函数关系,及诱导公式、两角和与差的三角函数、倍角 公式在求值化简中的应用,考查三角函数的图象和性质,试题 难度不大,以考查基础知识和基本方法为主,试卷中一般是1 到2个小题;以解答题的方式重点考查三角函数的图象和性 质、简单的三角恒等变换. 从新课标高考试卷分析,三角函数部分形成相对固定的考 查模式,预计2013年仍然会延续这种命题模式.

第三单元 │ 网络解读

2.解三角形 主要内容:正弦定理与余弦定理、应用举例. (1)正弦定理与余弦定理是解三角形的工具,主要涉及 三角形中的边角转化、三角形形状的判断、三角形中的三 角函数的求值,以及三角恒等式的证明等; (2)解三角形在测量中的应用,是高考应用题的热点, 复习时,应重视正弦定理与余弦定理在测量距离、高度、 角度等问题中的应用.

第三单元 │ 网络解读

解三角形的知识是高考考查的重点内容之一,试题难度 不大,以考查基础知识和基本方法为主,在高考中一般有1个 选择题或者填空题,1个解答题.选择、填空题考查直接应用 正弦定理与余弦定理解三角形,解答题一般是三角变换融入 解三角形的知识,解三角形在解决实际问题中的应用,也常 与函数、向量、几何等知识联系与交汇. 由于三角函数、简单三角恒等变换、解三角形是传统的 考试内容,预计2013年的高考命题对这部分内容的考查会保 持稳定.

第三单元 │ 高考纵览 高考纵览
题 型
三角 函数 与 选 择 题 三角 恒等 变换 解三 角形

考点统计
任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义

考查 频度
8

考查 要求
了解

考例展示
2011课标全国5 2011山东3

6

理解 了解 掌握 理解 掌握

2011课标全国11 2011安徽9 2011山东6
2011浙江6 2011辽宁7 2011天津6 2011辽宁4

8
6

第三单元 │ 高考纵览

题 型 三角 函数 与

考点统计 任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义

考查 频度 1 14 5

考查 要求 了解 理解 了解 掌握 理解 掌握

考例展示 2011江西文14 2011江苏9 2011江苏7 2011课标全国16 2011安徽14 2011北京9

填 空 题

三角 恒等 变换 解三 角形

8

第三单元 │ 高考纵览

题 型 三角 函数 与

考点统计

考查 频度 7

考查 要求 了解

考例展示 2011天津15 2011北京15 2011福建16

三角函数的图象与性质

解 答 题

三角 恒等 变换

三角函数式的恒等变换

8

理解

2011广东16 2011安徽18
2011浙江18 2011陕西18 2011山东17 2011湖南17

解三 角形

正弦定理和余弦定理、 定义

8

理解 掌握

第三单元 │ 使用建议 使用建议
1.编写意图 由于高考降低了对三角恒等变换的要求,三角恒等变换 公式主要是解决三角函数问题的工具,故本单元把教材中的 三角函数和简单三角恒等变换进行了整合.

第三单元 │ 使用建议
在编写中注意到如下的几个问题:(1)考虑到该部分在高 考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方 法的讲解和练习的力度,控制了选题的难度;(2)突出了函 数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,在该讲设置了双课时作 业;(3)考虑到三角函数知识的工具性,适当加入了三角函 数在各个方面的应用的一些题目;(4)在第22讲中强化了正 弦定理和余弦定理解三角形的技巧和方法,以基本的选题 讲解应用这两个定理如何解三角形,并在第23讲中着重讲 解对其的应用,以培养学生应用数学知识解决实际问题的 能力.

第三单元 │ 使用建议
2.教学指导 鉴于该部分知识的重要性,以及该部分在高考中的考查 特点是重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部 分时,要注意如下几个问题: (1)进行考情思路分析,使学生明白该部分在高考中的 考查特点是重视基础,在复习中不要追求难题、偏题和怪题, 只要把基本问题复习透彻即可;

第三单元 │ 使用建议
(2)由于该部分的选题以基础为主,其中绝大多数问题学 生都能独立完成,在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽 量让学生独立完成包括例题在内的题目,教师的职责在于对 方法和规律的总结,在于引导; (3)在复习中要对照考纲,关注一些公式的导出过程,如 考纲中的“能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α的正弦、 π 余弦、正切,及 ±α的正弦、余弦的诱导公式”、“会用向量 2 的数量积推导出两角和差的余弦公式”等;

第三单元 │ 使用建议
(4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容,是 最高级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本 掌握这两个定理的证明,然后通过例题,讲解和变式训练使学 生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题目; (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互 化,在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思 想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边角 互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在三角 形问题中注意引导学生使用方程的思想解题;

第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中.解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度 和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理,把求 解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理和余弦 定理加以解决,教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题 时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际应用问题的 本质所在.

第三单元 │ 使用建议
3.课时安排 该部分共8讲,其中第19讲和22讲设置双课时作业,2个滚 动基础训练卷,建议10课时完成复习任务.

第16讲 │ 角的概念及任意角的三角函数

第16讲 角的概念及任意角 的三角函数

第16讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进 行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义.

第16讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.角的概念的推广 (1)任意角:①定义:角可以看成平面内的________绕着 一条射线 图形 端点从一个位置旋转到另一个位置所成的________;②角的分 类:角按旋转方向分为______________. 正角、负角和零角 (2)所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,构成的角 {β |β =α +k?360°,k∈Z} 的集合是S=_____________________; (3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴 的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是 第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任 何一个象限.

第16讲 │ 知识梳理
2.弧度制

半径 (1)定义:把长度等于________长的弧所对的圆心角叫做1
弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角 的弧度数是零.

π (2)角度制和弧度制的互化:180° =____rad,1° = ?180? π ? ?° ______rad,1 rad=________. 180 ? π ? |α|r (3)扇形的弧长公式:l=______,扇形的面积公式:S= 1 2 1 |α|r lr 2 __________=________. 2

第16讲 │ 知识梳理
3.任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sinα=y, y cosα=x,tanα=x.三个三角函数的初步性质如下表:

第16讲 │ 知识梳理

第16讲 │ 知识梳理
4.单位圆中的三角函数线 如图16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的 余弦线、正弦线和正切线,它是实现数形结合的有效工具.

图16-1

第16讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 角的概念的推广 ) )

(1)小于90° 的角是锐角;(

(2)第一象限的角一定不是负角.(

[答案] (1)错

(2)错

[解析] (1)小于90° 的角也可以是零角或负角;(2)第 一象限的角可以是负角,如α=-300° 就是第一象限的 角.

第16讲 │ 问题思考
? 问题2 弧度制

(1)角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立 一种一一对应的关系;( ) )

π (2)将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角度是 .( 3

[答案] (1)对

(2)错

第16讲 │ 问题思考
[解析] (1)角的概念推广后,无论用角度制还是弧度制,都能 在角的集合与实数集之间建立一一对应关系,即

(2)将表的分针拨快10分钟,是顺时针转,∴分针转过的角 π 度是- . 3

第16讲 │ 问题思考
? 问题3 任意角的三角函数的概念 )

(1)角α的三角函数值与终边上的点P的位置有关;( (2)终边相同的角有相同的三角函数值.( )

[答案] (1)错

(2)对

[解析] (1)角α的三角函数值只与角α的大小有关,不受终 边上的点P的位置的影响;(2)由三角函数的定义,可知终边 相同的角的同一三角函数值相等.

第16讲 │ 问题思考
? 问题4 三角函数的符号与单位圆中的三角函数线

(1)若已知角α的某一三角函数值确定,则角α所在象限就唯 一确定;( )

(2)已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第三象 限.( )

[答案] (1)错

(2)错

[解析] (1)例如,已知sinα>0,则角α的终边可以在第一、第二 象限或在y轴的正半轴上.(2)由点P在第三象限,得tanα<0, cosα<0,则角α的终边在第二象限.

第16讲 │ 问题思考
? 问题5 角所在的象限的判断 )

α (1)已知α是第二象限角,则 是第一象限角;( 2

(2)已知2α的终边在x轴上方,则角α的终边在第一象 限.( )

[答案] (1)错

(2)错

第16讲 │ 问题思考
π [解析] (1)由α是第二象限角,即 +2kπ<α<π+2kπ(k∈Z), 2 π α π α 得 +kπ< < +kπ(k∈Z),则 是第一象限角或第三象限角. 4 2 2 2 π (2)由题意2kπ<2α<2kπ+π,k∈Z,得kπ<α<kπ+ , 2 k∈Z.当k是奇数时,α是第三象限角;当k是偶数时,α是第一象 限角,则角α的终边在第一或第三象限. α 已知角α所在象限,应熟练地确定 所在象限. 2

第16讲 │ 问题思考

第16讲 │ 问题思考
如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限的 α1 α2 α3 α4 角,则 、 、 、 分布如图,即第一象限的角的半角是第一 2 2 2 2 或第三象限的角(其余略),熟记如图,解有关问题就方便多了.

第16讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 任意角概念的应用

例1 (1)[2011· 福州质检] 下列各选项中,与sin2011° 最 接近的数是( ) 1 1 2 2 A.- B. C. D.- 2 2 2 2 3 (2)[2011· 东城二模] 已知sinθ= ,且角θ的终边在第二象 4 限,那么2θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

第16讲 │ 要点探究
[思路] (1)利用终边相同的角,其三角函数值相等,找出在 0° ~360° 内与2011° 终边相同的角;(2)结合三角函数的符号可判 断角所在的象限.

[答案] (1)A

(2)C

第16讲 │ 要点探究
(1)因为2011° =5× 360° +211° ,211° =31° +180° ,所

[解析]

以sin2011° =-sin31° ,故选A. π (2)由θ的终边在第二象限,得 +2kπ<θ<π+2kπ(k∈Z), 2 3 2 π 3π 又sinθ= > ,则 +2kπ<θ< +2kπ(k∈Z), 4 2 2 4 3π ∴π+4kπ<2θ< +4kπ(k∈Z),即2θ的终边在第三象限,故 2 选C.

第16讲 │ 要点探究
[点评] 利用与角α终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ,

k∈Z},可以把任意角转化到[0,2π)范围内来研究;确定一个角的 象限位置,不仅要看角的三角函数值的符号,还要考虑它的函数 值的大小.

第16讲 │ 要点探究

变式题 tanθ等于( A. 2-1

设θ∈ ) B. 2

?π π? ? , ? ?6 3 ?

,且17θ的终边与θ角的终边相同,则

C. 2+1

D.1

第16讲 │ 要点探究
[答案]D

[解析]

根据终边相同的角的表示方法,则17θ=2kπ+

?π π? kπ π kπ π 4 ? , ?,故 < < ,由此得 θ(k∈Z),得θ= (k∈Z),由于θ∈ 6 3 8 6 8 3 3 ? ?

8 π <k< ,由于k是整数,故k=2,所以θ= ,所以tanθ=1. 3 4

第16讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2

扇形弧长公式与面积公式的应用
已知扇形的周长为4 cm,当它的半径为________和

圆心角为________弧度时,扇形面积最大,这个最大面积是 ________.

[思路] 利用扇形的弧长和面积公式,可以把扇形的 面积表示成圆心角的函数,或表示成半径的函数,进而 化归为函数的最值问题求解.

第16讲 │ 要点探究
[答案] 1 cm 2 1 cm2

[解析] 设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,面积为S. 4 方法1:由2r+l=2r+r|α|=4,得r= , 2+|α| 1 2 1 42 8 8 则S= |α|r = |α|· ≤ =1, 2= 2 2 ?(2+|α|)? 4 4 +4+|α| 4+2 · |α| |α| |α| 4 4 当且仅当 =|α|,即α=2时等号成立,此时,r= = |α| 2+|α| 1,故当半径r=1 cm,圆心角α=2弧度时,扇形的面积最大, 最大值是1 cm2.

第16讲 │ 要点探究
4-2r 方法2:由2r+l=2r+r|α|=4,得|α|= r , 1 2 1 4-2r 2 则S= |α|r = · r · =2r-r2=-(r-1)2+1, r 2 2 当r=1时,S有最大值1,故当半径r=1 cm,圆心角α=2弧 度时,扇形的面积最大,最大值是1 cm2.

第16讲 │ 要点探究
1 [点评] (1)扇形的面积公式中的 rl类似于三角形的面积公 2 式,弧长相当于三角形的底、半径相当于三角形的高,再根据 1 弧长公式就有 |α|r2,可以使用这个方法记忆扇形的面积公式; 2 求解的目标函数含有两个变量,其基本思路是“消元”;法二比 法一更简捷,因此在建立函数模型时,引入的自变量不同,其 函数模型也不同,于是解析也有优劣之分.

第16讲 │ 要点探究
(2)扇形的圆心角θ、半径r、弧长l、面积S之间有下列比例 关系: θ l S = = . 2π 2πr πr2

第16讲 │ 要点探究
变式题 (1)已知扇形的半径为10 cm,圆心角为120° ,则扇

形的弧长为________,面积为________. (2)周长为c的扇形,当扇形的圆心角α=________弧度时, 其面积最大,最大面积是________.

第16讲 │ 要点探究
20 [答案] (1) π cm 3 100 π cm2 3 (2)2 c2 16

2π 20 1 2 [解析] (1)圆心角α= ,弧长l=αr= π(cm),面积S= αr 3 3 2 100 = π(cm2). 3 (2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S. c-l ∵c=2r+l,∴r= (l<c), 2 1 1 c-l 1? c ?2 c2 则S= rl= · · l=- ?l-2? + , 2 2 2 4? 16 ? c c2 l 当l= 时,Smax= ,此时α=r=2. 2 16

第16讲 │ 要点探究
? 探究点3 任意角三角函数定义的应用

例3 (1)[2011· 江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点,始边 为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=- 2 5 ,则y=________. 5 (2)[2011· 课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合,始边 与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( ) 4 3 A.- B.- 5 5 3 4 C. D. 5 5

第16讲 │ 要点探究

[思路]

第(1)小题可根据正弦函数的定义列出关于y的方程

求解;第(2)小题可由角θ终边上一点,根据三角函数的定义求 出角θ的一个三角函数值,进而求得cos2θ的值.

[答案] (1)-8

(2)B

第16讲 │ 要点探究

[解析] (1)由已知,得r=|OP|= 42+y2, y y 由三角函数的定义,得sinθ=r = 2, 16+y 2 5 y 2 5 ∵sinθ=- ,∴ 2=- 5 , 5 16+y 解得y=± 8, 2 5 又sinθ=- <0,即y<0,故y=-8. 5

第16讲 │ 要点探究

(2)解法1:在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0),则r2=?OP?2 ? ? =a2+(2a)2=5a2, a2 1 2 3 2 2 ∴cos θ= 2= ,∴cos2θ=2cos θ-1= -1=- . 5a 5 5 5 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 2a 解法2:tanθ= a =2,cos2θ= 2 = =- cos θ+sin2θ 1+tan2θ 3 . 5

?

?

第16讲 │ 要点探究

[点评]

角α的三角函数值只与其终边所在的位置有关,与

终边上点的位置无关,不论点P在角α的终边的什么位置,角α 的三角函数值都是确定的;另一方面,当点P的坐标确定,角α 的三角函数值也就确定了,即此类问题可先确定角α终边上的 一点,并求出这个点与原点的距离r,进而利用任意角的三角 函数定义,求得相应的三角函数值.

第16讲 │ 要点探究

变式题

π 角速度为 的质点P,从点(-1,0)出发,逆时针 4

沿单位圆x2+y2=1运动,经过17个单位时间后,点P的坐标是 ( )
? A.? ? ? ? C.? ? ?

2 2? ? , ? 2 2?

? B.?- ? ?

2 2? ? , ? 2 2? 2 2? ? ,- ? 2 2?

2 2? ? ,- ? 2 2?

? D.?- ? ?

第16讲 │ 要点探究
[答案]D
17π [解析] 经过17个单位时间,质点运动的弧度是 ,此时 4 17π 21π 5π 质点P在角π+ = 的终边上,即在 的终边上,根据三角 4 4 4 函数的定义,此时该点的坐标是
? ? ?- ? ? 5π 5π? ?cos ,sin ? 4 4? ?

,即

2 2? ? ,- ?. 2 2?

第16讲 │ 要点探究
? 探究点4
例4

三角函数线的应用
如果θ是第一象限角,那么恒有( )

θ θ A.sin >0 B.tan <1 2 2 θ θ θ θ C.sin >cos D.sin <cos 2 2 2 2 θ [思路] 根据θ是第一象限角,确定 所在的象限及其范 2

围,然后结合单位圆中的三角函数线确定三角函数值的大小 关系.

第16讲 │ 要点探究

第16讲 │ 要点探究
[答案]B
π [解析] 由于θ是第一象限角,故2kπ<θ<2kπ+ (k∈Z), 2 θ π kπ< <kπ+ (k∈Z),在单位圆中画出这个角的终边的范围,结 2 4 合三角函数线(如图所示),可知正确选项为B.

第16讲 │ 要点探究

[点评] 利用单位圆中的三角函数线,可以确定一些含三角 函数的不等式的解,但要注意三角函数线是有向线段,三角函 数线的数量是对应的三角函数值,正切线中当角的终边在第 二、第三象限时是角的终边的反向延长线与单位圆上点A(1,0) 处的切线的交点T所构成的有向线段AT.

第16讲 │ 要点探究
变式题 已知点P(sinθ-cosθ,tanθ)在第一象限,则在 [0,2π]内θ的取值范围是( ) ?π 3π? ? 5π? A.?2 , 4 ?∪?π, 4 ? ? ? ? ? ?π π? ? 5π? B.?4, 2?∪?π, 4 ? ? ? ? ? ?π 3π? ?5π 3π? C.?2 , 4 ?∪? 4 , 2 ? ? ? ? ? ?π π? ?3π ? D.?4 , 2 ?∪? 4 ,π? ? ? ? ?

第16讲 │ 要点探究
[思路] 根据点P的位置,确定角的三角函数值的大小关

系,然后根据单位圆中的三角函数线,确定θ的取值范围.

[答案] B

第16讲 │ 要点探究
[解析] 由sinθ-cosθ>0且tanθ>0,结合单位圆中的三角函

?π π? ? 5π? 数线,可知θ在[0,2π]内的取值范围是?4 , 2 ?∪?π, 4 ?. ? ? ? ?

第16讲 │ 规律总结 规律总结
1.与角α终边相同的角可以表示为β=2kπ+α(k∈Z)的形 式,应注意:①α是任意角;②相等的角终边一定相同,终边相 同的角不一定相等;③角度制与弧度制不能混用,如α=2kπ+ 45° 不正确. 2.在扇形的有关问题中,要充分揭示图形的性质及联系, 抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二求其余的关键.

第16讲 │ 规律总结
3.根据任意角的三角函数定义解题时,可以取角的终边上 的任意一点,特别在解选择题和填空题时,可以取角的终边上的 一个特殊点. 4.单位圆中的三角函数线是实现数形结合的重要工具,利 用单位圆中的三角函数线可以研究同角三角函数关系、诱导公式 以及三角函数的图象,要注意三角函数线是有向线段.

第16讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1需对m分类讨论,是对探究点3的补充;例 2,补充角所在的象限与角的三角函数值的符号之间的关系.

第16讲 │ 备用例题
例 1 已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m)(m≠0), 2sinα+cosα 则 的值为________.

2 [答案] ± 5

第16讲 │ 备用例题
[解析] 当 m>0 时,点 P 在第二象限,|OP|=5m,则 2sinα 3m -4m 2 +cosα=2× + = ; 5m 5m 5 当 m<0 时,点 P 在第四象限,|OP|=-5m,则 3m -4m 2 2sinα+cosα=2× + =- . 5 -5m -5m

第16讲 │ 备用例题
例2 解答下列问题:

(1)若 θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ)· cos(sinθ)的符号; (2)若 tan(cosθ)· tan(sinθ)>0,试指出 θ 所在象限,并用图形 θ 表示出 终边所在的范围. 2

第16讲 │ 备用例题
[解答] (1)∵θ 在第四象限, π π ∴0<cosθ<1< ,- <-1<sinθ<0, 2 2 ∴sin(cosθ)>0,cos(sinθ)>0, ∴sin(cosθ)· cos(sinθ)>0.

第16讲 │ 备用例题

?tan?cosθ?>0, ? (2)由题知? ?tan?sinθ?>0 ? ?0<cosθ<1, ? ∴? ?0<sinθ<1 ?

?tan?cosθ?<0, ? 或? ?tan?sinθ?<0, ?

?-1<cosθ<0, ? 或? ?-1<sinθ<0, ?

即 θ 在第一或第三象

限; θ 若 θ 在第一象限,则 终边所在的范围如图①所示;若 θ 在 2 θ 第三象限,则 终边所在的范围如图②所示(见阴影部分,不含 2 边界).

第16讲 │ 备用例题

第17讲 │ 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第17讲

同角三角函数的基本 关系式与诱导公式

第17讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, sinx =tanx. cosx π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的 2 正弦、余弦、正切的诱导公式.

第17讲 │ 知识梳理

知识梳理
1.同角三角函数基本关系式 sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:______________; sinα tanα= cosα (2)商数关系:____________;

平方和 即同一个角α的正弦、余弦的________等于1,商等于角α 正切 的______.

第17讲 │ 知识梳理
2.诱导公式

sinα cosα tanα

-sinα -sinα sinα

cosα

cosα -sinα

-cosα cosα -cosα sinα tanα -tanα -tanα

第17讲 │ 知识梳理

(1)公式一~四:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数

同名 锐角 值,等于α的______函数值,前面加上一个把α看成______时原
函数值的符号,记忆规律是:函数名不变,符号看象限; (2)公式五~六: π 2 ± α的正弦(余弦)值,分别等于α的

余弦(正弦) 锐角 ____________值,前面加上一个把α看成______时原函数值的
符号,记忆规律是:函数名改变,符号看象限.

第17讲 │ 知识梳理
3.常见特殊角的三角函数值

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2

第17讲 │ 知识梳理

0 1 0

1 2 2 2 3 2 2 2 3 1 3

1 3 3 2 0 1 2 2 2 2 1 1 0 - - 2 - 3 -1 2 2 2 2 不存 3 - 3 -1 - 3 0 在 3

-1 0 不存 在

第17讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 同角三角函数的基本关系式 ) )

(1)若α、β为锐角,则sin2α+cos2β=1;( sinα (2)若α∈R,则tanα= 恒成立.( cosα

第17讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错

[解析] (1)只有当α=β时,才有sin2α+cos2β=1; π (2)因为cosα≠0,则α≠ +kπ,k∈Z. 2

第17讲 │ 问题思考
? 问题2 基本关系式的应用 ) )

(1)sin2α+cos2α=sin2θ+cos2θ;( (2)(sinα+cosβ)2=1+2sinαcosβ.(

第17讲 │ 问题思考
[答案] (1)对 (2)错

[解析]

应用平方关系,可得(1)正确;(2)中有两个角α、β,

不是同角三角函数,故(2)错.

第17讲 │ 问题思考

?

问题3

诱导公式 ) ) )

1 1 (1)若sin(3π+θ)= ,则sinθ= ;( 3 3
?π ? (2)若cos?2+α?=m,则sinα=m;( ? ?

(3)sin(kπ-α)=sin(π-α)=sinα(k∈Z).(

第17讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错 (3)错

[解析] (1)先应用诱导公式一,得sin(3π+θ)=sin(2π+π+ θ)=sin(π+θ);再应用公式二,得sin(π+θ)=-sinθ,故sinθ 1 =- . 3 ?π ? π (2)因为 +α可看作是第二象限的角,则cos ?2+α? =- 2 ? ? sinα,故sinα=-m. (3)当k=2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin(2nπ-α)= sin(-α)=-sinα; 当k=2n+1(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin[(2n+1)·π-α]= sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sinα.

第17讲 │ 问题思考

?

问题4
2

常用的有关结论 ) )

1 (1)cos α= ;( 1-tan2α

(2) 1-sin2α=sinα-cosα.(

第17讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错

sinα [解析] (1)由sin α+cos α=1和 =tanα,得tan2αcos2α cosα
2 2

1 +cos α=1,故cos α= . 1+tan2α
2 2

(2)因为1-sin2α=sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα- cosα)2,故 1-sin2α=|sinα-cosα|.

第17讲 │ 问题思考

? 确定.(

问题5 )

已知sinα+cosα=1,则sinnα+cosnα的值不能

第17讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析]
?sinα=0, ? ? ?cosα=1. ? ?sinα+cosα=1, ? ? ?sin2α+cos2α=1, ? ?sinα=1, ? ? ?cosα=0 ?



解得



∴sinnα+cosnα=1.

另外,观察单位圆与直线x+y=1,交点坐标为(1,0)和 ?sinα=1, ? ? (0,1),可得若满足sinα+cosα=1,则 或 ?cosα=0 ?
?sinα=0, ? ? ?cosα=1. ?

故sinnα+cosnα=1.

第17讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

同角三角函数基本关系式及应用

? 3π? 3 (1)[2011· 重庆卷] 若cosα=- ,且α∈ ?π, 2 ? ,则 5 ? ?

tanα=________. (2)[2011· 全国卷] 已知α∈ ________.
? 3π? ?π, ? 2? ?

,tanα=2,则cosα=

第17讲 │ 要点探究
[思路] 首先,由角α所在象限,可确定相应的三角函数的

符号;其次,第(1)小题可由sin2α+cos2α=1直接求出sinα,进 而求得tanα,第(2)小题可联立sin2α+cos2α=1和sinα=tanαcosα 求解.

第17讲 │ 要点探究
4 [答案] (1) 3 5 (2)- 5

? 3π? 3 [解析] (1)∵cosα=- ,且α∈?π, 2 ?, 5 ? ?

4 ∴sinα=- 1-cos α=- , 5
2

sinα 4 ∴tanα= = . cosα 3

第17讲 │ 要点探究
(2)方法一:∵tanα=2,∴sinα=2cosα,代入sin2α+cos2α
? 3π? 1 5 =1得cos α= ,又α∈?π, 2 ?,∴cosα=- . 5 5 ? ?
2

1 1 1 方法二:cos α= 2 = 2= , 1+tan α 1+2 5
2

? 3π? 又∵α∈?π, 2 ?,∴cosα=- ? ?

5 . 5

第17讲 │ 要点探究
[点评] 已知角α的一个三角函数值,利用sin2α+cos2α=1

sinα 和tanα= 可求得另外的两个三角函数值;若角α所在的象限 cosα 已知,则所求三角函数的符号确定,可直接求值;若角α所在 的象限不确定,则必须分类讨论,例如下面变式题.

第17讲 │ 要点探究

变式题

1 (1)已知tanα=- ,则2sinα-cosα=________. 3

(2)已知sinα=m(m≠0,m≠± 1),则tanα=________.

10 10 [答案] (1) 或- 2 2

m m (2) 2或- 1-m 1-m2

第17讲 │ 要点探究
1 [解析] (1)由tanα=- ,得cosα=-3sinα, 3 代入sin2α+cos2α=1,得 1 sin α+9sin α=1,即sin α= , 10
2 2 2

1 ∵tanα=- <0, 3 ∴α为第二或第四象限角.

第17讲 │ 要点探究
当角α为第二象限角时, 10 3 10 sinα= ,cosα=- , 10 10 2 10 3 10 10 2sinα-cosα= + = , 10 10 2 10 3 10 当角α为第四象限角时,sinα=- ,cosα= , 10 10 2 10 3 10 10 2sinα-cosα=- - =- , 10 10 2 10 10 综上,得2sinα-cosα= 或- . 2 2

第17讲 │ 要点探究
(2)∵sinα=m(m≠0,m≠± 1),∴角α的终边不在坐标轴 上. 当α为第一、四象限角时, m cosα= 1-sin α= 1-m ,tanα= 2; 1-m 当α为第二、三象限角时, m 2 cosα=- 1-m ,tanα=- 2, 1-m m m 综上,tanα的值为 2或- 2 . 1-m 1-m
2 2

第17讲 │ 要点探究
? 探究点2 齐次式问题的解法

例2

?3π ? 已知sin(5π+α)=2sin? 2 -α?,求下列各式的值: ? ?

2sinα-cosα (1) ; sinα+2cosα (2)sin2α+sinαcosα-2cos2α.

第17讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题由已知可得tanα的值,可以考虑分子分母 同除以cosα,把所求式中的弦化切,或直接将式中的正弦用余 弦代换,分子分母约分后,达到求值的目的;对第(2)小题为达 到利用条件tanα=2的目的,将分母1变为sin2α+cos2α,利用第 (1)小题的方法一求值.

第17讲 │ 要点探究
[解答]
?3π ? 由sin(5π+α)=2sin? 2 -α?,得 ? ?

? ? π sin(4π+π+α)=2sin?π+2-α?, ? ? ?π ? ∴sin(π+α)=-2sin?2-α?,即-sinα=-2cosα, ? ?

∴sinα=2cosα,tanα=2.

第17讲 │ 要点探究
(1)方法一:∵tanα=2,∴cosα≠0, 2sinα cosα - 2-1 3 cosα cosα 2tanα-1 2× ∴原式= = = = . sinα 2cosα tanα+2 4 2+2 + cosα cosα 方法二:由tanα=2,得sinα=2cosα,代入求值式得 2× 2cosα-cosα 3cosα 3 原式= = = . 2cosα+2cosα 4cosα 4

第17讲 │ 要点探究
sin2α+sinαcosα-2cos2α (2)原式= sin2α+cos2α tan2α+tanα-2 = tan2α+1 22+2-2 4 = 2 = . 5 2 +1

第17讲 │ 要点探究
[点评] 如果所给分式的分子、分母是关于sinα和cosα的齐次

式,则可通过分子分母同除以cosα的最高次幂将分式转化成关于 tanα的分式,然后代入求值.下面变式题可由已知求得tanx的 值,再利用同角三角函数的基本关系式弦化切.

第17讲 │ 要点探究

变式题

1+tanx 已知 =3+2 2 ,则sinxcosx=________, 1-tanx

sinx(sinx-3cosx)=________.

第17讲 │ 要点探究
2 [答案] 3 1 - 2 3

2 [解析] 由已知得tanx= , 2 sinxcosx tanx 2 则sinxcosx= 2 = = ; sin x+cos2x tan2x+1 3 sin2x-3sinxcosx sinx(sinx-3cosx)=sin2x-3sinxcosx= = 2 2 sin x+cos x tan2x-3tanx 1 = - 2. 3 tan2x+1

第17讲 │ 要点探究
? 探究点3 诱导公式及应用

例 3 (1)[2011· 海淀模拟] sin600° 的值为( ) 3 3 A. B.- 2 2 1 1 C.- D. 2 2 (2)[2011· 漳州六校联考] 化简: ? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ? =________. cos?-α-π?sin?-π-α?

第17讲 │ 要点探究

[思路] 本题利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进 行化简求值,第(1)小题先应用公式一,化为0° ~360° 的角的三 角函数,再应用公式二化为锐角三角函数;第(2)小题应观察原 式的特点,正确选用诱导公式.

[答案] (1)B

(2)-1

第17讲 │ 要点探究
[解析] (1)sin600° =sin(360° +240° )=sin240° =sin(180° +

3 60° )=-sin60° =- ,故选B. 2

第17讲 │ 要点探究
(2)方法一:原式 =
? ? π ?-tanα?· cos[π+?π-α?]· ?π+2-α? sin ? ?

cos?π+α?· [-sin?π+α?] ? ?π ?? ?-sin? -α?? ?-tanα?· [-cos?π-α?]· ? ?2 ?? = ?-cosα?· sinα -tanα· cosα· ?-cosα? -tanα· cosα = = sinα -cosα· sinα sinα cosα =- · =-1. cosα sinα

第17讲 │ 要点探究
? π? -tanα· cos?-α?· ?-α-2 ? sin ? ?

方法二:原式=

cos?π-α?· sin?π-α? ? π? sinα cosα· cosα tanα· cosα· ?α+2 ? cosα· sin ? ? = = =-1. -cosα· sinα -cosαsinα

第17讲 │ 要点探究

[点评]

应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负

号”的正确判断,容易出错的地方是三角函数的符号;求任意 角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函 数的求值问题,具体步骤为“负角化正角→正角化锐角→求 值”.

第17讲 │ 要点探究

变式题

已知 f(α)=

cos?π-α?sin?2π-α?tan?-α-π? . ? 5π? ? 3π? sin?-α-3π?cos?α+ 2 ?tan?-α+ 2 ? ? ? ? ? (1)化简 f(α); 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(2π-α)=- ,求 f(α)的值. 5

第17讲 │ 要点探究
[解答] (1)f(α) -cosα?-sinα?[-tan?α+π?] = ? ? ? ? π π -sin?2π+π+α?cos?2π+2+α?tan?π+2-α? ? ? ? ? cosαsinα?-tanα? = ?π ? ?π ? -sin?π+α?cos?2+α?tan?2-α? ? ? ? ? sinα -cosαsinα· cosα sinα = = =tanα. cosα cosα sinα?-sinα?· sinα

第17讲 │ 要点探究
1 (2)∵cos(2π-α)=- ,且α是第三象限角, 5 1 2 6 2 ∴cosα=- ,sinα=- 1-cos α=- , 5 5 sinα ∴f(α)= =2 6. cosα

第17讲 │ 规律总结 规律总结
1.利用诱导公式可以求任意角的三角函数,其一般思路是 先把负角化为正角,再化为[0,2π)范围内的角,最后化为锐角求 值;运用诱导公式的关键是确定符号,具体做法是将α视为锐角 后,再判断所求角的象限. 2.同角三角函数基本关系的功能是根据角的一个三角函数 值求解另外的三角函数值以及对同角的三角函数式进行变换,同 角三角函数的基本关系和方程思想联系密切,注意方程思想的运 用;在求值过程中要分析清楚求解目标角所在的象限、确定求解 的三角函数值的符号,符号选取体现在使用同角三角函数关系的 平方关系中.

第17讲 │ 规律总结
3.在三角函数问题中经常使用常数代换法,其中之一就是把1 代换为sin2α+cos2α.同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1和tanα= sinα cosα 联合使用,可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角

sinα 函数值;根据tanα= 可以把含有sinα,cosα的齐次式化为tanα的 cosα 关系式.

第17讲 │ 备用例题
备用例题
例1对于sinαcosα,sinα+cosα,sinα-cosα,

[备选理由]

借助同角三角函数的平方关系可知一求二,是对探究点1和2的 补充;例2对题中的角含有kπ±α化简时,要对k进行分类讨论, 是对探究点3的深化.

第17讲 │ 备用例题

1 例 1 已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα= . 5 (1)求 tanα 的值; 1 (2)把 2 2 用 tanα 表示出来,并求其值. cos α-sin α

第17讲 │ 备用例题
[解答] (1)方法一:联立方程组 ? 1 ?sinα+cosα= ,① 5 ? ?sin2α+cos2α=1,② ? 1 由①得 cosα= -sinα,将其代入②, 5 整理得 25sin2α-5sinα-12=0. ∵α 是三角形内角,∴sinα>0,
? ?sinα=4, 5 ? ∴? 3 ? ?cosα=-5, ?

4 ∴tanα=- . 3

第17讲 │ 备用例题
1 方法二:∵sinα+cosα= , 5 ∴(sinα+cosα)
2

?1? =?5?2, ? ?

1 24 即 1+2sinαcosα= ,∴2sinαcosα=- , 25 25 24 49 ∴(sinα-cosα) =1-2sinαcosα=1+ = . 25 25
2

第17讲 │ 备用例题
12 ∵sinαcosα=- <0 且 0<α<π, 25 ∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0, 7 ∴sinα-cosα= , 5 1 4 ? ? ?sinα+cosα=5, ?sinα=5, 由? 得? ?sinα-cosα=7, ?cosα=-3, 5 5 ? ? 4 ∴tanα=- . 3

第17讲 │ 备用例题
sin2α+cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α 1 (2) 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 , cos α-sin α cos α-sin α cos α-sin α 1-tan α cos2α 4 ∵tanα=- , 3 ? 4? ?- ?2+1 2 tan α+1 ? 3? 1 25 ∴ 2 2 = 2 = ? 4? =- 7 . cos α-sin α 1-tan α 1-?-3?2 ? ?

第17讲 │ 备用例题
[点评] 对于 sinαcosα,sinα+cosα,sinα-cosα,有下列关 系式和符号规律: (sinα + cosα)2 = 1 + 2sinαcosα , (sinα - cosα)2 = 1 - 2sinαcosα. 学会应用方程思想处理上述问题,对于 sinαcosα,sinα+ cosα,sinα-cosα 借助平方关系可知一求二,如(sinα± cosα)2= t2-1 1± 2sinαcosα;若令 sinα+cosα=t,则 sinαcosα= ,(sinα- 2 cosα)2=2-t2 等.

第17讲 │ 备用例题

例2

sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 化简: (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

第17讲 │ 备用例题
sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] 原式= sin[?2n+1?π+α]· cos?2nπ+α? sin?-α?· cos?-π-α? = sin?π+α?· cosα -sinα· ?-cosα? = =-1; -sinα· cosα 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] 原式= sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α] sin?π-α?· cosα sinα· cosα = = =-1. sinα· cos?π+α? sinα· ?-cosα? 综上,原式=-1.

第18讲 │ 三角函数的图象与性质

第18讲

三角函数的图象与性质

第18讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.能利用单位圆中的三角函数线画出 y=sinx,y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调 性、最大值和最小值、与 x 轴的交点等);理解正切函数在区
? π π? 间?-2 ,2 ?的单调性. ? ?

第18讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数的性质——周期性 (1)周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定

f(x+T)=f(x) 义域内的每一个值时,都有____________成立,那么函数f(x) 周期 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的______.
(2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那

最小正周期 么这个最小正数就叫做f(x)的____________.

第18讲 │ 知识梳理
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

第18讲 │ 知识梳理
定义 域 值域 奇偶 性 周期 单调 性
? ? ? ?

R
{y|-1≤y≤1}

R
{y|-1≤y≤1}

? ? π ? ? ?x?x≠ +kπ,k∈Z ? ? ? 2 ?

R 奇函数 π

奇函数 2π

偶函数 2π

? ? [-π+2kπ,2kπ],? π π π π ? ? ? - +2kπ, +2kπ?,k∈Z ?- +kπ, +kπ?,k∈Z 2 2 2 2 ? ? ? k∈Z

递增 区间
递减 区间

?π ? 3π ? +2kπ?,k∈Z ? +2kπ, ? 2 ?2 ?

[2kπ,π+2kπ], k∈Z

无 无

π +2kπ,k∈Z 2

2kπ,k∈Z

第18讲 │ 知识梳理

π +2kπ,k∈Z 2

2kπ,k∈Z



π - +2kπ,k∈Z 2
? ? ? ?

π+2kπ,k∈Z


? kπ ,0?,k∈Z ? 2 ?

(kπ,0),k∈Z

? π +kπ,0?,k∈Z ? 2 ?

π x= +kπ,k∈Z 2

? ? ? ?

x=kπ,k∈Z



第18讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 三角函数的周期性 )

(1)任意一个周期函数都有最小正周期;(

(2)如果函数y=f(x)的周期是T,则函数y=f(ωx)的周期是 T ω.( )

第18讲 │ 问题思考

[答案] (1)错

(2)对

[解析] (1)例如f(x)=C(C为常数)是周期函数,但f(x)没有最 小正周期. (2)由函数y=f(x)的周期是T,得f(x+T)=f(x),则
? ? T ?? T f?ω?x+ω??=f(ωx+T)=f(ωx),故函数y=f(ωx)的周期是ω. ? ? ??

第18讲 │ 问题思考
? 问题2 三角函数的奇偶性与对称性 )
? π? ?x+ ? 6? ?

? 3π? (1)函数y=sin?x+ 2 ?是奇函数;( ? ?

(2)若函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x∈R都有f
?π ? ?π? f?6 -x?,则f?6 ?=2;( ? ? ? ?



)

(3)函数y=cosx的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对 称.( )

第18讲 │ 问题思考

[答案] (1)错

(2)错

(3)错

[解析]

? ? ? ?π ? 3π? π (1)因为y=sin?x+ 2 ?=sin?π+2+x?=-sin?2 +x?=- ? ? ? ? ? ?

? 3π? cosx,则函数y=sin?x+ 2 ?是偶函数. ? ?

第18讲 │ 问题思考
? ?π ? π? π ?x+ ? =f ? -x? ,得x= 是函数f(x)的图象的一条对称 (2)由f 6? 6 ? ?6 ? ?π? π 轴,函数f(x)在x= 处取得最大值或最小值,故f?6 ?=± 2. 6 ? ?

(3)余弦函数图象的对称中心就是函数图象与x轴的交点,当
?π ? π cosx=0时,x= +kπ(k∈Z),即函数y=cosx关于点 ?2 +kπ,0? 2 ? ?

(k∈Z)中心对称.

第18讲 │ 问题思考

?

问题3

三角函数的单调性

(1)函数y=2cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减 函数;( )
? π ? ?x≠ +kπ,k∈Z? ? 2 ?

(2)正切函数y=tanx 数.( )

在定义域内是增函

第18讲 │ 问题思考
[答案] (1)对 (2)错

[解析] (1)由余弦函数的单调性,得函数y=2cosx在[-π, 0]上是增函数,在[0,π]上是减函数. π π π (2)y=tanxx≠ +kπ,k∈Z在开区间- +kπ, +kπ, 2 2 2 k∈Z内都是增函数,但在定义域内不是增函数.

第18讲 │ 问题思考

?

问题4

正弦函数与余弦函数的最值 ) )

(1)存在x∈R,使得2cosx=3;(

(2)y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.(

第18讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错

3 [解析] (1)由2cosx=3,得cosx= ,而-1≤cosx≤1,故不 2 存在x∈R,使得2cosx=3. (2)当k≥0时,y的最大值是k+1;当k<0时,y的最大值是1 -k.

第18讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

三角函数的定义域问题
函数y=lg(2sinx-1)+

(1)[2011· 泉州五校联考]

? π? tan?x-4 ?的定义域是________. ? ?

(2)函数y= sinx-cosx的定义域是________.

第18讲 │ 要点探究
[思路] 先列出使函数有意义的不等式(组),对第(1)小题要

考虑对数的真数大于0,正切函数的定义域,对第(2)小题需注 意偶次根式的被开方数为非负数,再结合函数的图象或三角函 数线求解.
?π ? ?3π ? 3π 5π [答案] (1)?6+2kπ, 4 +2kπ?∪? 4 +2kπ, 6 +2kπ?,k∈Z ? ? ? ? ? ?π ? ? ? 5π (2)?x?4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ, k∈Z? ? ? ? ? ?

第18讲 │ 要点探究

[解析] (1)要使函数有意义,必须 π π ? ?x- ≠ +kπ,k∈Z, 4 2 ? ?2sinx-1>0, ? ? 3π ?x≠ 4 +kπ,k∈Z, 即? ?sinx>1 2 ?

? 3π ?x≠ 4 +kπ,k∈Z, ?? ?π+2kπ<x<5π+2kπ,k∈Z. 6 ?6

第18讲 │ 要点探究

第18讲 │ 要点探究
如图,利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组的 解 集 , 从 而 得 函 数 的 定 义 域 为
?3π ? 5π ? ∪ 4 +2kπ, 6 +2kπ?,k∈Z. ? ? ?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ? 6 4 ? ?

(2)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 方法一:利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示.

第18讲 │ 要点探究
π 5π 在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为 , ,再结合正弦、余 4 4 弦函数的周期是2π,
? ?π ? 5π ?x? +2kπ≤x≤ +2kπ, 所以定义域为 4 4 ? ? ? ? ? k∈Z?. ? ?

第18讲 │ 要点探究
方法二:利用三角函数线,如图MN为正弦线,OM为余弦 线,要使sinx≥cosx,即MN≥OM, π 5π 则 ≤x≤ (在[0,2π)内). 4 4
? ?π ? 5π ∴定义域为?x?4 +2kπ≤x≤ 4 +2kπ, ? ? ? ? ? k∈Z?. ? ?

第18讲 │ 要点探究
[点评] (1)三角函数的定义域是研究三角函数其他性质的前 提,求三角函数的定义域,即求使函数有意义应满足的条件, 常转化为三角不等式组求解; (2)解三角不等式经常借助两个工具,即单位圆中的三角函 数线和三角函数的图象,有时也利用数轴求解; (3)对于周期相同的可以先求交集,再加周期的整数倍即 可.

第18讲 │ 要点探究
? 探究点2 三角函数的值域与最值问题
? π? y=2cos?x- 3 ?,x∈[0,π]的值域是________. ? ?

例 2(1)函数

(2)[2011· 三明质检] 函数 y=cos2x-sinx 的最大值是 ( ) A.-2 B.-1 7 C. 8 9 D. 8

第18讲 │ 要点探究

[思路] 第(1)小题应先确定角的范围,再利用余弦函数的有 界性求解;第(2)小题转化为关于sinx的二次函数的形式,求出 其最大值.

第18讲 │ 要点探究
[答案] (1)[-1,2] (2)D

π ? π 2π? [解析] (1)由x∈[0,π],得x- ∈?-3, 3 ?, 3 ? ? ? π ? ? 2π? 又∵函数y=2cosx在 ?-3,0? 上是增函数,在 ?0, 3 ? 上是 ? ? ? ? 减函数, π π ∴当x- =0,即x= 时,函数有最大值2, 3 3 π 2π 当x- = ,即x=π时,函数有最小值-1, 3 3 ? π? ∴函数y=2cos?x-3 ?,x∈[0,π]的值域是[-1,2]. ? ?

第18讲 │ 要点探究
(2)y=cos2x-sinx=1-2sin2x-sinx
? 1 ?2 9 =-2?sinx+4? + , 8 ? ?

1 因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=- 时,函数有最大值,最 4 9 大值为 ,故选D. 8

第18讲 │ 要点探究
[点评] 求三角函数的值域或最值,一可利用sinx,cosx的

有界性求解,二可转化为求关于sinx(或cosx)的二次函数问题, 利用配方、换元等方法求解.解题时,必须先确定函数的定义 域.下面变式题就是可转化为闭区间上二次函数的最值问题:

第18讲 │ 要点探究

变式题

已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

?π? (1)求f?3 ?的值; ? ?

(2)求f(x)的最大值和最小值.

第18讲 │ 要点探究

[解答]

?π? 2π π π ? ?=2cos +sin2 -4cos (1)f 3 3 3 3 ? ?

? 1? ? ? =2× -2?+? ? ? ? ?

1 3 9 3 ?2 ? ? -4× =-1+4-2=-4. 2 2?

第18讲 │ 要点探究

(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx =3cos2x-4cosx-1
? 2?2 7 =3?cosx-3? - , 3 ? ?

∵-1≤cosx≤1, ∴当cosx=-1时,f(x)取得最大值6; 2 7 当cosx= 时,f(x)取得最小值- . 3 3

第18讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

三角函数的奇偶性与周期性

? π? (1)已知函数f(x)=sin ?2x-6 ? ,若存在a∈(0,π),使得 ? ?

f(x+2a)=f(x)恒成立,则a的值是( π A. 6 π C. 4 π B. 3 π D. 2

)

第18讲 │ 要点探究
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x) 的最小正周期是π,且当x∈ 为( ) 1 A.- 2 3 C.- 2 3 B. 2 1 D. 2
? π? ?0, ? 2? ?

时,f(x)=sinx,则f

?5π? ? ? 的值 ?3 ?

第18讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题可由函数周期性的定义直接求解;第(2) 小题可根据周期性与奇偶性,把所求的函数值转化为区间
? π ? ?0, 2 ? ? ? ?的函数值求解. ?

第18讲 │ 要点探究
[答案] (1)D (2)B

[解析] (1)由已知f(x+2a)=f(x),由函数周期性的定义,得 2a是f(x)的一个周期;又函数f(x)=sin π π,且a∈(0,π),则a= ,故选D. 2
? π? ?2x- ? 6? ?

的最小正周期为

第18讲 │ 要点探究

(2)∵函数f(x)的最小正周期为π,
?5π? ? π ? ? π? ∴f? 3 ?=f?-3 +2π?=f?-3 ?; ? ? ? ? ? ?

∵函数f(x)是偶函数,
?5π? ? π? ?π? π ? ?=f?- ?=f? ?=sin = ∴f 3 3 ? ? ? 3? ?3 ?

3 . 2

第18讲 │ 要点探究
[点评] 函数的奇偶性反映了函数在定义域内函数值的规

律,已知一个函数值,可求解它的相反数的函数值;函数的周 期性反映了在等距离(周期的倍数)上的两个函数值之间的相等 关系,其功能也是把函数值进行转化,以达到由已知函数值求 解未知函数值的目的.

第18讲 │ 要点探究
? 探究点4
例4

三角函数的单调性

? π? (1)函数y=2cos?x-3 ?的单调递增区间是________. ? ? ? π? 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间 ?0,3 ? 上单 ? ?

(2)[2011· 山东卷]

?π π? 调递增,在区间?3 , 2 ?上单调递减,则ω=( ? ?

)

A.3 3 C. 2

B.2 2 D. 3

第18讲 │ 要点探究

π [思路] 第(1)小题可把x- 当作一个整体,利用余弦函数的 3 单调性求解;第(2)小题把ωx看作一个角,对比正弦函数y=sinx 的单调性,可得ω的值.
? 2π ? π (1)?- 3 +2kπ,3+2kπ?,k∈Z ? ?

[答案]

(2)C

第18讲 │ 要点探究
π [解析] (1)由-π+2kπ≤x- ≤2kπ,k∈Z,得 3 2π π - +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z, 3 3 ∴ 函 数 y = 2cos
? π? ?x- ? 3? ?

的 单 调 递 增 区 间 是

? 2π ? π ?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z. 3 3 ? ?

第18讲 │ 要点探究
π (2)本题考查三角函数的单调性.因为当0≤ω x≤ 时,函 2 π 数f(x)是增函数,当 ≤ω x≤π 时,函数f(x)为减函数,即当 2 π π π 0≤x≤ 时函数f(x)为增函数,当 ≤x≤ 时,函数f(x)为 2ω 2ω ω π π 3 减函数,所以 = ,所以ω = . 2ω 3 2

第18讲 │ 要点探究
[点评] 利用正、余弦函数y=sinx、y=cosx的单调区间,是 求解正、余弦型函数的单调区间的关键;特别提醒,当单调区 间有无穷多个时,别忘了注明k∈Z.三角函数的单调性反映了具 有大小关系的两个角之间三角函数值的大小,对正切函数可类 比正余弦函数得到其单调区间.

第18讲 │ 规律总结 规律总结
1.三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质,求三 角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象. 2.要注意应用正弦、余弦函数的有界性求函数值域或最值, 而三角函数的最值都是在给定区间上得到的,因而特别要注意题设 中所给的区间.

第18讲 │ 规律总结
3.函数的周期性是函数在定义域上的整体性质,对于具有周 期性的函数,可以研究函数在一个周期内的性质,即可把这些性质 推广到定义域上. 4.判断三角函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性; 三角函数的单调性是函数的局部性质,要注意在k值不同的区间 上,三角函数是不单调的.

第18讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1说明同角三角函数的关系,sinx+cosx与

sinxcosx之间可以互相转化,用换元法求解,是对探究点2的补 充;例2补充三角函数的对称性问题.

第18讲 │ 备用例题
例1 求y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

第18讲 │ 备用例题
[解答] 令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx t2-1 = . 2 t2-1 1 所以y=f(t)=t+ = (t+1)2-1. 2 2 ? π? 又t=sinx+cosx= 2sin?x+4?,所以- 2≤t≤ 2. ? ? 1 故y=f(t)= (t+1)2-1(- 2≤t≤ 2), 2 1 从而f(-1)≤y≤f( 2),即-1≤y≤ 2+ . 2 ? 1? 所以函数的值域为?-1, 2+2?. ? ?

第18讲 │ 备用例题
π 例2如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=- 对 8 称,则实数a的值为( A. 2 C.1 B.- 2 D.-1 )

[答案] D

第18讲 │ 备用例题
[解析]解法一:设f(x)=sin2x+acos2x,因为函数的图象关于
? π ? ? π ? π 直线x=- 对称,所以f?-8+x?=f?-8 -x?对一切实数x都成立, 8 ? ? ? ? ? π ? ? π ? 即sin2?-8+x?+acos2?-8+x? ? ? ? ? ? π ? ? π ? =sin2?-8-x?+acos2?-8-x?, ? ? ? ?

第18讲 │ 备用例题
? π ? ?π ? 即sin?-4+2x?+sin?4+2x? ? ? ? ? ? ?π ? ? π ?? =a?cos?4+2x?-cos?-4+2x??, ? ? ? ? ??

π π ∴2sin2x· =-2asin2x· , cos sin 4 4 即(a+1)· sin2x=0对一切实数x恒成立,而sin2x不能恒为0, ∴a+1=0,即a=-1,故选D.

第18讲 │ 备用例题
π 解法二:∵f(x)=sin2x+acos2x关于直线x=- 对称, 8 ? π ? ? π ? ∴有f?-8+x?=f?-8 -x?对一切x∈R恒成立. ? ? ? ? π 特别地,对于x= 应该成立. 8 ? π? π 将x= 代入上式,得f(0)=f?-4 ?, 8 ? ? ? π? ? π? ∴sin0+acos0=sin?-2 ?+acos?-2 ?, ? ? ? ? ∴0+a=-1+a× 0, ∴a=-1,故选D.

第19讲 │三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性 质及三角函数模型的简单应用

第19讲 三角函数y=Asin(ωx+φ)的 图象与性质及三角函数模型的简单 应用

第19讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y= Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影 响. 2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会 用三角函数解决一些简单的实际问题.

第19讲 │ 知识梳理

知识梳理
1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要把 ωx+φ 看成一个整体,要找五个特征点,如表格所示.

第19讲 │ 知识梳理

φ - ω

π -φ 2 ω

π-φ 3π-φ 2π-φ 2 ω ω ω

第19讲 │ 知识梳理
π 3π ωx+φ 具体做法是:先令________取0, ,π, ,2π五个 2 2 值,求出相应的x、y的值,再描点作图.

第19讲 │ 知识梳理
2.函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示 简谐振动时,几个相关的概念如下表:

简谐振动 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)

振幅 A

周期 频率 相位 初相
T= 2π 1 ωx+φ f= ω T

φ

第19讲 │ 知识梳理
3.函数y=sinx的图象经平移变换得到y=Asin(ωx+φ)的 图象的步骤如下 方法一:先画出函数y=sinx的图象,再把正弦曲线向

|φ| y=sin(x+φ) 左(右)平移______个单位长度,得到函数____________的图
1 ω 象;然后使曲线上各点的横坐标都变为原来的____倍,得到

y=sin(ωx+φ) 纵坐标 函数____________的图象;最后把曲线上各点的________变 A 为原来的____倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图
象.

第19讲 │ 知识梳理
方法二:先画出函数y=sinx的图象,再使曲线上各点 1 y=sinωx 的横坐标都变为原来的____倍,得到函数__________的图 ω ?φ? ? ? 象;然后把正弦曲线向左(右)平移____个单位长度,得到函 ?ω?

y=sin(ωx+φ) 纵坐标 数____________的图象;最后把曲线上各点的________变为 A 原来的____倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图
象. 以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩,方法二 先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.

第19讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 函数y=Asin(ωx+φ)图象的伸缩与平移 (1)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两 种途径,向左或向右平移的单位长度一样;( ) ? π? (2)要得到函数y=sin2x的图象,只需把函数y=sin ?2x+3 ? ? ? π 的图象向右平移 个单位长度;( ) 3 1 (3)把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 1 (纵坐标不变),得到函数y=sin x的图象.( ) 2

第19讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错 (3)错

[解析] (1)“先平移后伸缩”平移的单位长度为|φ|,“先伸缩 ?φ ? 后平移”平移的单位长度为?ω?. ? ? ? ? π? π? (2)因为y=sin ?2x+ 3? =sin2 ?x+6 ? ,则应把函数y= ? ? ? ? ? π? π sin ?2x+3? 的图象向右平移 个单位长度,得到函数y=sin2x的 6 ? ? 图象. (3)把横坐标缩短,周期变小,则ω应变大,故应得到函数 y=sin2x的图象.

第19讲 │ 问题思考

?

问题2

3π π 函数y=sin(-2x)的递减区间是- -kπ,- 4 4 )

-kπ(k∈Z).(

第19讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] y=sin(-2x)=-sin2x,它的图象和函数y=sin2x的图 象关于x轴对称,单调性正好相反,y=sin(-2x)的递减区间是:
? π ? π π π - +2kπ<-2x< +2kπ,k∈Z,即?-4-kπ,4-kπ?(k∈Z). 2 2 ? ?

第19讲 │ 问题思考

? π .( 4 )

问题3

函数y=2sin

?1 π? ? x- ? 4? ?2

4 的频率为 ,初相为 π

第19讲 │ 问题思考

[答案]错
2π 1 1 [解析] 函数的周期为T= ω =4π,频率f=T= ,初相为 4π π - . 4

第19讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

例 1 [2011· 州 质 检 ] 已 知 函 数 f(x) = 3 sinωx + 亳 cosωx(ω>0)的最小正周期为 4π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图 象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变 换得到.

第19讲 │ 要点探究

[思路]

先把解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,即可得到

它的振幅、初相;然后找出与x相对应的五个点,描点连线即 得所求作的图象;进行变换要注意平移的先后顺序.

第19讲 │ 要点探究
3 1 π [解答] f(x)=2 sinωx+ cosωx=2sinωx+ , 2 2 6
?1 π? 2π 1 由T=4π,得 ω =4π(ω>0),ω= ,则f(x)=2sin?2x+6 ?. 2 ? ?

π ∴函数的振幅为2,初相为 . 6

第19讲 │ 要点探究
(2)①列出下表: x 1 π x+ 2 6
?1 π? y=2sin?2x+6 ? ? ?

π 2π 5π - 3 3 3 π 0 π 2 0

8π 11π 3 3 3π 2π 2

2 0 -2 0

第19讲 │ 要点探究
? π ? ?2π ? ?5π ? ?8π ? ②描点:描出点 ?-3 ,0? 、 ? 3 ,2? 、 ? 3 ,0? 、 ? 3 ,-2? 、 ? ? ? ? ? ? ? ? ?11π ? ? ,0?. ? 3 ?

③连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后将其向 两端平移伸展,得到图象如图所示.

第19讲 │ 要点探究
π (3)方法一:把y=sinx图象上的所有点向左平移 个单位长 6 度,得到y=sin
? π? ?x+ ? 6? ?

的图象,再把y=sin

? π? ?x+ ? 6? ?

的图象上的所

有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=
?1 ?1 π? π? sin ?2x+6? 的图象,然后把y=sin ?2x+6 ? 的图象上的所有点的纵 ? ? ? ? ?1 π? 坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin?2x+ 6? 的 ? ?

图象.

第19讲 │ 要点探究
方法二:将y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 1 1 2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象;再将y=sin x的图象上 2 2 π 1 ? π? ?x+ ? ,即y= 所有点向左平移 个单位长度,得到y=sin 3? 3 2 ?
?1 ?1 π? π? sin ?2x+6? 的图象;然后把y=sin ?2x+6 ? 的图象上的所有点的纵 ? ? ? ? ?1 π? 坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin?2x+ 6? 的 ? ?

图象.

第19讲 │ 要点探究
[点评] 用“五点法”作图,先将原函数化为y=Asin(ωx+

π 3π φ)(A>0,ω>0)的形式,再令ωx+φ=0, ,π, ,2π求出相 2 2 应的x值及相应的y值,就可以得到函数图象上一个周期内的五 个点,用平滑的曲线连接五个点,再向两端平移延伸即可得到 函数在整个定义域上的图象;图象变换时,要明确:一是由哪 个函数变换为哪个函数,二是区分先平移再伸缩和先伸缩再平 移的差别.三角函数的图象变换是高考的热点,多以小题的形 式出现,如下面的变式题:

第19讲 │ 要点探究
变式题 (1)[2011· 温州一模] 要得到函数y=cos2x的图 )

象,只需把函数y=sin2x的图象( π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2

第19讲 │ 要点探究
(2)[2011· 全国卷] 设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图 π 象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω 3 的最小值等于( 1 A. 3 C.6 B.3 D.9 )

第19讲 │ 要点探究
[答案] (1)A
[解析]

(2)C
?π ? ? -2x? ?2 ?

(1)由于y=sin2x=cos

=cos

? π? ?2x- ? 2? ?



? π? π cos2 ?x- 4? ,则把函数y=sin2x的图象向左平移 个单位长度, 4 ? ? ? π π? 即得到函数y=cos2?x-4+4?=cos2x的图象,故选A. ? ?

第19讲 │ 要点探究
π (2)将y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的图象与 3 π 2π 原图象重合,则 = ω k,k∈Z,得ω=6k,k∈Z,又ω>0, 3 则ω的最小值等于6,故选C.

第19讲 │ 要点探究
? 探究点2 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

例 2 (1) [2011· 江苏卷] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω, φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图 19-1 所示,则 f(0) 的值是________.

图 19-1

第19讲 │ 要点探究
(2)如图 19-2 所示,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运 动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

图 19-2

第19讲 │ 要点探究

图19-3

第19讲 │ 要点探究
[思路] 本题由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,第(1) 小题可由图象的最高(低)点确定A的值,由图象得函数的周期可
?π ? 确定ω的值,把图象上的点 ?3,0? 代入可得φ的值;第(2)小题考 ? ?

虑排除法确定函数的解析式.

第19讲 │ 要点探究
6 [答案] (1) 2

(2)C

[解析] (1)由图象,得函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最低点的纵 1 7 π 2π 坐标为- 2 , 个周期为 π- ,则A= 2 ,周期T= ω = 4 12 3
?7 π? 4?12π-3 ?, ? ?

∴ω=2,

第19讲 │ 要点探究
?π ? 把图象上的点?3 ,0?代入解析式,得 ? ? ? π ? 2π ?2× +φ?=0,即 +φ=kπ,k∈Z, sin 3 3 ? ?

2π π 由五点作图法,知 +φ=π,解得φ= , 3 3 ∴函数的解析式为f(x)= π 6 故f(0)= 2sin = . 3 2
? π? 2sin?2x+3 ?, ? ?

第19讲 │ 要点探究
(2)方法一:根据图象对应的解析式为
? ? π? π? ? ?-2sin?t- ?,t∈?0, ?, 4? 4? ? ? ? ? ?π 5π? ? π? d=?2sin?t- 4?,t∈?4, 4 ?, ? ? ? ? ? ? ?5π ? ? π? ?-2sin?t-4 ?,t∈? 4 ,2π?, ? ? ? ? ?

第19讲 │ 要点探究
? π? 分析,当从P0( 2,- 2)转到x轴处,t∈?0,4 ?,点P到x轴 ? ? ?π 3π? 距离d随时间t的增大而减小;从x轴正半轴出发,t∈ ?4, 4 ? , ? ?

点P到x轴距离d随时间t的增大而增大;从y轴正半轴出发, ?3π 5π? t∈ ? 4 , 4 ? ,点P到x轴距离d随时间t的增大而减少;从x轴负半 ? ? ?5π 7π? 轴出发,t∈ ? 4 , 4 ? ,点P到x轴距离d随时间t的增大而增大; ? ? ?7π ? 从y轴负半轴出发,t∈ ? 4 ,2π? ,点P到x轴距离d随时间t的增大 ? ? 而减少.满足变化规律的为选项C.

第19讲 │ 要点探究
π 方法二:∵P0( 2,- 2),∴∠P0Ox= . 4 π 按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t- . 4
? π? 此时P点纵坐标为2sin?t-4 ?, ? ? ? ? π?? ∴d=2?sin?t-4 ??. ? ? ??

π 当t=0时,d= 2,排除A、D;当t= 时,d=0,排除B, 4 故选C.

第19讲 │ 要点探究
[点评] 由函数y=Asin(ωx+φ)+b图象求解析式,实质是逆 用五点法作图的过程,特别是求初相φ时,必须弄清五个点的 横坐标是如何确定的,其一般步骤是:①由图象得函数的最大 M-m M+m 值M和最小值m,则A= ,b= ;②观察图象确定函 2 2 2π 数的周期T,则ω= T ;③把图象上的一个已知点的坐标代入y =Asin(ωx+φ)+b,根据φ的取值范围或函数图象,得出φ的 值.第(2)小题考查了三角函数的周期性及函数的图象,难点是 不易把P点到x轴距离d表示为t的函数,采用特值法求解更简 洁.

第19讲 │ 要点探究
π 变式题 [2011· 浙江卷] 已知函数 f(x)=Asin( x+φ), 3 π x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分图象如图 19-4 所示,P、Q 2 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3

图 19-4

第19讲 │ 要点探究
2π [解答] (1)由题意得,T= =6. π 3 ?π ? 因为P(1,A)在y=Asin?3x+φ?的图象上, ? ? ?π ? 所以sin?3+φ?=1, ? ? π 又因为0<φ< , 2 π 所以φ= . 6

第19讲 │ 要点探究
(2)设点 Q 的坐标为(x0,-A). π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得 x0=4,所以 Q(4,-A). 3 6 2 2π 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-?9+4A2? cos∠PRQ = = = 2 2RP· RQ 2A· 9+A 1 - ,解得 A2=3, 2 又 A>0,所以 A= 3.

第19讲 │ 要点探究
? 探究点3
例 3

三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质
[2011· 淀 二 模 ] 已 知 函 数 f(x) = cos2ωx + 3 海

sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求
?2π? f? 3 ?的值; ? ?

(2)求函数 f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.

第19讲 │ 要点探究
1 3 [解答] (1)f(x)= (1+cos2ωx)+ sin2ωx 2 2
? π? 1 = +sin?2ωx+ 6 ?, 2 ? ?

2π 因为f(x)的最小正周期为π,所以 =π,解得ω=1, 2ω
? ?2π? π? 1 1 ?2x+ ?+ ,所以f? ?=- . 所以f(x)=sin 6? 2 2 ? ?3 ?

第19讲 │ 要点探究
π π π (2)分别由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 3π 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π π 2π 可得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z),kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6 6 3
? π π? 所以,函数f(x)的单调增区间为?kπ- 3,kπ+6 ?(k∈Z); ? ?

第19讲 │ 要点探究
? π 2π? f(x)的单调减区间为?kπ+ 6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?

π π kπ π 由2x+ =kπ+ (k∈Z)得x= + (k∈Z). 6 2 2 6 kπ π 所以,f(x)的图象的对称轴方程为x= + (k∈Z). 2 6

第19讲 │ 要点探究
? 探究点4 三角函数模型的简单应用

例4

[2011· 南阳调研] 在自然条件下,一年中10次测量的某

种细菌一天内的存活时间的统计表(时间近似到0.1小时)如下所 示:

第19讲 │ 要点探究

第19讲 │ 要点探究
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,一天内的存活 时间y为纵坐标,在给定坐标系中画出这些数据的散点图; (2)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t的函数模型来近似地 描述一年中该细菌一天内的存活时间y与日期位置序号x之间的 函数关系;(注:①求出所选用的函数关系式;②一年按365天 计算) (3)用(2)中的函数模型估计该种细菌一年中大约有多少天的 存活时间都大于15.9小时?

第19讲 │ 要点探究

图19-5

第19讲 │ 要点探究

[思路] 利用表中数据可作出散点图,观察散点图可得此函 数模型,由表中数据知函数最值、周期,从而求得函数解析 式;根据函数解析式可列不等式,求解三角不等式可得存活时 间大于15.9小时的天数.

第19讲 │ 要点探究
[解答] (1)由表中数据,作出散点图如图所示.

第19讲 │ 要点探究
(2)由散点图知道该细菌一天内的存活时间y与日期位置序号 x之间的函数关系近似为y=Asin(ωx+φ)+t,由散点图结合表中 数据,知函数的最大值为19.4,最小值为5.4, 19.4-5.4 19.4+5.4 ∴A= =7,t= =12.4, 2 2 2π 2π 又∵周期T=365,∴ω= T = , 365
? 2π ? 即函数解析式为y=7sin?365x+φ?+12.4. ? ?

第19讲 │ 要点探究
把x=172,y=19.4代入函数解析式,得 ? 2π ? 172+φ?+12.4=19.4, 7sin?365× ? ? ? 2π ? 172+φ?=1, 即sin?365× ? ? 2π π 323π 由五点作图法,知 × 172+φ= ,解得φ=- , 365 2 730 ∴一年中该细菌一天内的存活时间y与日期位置序号x之间 的函数关系式是 ? 2π 323π? y=7sin?365x- 730 ?+12.4,(x∈N*,x≤365). ? ?

第19讲 │ 要点探究
?2πx 323π? 1 (3)由y>15.9,得sin?365- 730 ?> . ? ? 2

π 2πx 323π 5π ∴ < - < ,解得112≤x≤232. 6 365 730 6 ∴该种细菌大约有121天的存活时间大于15.9小时.

第19讲 │ 要点探究
[点评] 本题是三角函数模型的应用题,解决这类问题通过

观察散点图和对数据进行分析,对散点图进行函数拟合,得到 具体的三角函数模型,进而求出函数解析式,体现了数形结合 思想.如果涉及复杂的数据,往往要进行估算.

第19讲 │ 规律总结 规律总结
1.由函数y=sinx(x∈R)的图象经过平移变换得到函数y= Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题中,可先平移变换后伸缩变换, 也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来. 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本 思想是把ωx+φ看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一 类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.

第19讲 │ 规律总结
3.对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表 示,三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知函数 模型,关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法 则,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再 利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.

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[热点五] 质 例[2011· 课标全国卷] 设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+ ? π? φ)?ω>0,|φ|<2 ?的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( ) ? ? ? π? A.f(x)在?0,2 ?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4 , 4 ?单调递减 ? ? ? π? C.f(x)在?0,2 ?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4 , 4 ?单调递增 ? ? 如何处理三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性

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[规范解答] A π 原式可化简为 f(x)= 2sin(ωx+φ+ ),因为 4

2π f(x)的最小正周期 T= ω =π(ω>0), 所以 ω=2.所以 f(x)=
? π? 2sin?2x+φ+4 ?, ? ?

又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=
? π? 2sin?2x+φ+4 ?=± ? ?

2cos2x,

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π π π 所以φ+ = +kπ,k∈Z,所以φ= +kπ,k∈Z, 4 2 4 π π ? φ?< ,所以φ= . 又因为 ? 2 4
? ? ?

所以f(x)= 所以f(x)=

? π? 2sin?2x+2 ?= ? ?

2cos2x,

? π? 2cos2x在区间?0,2 ?上单调递减. ? ?

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[信息提炼] 第一步:把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形 式; 第二步:由已知周期求ω; 第三步:利用f(x)是偶函数求φ,确定函数解析式; 第四步:由函数解析式求出其单调区间.

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[方法剖析] 与函数y=Asin(ωx+φ)相关的试题难度属中低

档,涉及的背景主要是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移和伸缩 变换,以及根据图象确定函数的解析式和性质,是高考命题的热 点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,主要考查识图、用 图能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力,善于 运用数形结合的思想,抓住了基础和基本方法,就登上了胜利的 制高点.

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自我检评[2011· 湖北卷] 已知函数f(x)= x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为( ) ? ? ? ? ? π ?x?kπ+ ≤x≤kπ+π,k∈Z ? A. 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π B.?x?2kπ+ 3≤x≤2kπ+π,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 5π ?x?kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z ? C. 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z ? D. 6 6 ? ? ? ? ? 3 sinx-cosx,

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[答案]B
π [解析] (1)因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ),由 f(x)≥1, 6 π π 1 π π 5π 得 2sin(x- )≥1,即 sinx- ≥ ,所以 +2kπ≤x- ≤ +2kπ, 6 6 2 6 6 6 π k∈Z,解得 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 3

第19讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1补充正切函数y=tanx的图象和性质;例2

是正弦曲线与余弦曲线的图象变换的关系.

第19讲 │ 备用例题
例1已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)
?π? 部分图象如图,则f?24?=________. ? ? ? π? ?ω>0,|φ|< ? 2? ?

,y=f(x)的

[答案]

3

第19讲 │ 备用例题
?3π π? π π π ? - ?= ,ω=2.又由于 2× +φ= [解析] 由图象知ω=2× 8 8 8 ? ? 2

π π π π kπ+ (k∈Z),得 φ=kπ+ (k∈Z),又|φ|< ,所以 φ= .这时 f(x) 2 4 2 4
? π? =Atan?2x+ 4 ?.又图象过点(0,1), 代入得 ? ?

A=1, 故

? π? f(x)=tan?2x+ 4 ?. ? ?

所以

?π? ? π π? f?24?=tan?2× +4 ?= ? ? ? 24 ?

3.

第19讲 │ 备用例题
例2 [2011· 惠州一模] 已知f(x)=cos
? π? ?ωx+ ? 3? ?

(ω>0)的图象

与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π,要得到y=f(x)的图 象,只需把y=sinωx的图象( ) 11π A.向右平移 个单位长度 12 5π B.向右平移 个单位长度 12 11π C.向左平移 个单位长度 12 5π D.向左平移 个单位长度 12

[解析] D

第19讲 │ 备用例题
[解析]依题意,y=f(x)的最小正周期为π,故ω=2,
? ? ? π? π π? 5π? 因为y=cos?2x+3 ?=sin?2x+3+2 ?=sin?2x+ 6 ?, ? ? ? ? ? ?

5π 所以把y=sin2x的图象向左平移 个单位长度即可得到y= 12
? π? cos?2x+3?的图象,故选D. ? ?

第20讲 │ 两角和与差的正弦、余弦、正切

第20讲

两角和与差的正弦、余弦、正切

第20讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内 在联系.

第20讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sinαcosβ±cosαsinβ (1)公式S(α±β):sin(α± β)=__________________; cosαcosβ?sinαsinβ (2)公式C(α±β):cos(α± β)=__________________; tanα± tanβ (3)公式T(α±β):tan(α± β)=__________________, 1?tanαtanβ
公式可变形为:

tan(α±β)(1?tanαtanβ) tanα± tanβ=____________________.

第20讲 │ 知识梳理
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

2sinαcosα (1)公式S2α:sin2α=____________;
cos2α-sin2α 2cos2α-1 (2)公式C2α:cos2α=____________=__________=

1-2sin2α __________,公式可变形为: 1+cos2α 1-cos2α 2 sin2α=__________,cos2α=__________; 2 2tanα (3)公式T2α:tan2α=__________. 1-tan2α

第20讲 │ 问题思考 问题思考
π π 问题1 当α= ,β= 时,cos(α-β)=cosα+cosβ成 2 4 )

?

立;若α、β为任意角,cos(α-β)=cosα+cosβ也成立.(

第20讲 │ 问题思考
[答案]错
π π π 3 [解析] 取α= ,β= ,则cos(α-β)=cos = ,cosα+ 2 3 6 2 π 1 cosβ=cos = ,等式不成立. 3 2

第20讲 │ 问题思考

?

问题2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式对任意 )

的角都适用.(

第20讲 │ 问题思考

[答案]错

[解析]

公式S(α±β)与C(α±β)对任意的角α、β均适用,在公式

T(α±β)中,要求tanα、tanβ、tan(α± β)都有意义,即α、β、α± β都 π 不等于 +kπ(k∈Z). 2

第20讲 │ 问题思考

?

问题3

判断下列各式化简的结果是否正确: )

?π ? 1 3 (1) cosx- sinx=cos?3-x?;( 2 2 ? ? ? 1-tanα π? (2) =tan?α-4 ?.( 1+tanα ? ?

)

第20讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错

1 3 π π [解析] (1) cosx- sinx=cos cosx-sin sinx= 2 2 3 3
?π ? cos?3+x?; ? ?

π ?π ? ? 1-tanα tan4-tanα π? (2) = =tan?4 -α?=-tan?α-4 ?. π 1+tanα ? ? ? ? 1+tan tanα 4

第20讲 │ 问题思考

?

问题4

用tanα表示sin2α、cos2α,得sin2α= )

1+tan2α 2tanα 2 ,cos2α= 2 .( 1-tan α 1-tan α

第20讲 │ 问题思考
[答案]错

cos2α-sin2α 2sinαcosα 2tanα [解析] sin2α= 2 = ,cos2α= 2 = sin α+cos2α 1+tan2α sin α+cos2α 1-tan2α 2 . 1+tan α

第20讲 │ 问题思考

?

问题5

?π ? ?π ? 对任意的角α,有sin?4 -α?=cos?4+α?.( ? ? ? ?

)

第20讲 │ 问题思考
[答案]对
[解析]
?π ? 由公式,有sin?4-α? ? ?

π π 2 =sin cosα-cos sinα= (cosα-sinα), 4 4 2
?π ? π π ? +α?=cos cosα-sin sinα= cos 4 4 4 ? ?

2 (cosα-sinα),故等式 2

成立.

第20讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 和差角的三角函数的应用

例1 (1)[2011· 银川模拟] 在平面直角坐标系中,以原点 O为顶点,以x轴的非负半轴为始边作锐角 α,钝角β,它们的 终边分别与单位圆相交于A、B两点,且A、B两点的横坐标 α+β 3 1 分别为 、- ,那么sin 的值等于( ) 2 2 2 6- 2 2+ 6 A. B. 4 4 2+ 6 6- 2 C.- D.- 4 4

第20讲 │ 要点探究
(2)[2011· 苏州调研] 如图20-1,三个相同的正方形相接, 则α+β=________.

图20-1

第20讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题可由三角函数的定义,得出α、β的三角函 数值,进而求得α、β的度数,根据两角和的正弦公式求解;第 (2)小题先求得α、β的正切值,转化为应用两角和的正切公式求 α+β的正切值.

[答案] (1)B

3π (2) 4

第20讲 │ 要点探究
3 [解析] (1)由任意角的三角函数定义,得 cosα= ,cosβ= 2 1 - , 2 ∵α 为锐角,β 为钝角, ∴α=30° ,β=120° ,则 α+β=150° , α+β ∴sin = sin75°= sin(45°+ 30° = sin45° ) cos30°+ 2 cos45° sin30° 6+ 2 2 3 2 1 = × + ×= ,故选 B. 2 2 2 2 4

第20讲 │ 要点探究
(2)设正方形的边长为1,则tanα=2,tanβ=3, tanα+tanβ 2+3 ∴tan(α+β)= = =-1, 1-tanαtanβ 1-2× 3 ∵α、β均为锐角, 3π ∴α+β= . 4

第20讲 │ 要点探究
[点评] 应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值,其 关键是熟练掌握公式的特点,准确使用公式;已知三角函数值 求角,应根据条件确定角的范围,然后选择求取值范围内的具 有单调性的一个三角函数值,最后由三角函数值求角的值;高 考中,常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合,考查 三角函数求值问题,如下面变式题:

第20讲 │ 要点探究

变式题

1- 已知函数f(x)=

? π? 2sin?2x- 4? ? ?

cosx

.

(1)求f(x)的定义域; 4 (2)设α为第四象限的角,且tanα=- ,求f(α)的值. 3

第20讲 │ 要点探究

π [解答] (1)由cosx≠0得x≠kπ+ (k∈Z), 2
? ? ? π ? ? ?x?x≠kπ+ ,k∈Z? 故f(x)的定义域为? 2 ? ? ? ?

.

第20讲 │ 要点探究
4 (2)因为tanα=- ,且α是第四象限的角, 3 4 3 所以sinα=- ,cosα= , 5 5 ? π? 1- 2sin?2x- 4 ? ? ? 故f(x)= cosx ? 2 ? 2 ? 1- 2? sin2x- cos2x? ? 1-sin2x+cos2x 2 ? 2 ? = = cosx cosx 2cos2x-2sinxcosx = =2(cosx-sinx), cosx 14 ∴f(α)=2(cosα-sinα)= . 5

第20讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2 ________. (2)[2011· 辽宁卷] 7 A.- 9 1 B.- 9
?π ? 1 设sin?4+θ?= ,则sin2θ=( ? ? 3

倍角的三角函数的应用 π 3 (1)[2011· 龙岩质检] 已知sin -x= ,则cos2x= 2 3

)

1 C. 9

7 D. 9

第20讲 │ 要点探究
[思路] (1)可由已知得cosx的值,利用二倍角的余弦公式求
?π ? 解;(2)已知条件不能直接利用,应注意条件中隐含2θ=2 ?4+θ? ? ? ?π ? ?π ? π - ,应用诱导公式可得sin2θ=-cos ?2+2θ? =-cos2 ?4+θ? , 2 ? ? ? ?

再利用二倍角公式求解.

1 [答案] (1)- 3

(2)A

第20讲 │ 要点探究
[解析] (1)由sin 1 2cos x-1=- . 3
2

?π ? ? -x? ?2 ?

3 3 = ,得cosx= ,所以cos2x= 3 3

?π ? ? ? ?? ?π ? 2?π (2)sin2θ=-cos ?2+2θ? =- ?1-2sin 4+θ?? .由于sin ?4+θ? ? ? ? ? ?? ? ?

1 7 = ,代入得sin2θ=- ,故选A. 3 9

第20讲 │ 要点探究
[点评] 应用二倍角的正弦、余弦、正切公式求值,要注意 观察所求式子的结构,灵活选用公式或公式的变形;给值求值 问题,关键是寻找已知条件中的角与所求式子中的角之间的关 系,把已知与未知联系起来;求解这类问题时,要注意与其他 公式的综合,如下面变式题:

第20讲 │ 要点探究

变式题

cos2x [2011· 西城二模] 已知函数f(x)= ? . π? sin?x+4 ? ? ?

(1)求函数f(x)的定义域; 4 (2)若f(x)= ,求sin2x的值. 3

第20讲 │ 要点探究

[解答]

? π? (1)要使函数f(x)有意义,必须sin?x+4 ?≠0, ? ?

π π 得x+ ≠kπ(k∈Z),即x≠kπ- (k∈Z), 4 4
? ? ? π ?x?x≠kπ- ∴函数f(x)的定义域为 4 ? ? ? ? ? ,k∈Z?. ? ?

第20讲 │ 要点探究
cos2x cos2x 2cos2x (2)f(x) = ? = = = π π π? sinx+cosx sinxcos +cosxsin sin?x+4 ? 4 4 ? ? 2?cos2x-sin2x? = 2(cosx-sinx). sinx+cosx 4 2 2 因为 f(x)= ,所以 cosx-sinx= . 3 3 8 1 所以 sin2x=1-(cosx-sinx) =1- = . 9 9
2

第20讲 │ 要点探究
? 探究点3 和差与倍角公式的综合应用

例3

? π? 1 (1)[2011· 重庆卷] 已知sinα= +cosα,且α∈ ?0,2 ? , 2 ? ?

cos2α 则 ? 的值为________. π? sin?α-4 ? ? ? 1-cos2α 1 (2)已知 =1,tan(α-β)= ,则tan(2α-β)= sinαcosα 3 ________.

第20讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题所求式子可应用三角变换公式化简,由已 知得sinα-cosα的值,再利用同角三角函数的基本关系式,建 立sinα-cosα与sinα+cosα之间的联系;第(2)小题利用三角变换 公式化简已知条件可求得tanα的值,注意到所求角和已知角的 联系2α-β=(α-β)+α,可利用两角和的正切公式求解.

14 [答案] (1)- 2

(2)1

第20讲 │ 要点探究
cos2α [解析] (1) ? π? sin?α-4 ? ? ? cos2α-sin2α = 2 ?sinα-cosα? 2 ?cosα+sinα??cosα-sinα? = =- 2(cosα+sinα), 2 ?sinα-cosα? 2

第20讲 │ 要点探究
1 1 ∵sinα= +cosα,∴cosα-sinα=- , 2 2 1 两边平方得 1-2sinαcosα= , 4 3 所以 2sinαcosα= . 4 ? π? ∵α∈ ?0, 2 ? , ∴cosα + sinα = ?cosα+sinα?2 = ? ? 7 , 2 cos2α 14 ∴ ? =- . 2 π? sin?α-4 ? ? ?

3 1+ = 4

第20讲 │ 要点探究
1-cos2α 2sin2α 1 (2)由 =1,得 =1,则 tanα= ; sinαcosα sinαcosα 2 1 又∵tan(α-β)= , 3 1 1 + tan?α-β?+tanα 3 2 ∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]= = 1 1 1-tan?α-β?tanα 1- × 3 2 =1.

第20讲 │ 要点探究
[点评] 在使用三角恒等变换公式求解角的三角函数值、化 简三角函数式时,角变换是一个重要技巧,解题的关键是把目 标角化为已知角,如本例(2)中的目标角是2α-β,通过2α-β= (α-β)+α,就把目标角化为了已知角;另外,解题时还应注意 与其他公式的联系,如下面的变式:

第20讲 │ 要点探究

变式题

[2011· 天津卷]

? π? 已知函数f(x)=tan?2x+4 ?. ? ?

(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
? ?α? π? (2)设α∈?0,4 ?,若f?2 ?=2cos2α,求α的大小. ? ? ? ?

第20讲 │ 要点探究
π π π kπ [解答] (1)由2x+ ≠ +kπ,k∈Z,得x≠ + ,k∈Z. 4 2 8 2
? ? π ? 所以f(x)的定义域为?x∈R?x≠8 ? ? ? ? ? kπ + ,k∈Z?. 2 ? ?

π f(x)的最小正周期为 . 2

第20讲 │ 要点探究
? π? sin?a+4 ? ?α? ? π? ? ? (2)由f ?2 ? =2cos2α,得tan ?α+4 ? =2cos2α, ? =2(cos2α π? ? ? ? ? cos?α+ 4 ? ? ?

-sin2α), sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα ? π? 因为α∈?0,4 ?,所以sinα+cosα≠0, ? ? 1 1 2 因此(cosα-sinα) = ,即sin2α= . 2 2 ? ? π? π? π π ?0, ?,得2α∈?0, ?,所以2α= ,即α= . 由α∈ 4? 2? 6 12 ? ?

第20讲 │ 规律总结 规律总结
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒 等变形的主要工具,理解公式之间的关系及导出过程是关键,各公 式之间的关系如下表:

第20讲 │ 规律总结

第20讲 │ 规律总结
2.公式的变形在解题中起重要作用,要掌握这些变形公式及 其应用,特别是二倍角的余弦公式的变形,它能起到化倍角为单角 的升幂作用,也能起到化单角为倍角的降幂作用. 3.两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三 角函数运算规律”,对公式要会“正用”“逆用”“变形用”,记忆公式 要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”“-”的变化特点.

第20讲 │ 规律总结
4.注意“和”“差”“倍”都是相对的,如2α是α的倍角,而4α是2α 的倍角;在使用三角恒等变换公式解决问题时,“变换”是其中的精 髓,在“变换”中既有公式的各种形式的变换、也有角之间的变换,
?π ? π 如2α-β=(α-β)+α,2α=(α+β)+(α-β), +2α=2 ?4+α? 等,要 2 ? ?

始终体会“变换”的思想方法,掌握“变换”的技巧.

第20讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1补充化简求值问题;例2综合应用公式求

值,是对探究点3的补充.

第20讲 │ 备用例题
2cos10° -sin20° 例 1(1) 的值是( sin70° 1 A. 2 C. 3 3 B. 2 D. 2 )

sin?3α-π? cos?3α-π? (2)[2011· 坊 质 检 ] 化 简 : 潍 + = sinα cosα ________.

[答案] (1)C

(2)-4cos2α

第20讲 │ 备用例题
2cos?30° -20° ?-sin20° [解析] (1)原式= sin70° 2?cos30°cos20° · +sin30°sin20° · ?-sin20° = sin70° 3cos20° = = 3. cos20° sin3αcosα+cos3αsinα sin3α cos3α (2) 原 式 = - - =- =- sinα cosα sinαcosα sin4α 4sinαcosα· cos2α =- =-4cos2α. sinαcosα sinαcosα

第20讲 │ 备用例题

例2

[2011· 济源质检]

?π ? α α ? ,π?,且sin +cos = 已知α∈ 2 2 2 ? ?

6 . 2

(1)求cosα的值;
?π ? 3 (2)若sin(α-β)=- ,β∈?2,π?,求cosβ的值. 5 ? ?

第20讲 │ 备用例题
α α 6 [解答] (1)因为sin +cos = , 2 2 2 1 两边同时平方,得sinα= . 2 π 又 <α<π, 2 3 所以cosα=- . 2

第20讲 │ 备用例题
π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π π 所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 3 4 由sin(α-β)=- ,得cos(α-β)= . 5 5 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 3 4 1 ? 3? ? =- × + × -5? 2 5 2 ? ? 4 3+3 =- . 10

第21讲 │ 简单的三角恒等变换

第21讲

简单的三角恒等变换

第21讲 │ 考纲要求 考纲要求
能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

第21讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.常用的三角公式的变形 ? α α ?2 ?sin ± cos ? (1)1± sinα=______________; 2 2? ? 2α 2α 2sin (2)1+cosα=________,1-cosα=________; 2cos 2 2 1-cosα 1+cosα 2 α 2 α (3)降幂公式:sin =________,cos =________, 2 2 2 2 1-cosα 2α tan =________; 2 1+cosα sinα 1-cosα α (4)tan =________=________. sinα 2 1+cosα

第21讲 │ 知识梳理
a2+b2 2.辅助角公式asinα+bcosα=________sin(α+φ),其 b 中tanφ=____,φ的符号由a、b的符号确定. a
3.常见的几种角的变换

β (α-β) (1)α=(α+β)-____,α=________+β; (α-β) (α+β) (2)2α=(α+β)+________,2β=________-(α-β);
? β? α ?α ? α+β ?α- ? (3) =________-?2-β?,α=2× 2 ____. 2? ? 2 ? ?

第21讲 │ 知识梳理
4.常数的变换
sin2α+cos2α cos2α (1)1=____________,1=2cos2α-______, 2sin2α 1=cos2α+______;

π 1 π π 5 3 π π (2)1=tan , =sin =cos =sin π, =cos =sin , 4 2 6 3 6 2 6 3 2 π π =sin =cos . 2 4 4

第21讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 判断下列三角变换是否正确: 1 (1)cosα· sinβ= [sin(α+β)+sin(α-β)];( 2 1 (2)sinα· sinβ= [cos(α+β)-cos(α-β)].( 2

) )

第21讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错

[解析] (1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 两式相减,得sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ, 1 即cosα· sinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]. 2

第21讲 │ 问题思考

(2)因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 两式相减,得 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ, 1 即sinα· sinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2

第21讲 │ 问题思考

?

判断下列三角变换是否正确: θ+φ θ-φ (1)sinθ+sinφ=2sin sin ;( ) 2 2 θ+φ θ-φ (2)cosθ+cosφ=2cos sin .( ) 2 2

问题2

第21讲 │ 问题思考
[答案] (1)错 (2)错 [解析] (1)因为sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, θ+φ θ-φ 设α+β=θ,α-β=φ,则α= ,β= , 2 2 θ+φ θ-φ ∴sinθ+sinφ=2sin cos . 2 2 (2)因为cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ, θ+φ θ-φ 设α+β=θ,α-β=φ,则α= ,β= , 2 2 θ+φ θ-φ ∴cosθ+cosφ=2cos cos . 2 2

第21讲 │ 问题思考

?

问题 3 )

α 若 α 是 第 二 象 限 的 角 , 则 cos = 2

1+cosα .( 2

第21讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] 由α是第二象限的角, π 得 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 2 π x π 即 +kπ< < +kπ,k∈Z, 4 2 2 α α ∴ 是第一或第三象限的角,cos =± 2 2 1+cosα . 2

第21讲 │ 问题思考

?

问题 4 )

α 若 α 是 第 四 象 限 的 角 , 则 tan = 2

sinα ± .( 1+cosα

第21讲 │ 问题思考

[答案]错
α α α sin sin · 2cos 2 2 2 α sinα [解析] 因为tan = α= α α=1+cosα. 2 cos cos · 2cos 2 2 2

第21讲 │ 问题思考

?

问题5

1 1 sin15° +cos15° sin30° .( = = 2 4

)

第21讲 │ 问题思考
[答案]错

[解析] sin15° +cos15° =sin15° +sin75° 75° +15° 75° -15° 2 3 =2sin cos =2sin45° cos30° =2× × = 2 2 2 2 6 . 2

第21讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1 ( ) 13 A. 18 13 B.- 18 3 D. 22

三角函数式的化简与求值问题

? ? π? 1 π? 2 (1)设tan(α+β)= ,tan?β-4 ? = ,则tan?α+4 ? = 5 4 ? ? ? ?

3 C.- 22

第21讲 │ 要点探究
π π π 1 π (2)[2011· 浙江卷] 若0<α< ,- <β<0,cos +α= ,cos 2 2 4 3 4 β 3 β - = ,则cosα+ =( 2 3 2 3 3 A. B.- 3 3 5 3 6 C. D.- 9 9 )

第21讲 │ 要点探究
? π? π [思路] (1)观察得到α+ =(α+β)- ?β-4 ? ,应用两角差的 4 ? ?

正切公式求解;(2)由题设,利用同角三角函数的基本关系式求 得相应角的正弦值,再抓住条件中的角与所求式中的角的关系
? ?π β? β ?π α+ =?4+α?-?4-2?,使问题得解. 2 ? ? ? ?

第21讲 │ 要点探究

[答案] (1)D

(2)C

? π? π [解析] (1)∵α+ =(α+β)-?β- 4 ?, 4 ? ?

π tan?α+β?-tan(β- ) 4 π π ∴tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= 4 4 π 1+tan?α+β?tan(β- ) 4 2 1 - 5 4 3 = = ,故选D. 2 1 22 1+ × 5 4

第21讲 │ 要点探究
(2)∵cos
?π ? ? +α? ?4 ? ?π ? 1 π 2 3 = ,0<α< ,∴sin ?4+α? = .又 3 2 3 ? ?

?π β? ∵cos?4-2?= ? ?

3 π ,- <β<0, 3 2
??π ? ?π β?? ? β? 6 ,∴cos?α+2?=cos??4+α?-?4-2?? 3 ? ? ?? ? ? ??

?π β? ∴sin?4-2?= ? ?

?π ? ?π β? ?π ? ?π β? =cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9

第21讲 │ 要点探究
[点评] 在三角函数的化简、求值中,常常对条件和结论进 行恰当变换,把“所求角”用“已知角”表示,以满足应用公式的 条件;当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所 求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求 角”变成“已知角”.

第21讲 │ 要点探究

cos10° 变式题 (1)化简:(tan10° 3)· - ; sin50° (2)若函数f(x)=
?π ? 2sin?4-2x?+ ? ? ?π ? 6cos?4 -2x?,化简函数式 ? ?

并求f(x)的最小正周期、最大值和最小值.

第21讲 │ 要点探究
cos10° [解答] (1)方法一:(tan10° 3)· - sin50° cos10° =(tan10° -tan60° )· sin50° ? sin10° sin60° cos10° ? ? - =?cos10° cos60°· ? ? sin50° sin?-50° cos10° ? = · cos10°cos60°sin50° · =-2.

第21讲 │ 要点探究
cos10° 方法二:(tan10° 3)· - sin50° cos10° =(tan10° -tan60° )· sin50° cos10° =tan(10° -60° )(1+tan10° tan60° )· sin50° cos10° =-tan50° (1+tan10° tan60° )· sin50° ? ? sin10° sin60° cos10° ? ? =-tan50°1+cos10° cos60°· ? ? sin50° sin50° cos50° cos10° =- · · =-2. cos50°cos10° cos60°sin50°

第21讲 │ 要点探究
?1 ?π ? ? 2? sin? -2x?+ ?4 ? ?2 ?? 3 ?π ? cos?4 -2x?? 2 ? ??

(2)f(x)=2 =2 =2 =2

? ?π ? ?π ? π π? ? 2?sin?4 -2x?cos3 +cos?4 -2x?sin3 ? ? ? ? ? ? ? ? ??π ? π? ?? 2sin? 4 -2x?+ 3 ?=2 ? ? ?? ? ? 5π? 2sin?2x+12 ?. ? ? ? ?5π ?? 2sin?π-?12 +2x?? ? ? ??

∴f(x)的最小正周期为π,最大值为2 2,最小值为-2 2.

第21讲 │ 要点探究
? 探究点2 简单的三角恒等式的证明

例2

α? ? 1 ? α-tan2? 求证:sin2α? =4cos2α. ? tan ? 2 ?

第21讲 │ 要点探究

[思路] 观察左右两边,可选择从左边证到右边,基本方法 α 是化异为同,即切化弦,2α与 的三角函数化为α的三角函数. 2

第21讲 │ 要点探究
α? ? α ?cos2 sin2 ? [解答] 证明:左边=2sinαcosα? α - α? ? sin cos ? 2? ? 2 2α 2α cos -sin 2 2 =2sinαcosα· α α sin cos 2 2 cosα =2sinαcosα· =4cos2α=右边, 1 sinα 2 ∴原等式成立.

第21讲 │ 要点探究
[点评] 证明三角恒等式,可从左到右或从右到左,其基本 原则是化繁为简,即一般是从复杂的一端导出简单的一端;证 明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,证明时要注意观 察分析函数名称、角在恒等式两边的异同,确定变换的方 向.若两边繁简差异不大,也可证明左右两边都等于同一个式 子,如下面变式题:

第21讲 │ 要点探究

变式题

1 求证: -tanα= cosα

1 ?π α?. tan?4 + 2 ? ? ?

第21讲 │ 要点探究
1 sinα 1-sinα [解答] 证明:左边= - = , cosα cosα cosα
?π α? π α π α ? + ? cos cos -sin sin cos 4 2 4 2 4 2 ? ? 右边= ? = π α? π α π α sin?4+ 2 ? sin4 cos2+cos4sin2 ? ?

α? 2? α ?cos -sin ? 2? 2? 2 = ? α α? 2 ?cos +sin ? 2? 2? 2

第21讲 │ 要点探究
α α2 (cos -sin ) 2 2 = α α α α (cos +sin )(cos -sin ) 2 2 2 2 α α 2α cos -2cos sin +sin 2 2 2 2 = 2α 2α cos -sin 2 2 1-sinα = =左边, cosα ∴原等式成立.


第21讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

三角恒等变换的综合应用
设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,

[2011· 安徽卷]

? ?π?? b∈R,ab≠0.若f(x)≤?f?6 ??对一切x∈R恒成立,则 ? ? ?? ?11π? ①f? 12 ?=0; ? ? ? ?7π? ? ? ?π?? ②?f?10??<?f?5 ??; ? ? ? ? ? ? ??

第21讲 │ 要点探究
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
? π 2π? ④f(x)的单调递增区间是?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?

⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).

第21讲 │ 要点探究
[思路] 引进辅助角φ,把f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式,再由 f(x)≤
? ?π?? ?f? ?? ? ?6 ??

对一切x∈R恒成立,得辅助角φ的值,然后顺次判断

命题真假.

[答案]①③

第21讲 │ 要点探究
f(x)=asin2x+bcos2x= a2+b2 sin(2x+ ? b a ? ?sinφ= ? ,cosφ= 2 φ) ? ,因为对一切x∈R时, a2+b2 a +b2? ? ? ? ?π?? ?π ? f(x)≤?f?6 ??恒成立,所以sin?3+φ?=± 1. ? ? ?? ? ? π 5π?? k∈Z???. 故φ=2kπ+ 或φ=2kπ- ? 6 6 ? π? 2 2 故f(x)= a +b sin?2x+6 ?, ? ? ? π? 2 2 或f(x)=- a +b sin?2x+6?. ? ? [解析]

第21讲 │ 要点探究
?11π? 对于①,f ? 12 ? = ? ?

a +b

2

2

?11π? sin2π=0,或f ? 12 ? =- ? ?

a2+b2

sin2π=0,故①正确; ? ?7π?? ? ?7π π?? ? 47π? 2 2 2 2? 对于②, ?f?10?? = ? a +b sin? 5 +6 ?? = a +b sin 30 ? = ? ? ?? ? ? ?? ? ? 17π 2 2 a +b sin , 30 ? ?π?? ? ?2π π?? ? 17π? 2 2 2 2? ?f? ??=? a +b sin? + ??= a +b sin ? 6 ?? 30 ? ? ?5 ?? ? ?5 ? ? ?7π?? ? ?π?? 17π 2 2 = a +b sin .所以?f?10 ??=?f?5 ??,故②错误; 30 ? ? ?? ? ? ??

第21讲 │ 要点探究
对于③,由解析式f(x)= a +b 确; 对于④,当f(x)= a +b sin
2 2 2 2

a +b

2

2

sin

? π? ?2x+ ? 6? ?

,或f(x)=-

sin

? π? ?2x+ ? 6? ?

知其既不是奇函数也不是偶函数,故③正

? π? ?2x+ ? 6? ?

时,

? π 2π? ?kπ+ ,kπ+ ? 6 3? ?

(k∈Z)是f(x)的单调递减区间,故④错误; 对于⑤,要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相 交,则此直线须与横轴平行,且|b|> a2+b2 ,此时平方得b2>a2

+b2,这不可能,矛盾,故不存在过点(a,b)的直线与函数f(x) 的图象不相交.故⑤错.

第21讲 │ 要点探究
[点评] 通过三角恒等变换,把函数f(x)的解析式化简为

Asin(ωx+φ)的形式是解决三角函数问题常见的思路,问题化归 为函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质与其他知识点的综合应 用.这类问题是高考及各地质检的常见题型,如下面的变式 题:

第21讲 │ 要点探究

变式题

? π? 设函数f(x)=cos?2x+3?+sin2x. ? ?

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
?C? 1 (2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB= ,f ? 2 ? =- 3 ? ?

1 ,且C为锐角,求sinA. 4

第21讲 │ 要点探究
? π? (1)f(x)=cos?2x+3 ?+sin2x ? ?

[解答]

π π 1-cos2x =cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2 1 3 = - sin2x. 2 2 1+ 3 ∴函数f(x)的最大值为 ,最小正周期为π. 2

第21讲 │ 要点探究
1 2 2 (2)由cosB= ,B∈(0,π)得,sinB= . 3 3
?C? 1 又f? 2 ? = - ? ? 2 ? π? 3 1 3 sinC=- ,得sinC= .C∈ ?0,2? ,得cosC= 2 4 2 ? ?

1 2 1 1 3 .所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 2 × + × = 2 3 2 3 2 2 2+ 3 . 6

第21讲 │ 规律总结 规律总结
1.三角函数求值、化简的基本思想是“变换”,通过适当的 变换达到由此及彼的目的.变换的基本方向有两个,一个变换函数 名称,可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式 等;一个是变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、 倍角公式,对角进行代数形式的变换等.

第21讲 │ 规律总结
2.三角恒等变换可以归纳为以下三步 (1)找到差异:主要是指角、函数名称和运算间的差异; (2)抓住联系:即利用有关公式,建立差异间的联系; (3)促进转化:就是灵活选择公式,促使差异转化,可把角进 行合理的拆分或“切化弦”,以达到简化统一的目的. 3.三角恒等式的证明,实质上也是一个化简过程,基本思路 仍然要注意三角恒等变换思想方法的灵活运用.不同于化简求值问 题的地方是化简不是随意化简,而是要等于等式的另一端,在证明 过程中,必须强化“目标意识”,消除等式两边的差异,有目的的 化繁为简、左右归一或变更论证,也就是每一步要尽量向其目标靠 拢.

第21讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 综合三角恒等变换,三角函数的性质,三 角函数的求值等知识,是常见题型;例 2 是三角变换与数列的 交汇.

第21讲 │ 备用例题

例1

已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
? π? f(x)的最小正周期及在区间 ?0,2 ? 上的最大值和 ? ?

(1)求函数 最小值;

?π π? 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈?4,2 ?,求 cos2x0 的值. 5 ? ?

第21讲 │ 备用例题
[解答] (1)由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1) ? π? = 3sin2x+cos2x=2sin?2x+6?, ? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. ? ? π? π? 因为 f(x)=2sin ?2x+6? 在区间 ?0,6? 上为增函数,在区间 ? ? ? ? ?π π? ? , ?上为减函数, ?6 2 ? ?π? ?π? 又 f(0)=1,f?6 ?=2,f?2 ?=-1, ? ? ? ? ? π? 所以函数 f(x)在区间?0,2 ?上的最大值为 2,最小值为-1. ? ?

第21讲 │ 备用例题
? π? (2)由(1)可知 f(x0)=2sin?2x0+6 ?, ? ? ? π? 3 6 又因为 f(x0)= ,所以 sin?2x0+6 ?= . 5 ? ? 5 ?π π? π ?2π 7π? 由 x0∈?4,2 ?,得 2x0+ ∈? 3 , 6 ?, 6 ? ? ? ? ? ? π? π? 4 2? ?2x0+ ?=- ?=- , 从而 cos 1-sin 2x0+6 6? 5 ? ? ? ?? π? π ? ?? ? 所以 cos2x0=cos? 2x0+6?- ? ? 6? ?? ? ? π? π π? π =cos?2x0+6 ?cos +sin?2x0+6 ?sin 6 6 ? ? ? ?

3-4 3 = . 10

第21讲 │ 备用例题
例 2 π? [2011· 南平质检] 已知函数 f(x)=sin 2+12? + 3 ? ?
2 ?x

?

?x π ? ?x π ? 1 sin?2+12?cos?2+12?- . ? ? ? ? 2

(1)求 f(x)的值域; 1 (2)若 f(x)(x>0)的图象与直线 y= 交点的横坐标由小到大 2 依次是 x1,x2,…,xn,求数列{xn}的前 2n 项的和.

第21讲 │ 备用例题
? π? 1-cos?x+6 ? ? ?

[解答] (1)f(x)=

2

3 ? π? 1 + sin?x+6 ?- 2 ? ? 2

3 ? π? 1 ? π? = sin?x+6 ?- cos?x+6? 2 ? ? 2 ? ?
? π π? =sin?x+6-6 ?=sinx, ? ?

所以 f(x)的值域为[-1,1].

第21讲 │ 备用例题
x1+x2 π x3+x4 (2)由正弦曲线的对称性、 周期性可知 = , =2π 2 2 2 x2n-1+x2n π π + ,…, =2(n-1)π+ , 2 2 2 ∴x1+x2+…+x2n-1+x2n=π+5π+9π+…+(4n-3)π 1 =nπ+ n(n-1)· 4π=(2n2-n)π. 2

第22讲 │ 正、余弦定理和三角形面积公式

第22讲

正、余弦定理和 三角形面积公式

第22讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定 理、余弦定理. 2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度 量问题.

第22讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.解三角形 (1)△ABC的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做

元素 三角形的________;
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做

解三角形 ________.
2.正弦定理和余弦定理

第22讲 │ 知识梳理
b sinB
c sinC

b2+c2-2bccosA c2+a2-2accosB
a2+b2-2abcosC

2RsinB
2RsinC

b 2R
bsinA asinC

c 2R
csinB

b2+c2-a2 2 2bc a +c2-b2 2 2ca a +b2-c2 2ab

第22讲 │ 知识梳理

两个角与一边 两边和它们的夹角 两边与其中一边的对角 三边

第22讲 │ 知识梳理
3.三角形面积公式

1 . bhb 2
1 absinC 2

1 ch 2 c

1 acsinB 2

1 bcsinA 2

第22讲 │ 知识梳理

p?p-a??p-b??p-c?

pr

abc 4R

第22讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 在△ ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( )

第22讲 │ 问题思考
[答案]对
a b [解析] 由正弦定理,有sinA= ,sinB= , 2R 2R a b 若sinA>sinB,则 > ,即a>b,故A>B. 2R 2R

第22讲 │ 问题思考

?

在△ ABC中,若A=60° ,a=4 3,b=4 2,则B等于 )

45° 或135° .(

第22讲 │ 问题思考
[答案] 错

a b [解析] 由正弦定理,有 = ,则 sinA sinB 3 4 2× 2 bsinA 2 sinB= a = = . 2 4 3 又a>b,则A>B,B为锐角,故B=45° .

第22讲 │ 问题思考

?

问题3

在△ ABC中,若A=60° ,a=2 )

3 ,c=4,则

此三角形有两解.(

第22讲 │ 问题思考
[答案]错
a c [解析] 由正弦定理,有 = ,则 sinA sinC 3 4× 2 csinA sinC= a = =1,C=90° ,则此三角形只有一 2 3 解.

第22讲 │ 问题思考

?

问题4

在△ ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则此三 )

角形是钝角三角形.(

第22讲 │ 问题思考

[答案]对

[解析] 由sinAsinB<cosAcosB, 得cosAcosB-sinAsinB>0, 即cos(A+B)>0,则A+B为锐角,C=180° -(A+B)为钝 角,则此三角形是钝角三角形.

第22讲 │ 问题思考

?

问题5

在△ ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐 )

角三角形.(

第22讲 │ 问题思考
[答案]错

[解析]

b2+c2-a2 由余弦定理,有cosA= >0,即A为锐 2bc

角,但B、C不一定为锐角.

第22讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

利用正弦、余弦定理解三角形

(1)[2011· 北京卷] 在△ABC中,若b=5,∠B=

π ,tanA=2,则sinA=________;a=________. 4 (2)[2011· 重庆卷] 若△ABC的内角A、B、C所对的 边a、b、c满足(a+b)2-c2=4,且C=60° ,则ab的值为 ( ) 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3

第22讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题由题设可得角A、B的正弦值,化归

为已知两角一边,用正弦定理求解;第(2)小题形式上与余 弦定理相似,可考虑应用余弦定理.

2 5 [答案] (1) 5

2 10

(2)A

第22讲 │ 要点探究

2 5 [解析] (1)因为tanA=2,所以sinA= ;再由正弦定理 5 a b a 5 有: = ,即 = ,可得a=2 10. sinA sinB 2 5 2 (2)由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4.① 由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60° =ab,② 4 将②代入①得ab+2ab=4,即ab= ,故选A. 3

第22讲 │ 要点探究
[点评] 求解与三角形有关的问题,一般可考虑利用正弦

定理或余弦定理,解题时,首先应判断所给的条件属那种类 型,再确定选用正弦定理或余弦定理.在解决较复杂的解三角 形问题时,常综合应用正弦定理和余弦定理,如下面的变式 题:

第22讲 │ 要点探究
变式题在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、 c,则acosC+ccosA的值为( A.b b+c B. 2 C.2cosB D.2sinB )

[答案]A

第22讲 │ 要点探究

[解析]

由正弦定理得acosC+ccosA=2RsinAcosC+

2RcosAsinC=2Rsin(A+C)=2RsinB=b.

第22讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2

三角形面积公式的应用

(1)[2011· 课标全国卷] △ABC中,B=120° ,AC=

7,AB=5,则△ABC的面积为________. (2)[2011· 福建卷] 若△ABC的面积为 60° ,则边AB的长度等于________. 3 ,BC=2,C=

第22讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题由题设可先用正弦定理求sinA,或用余弦 定理求BC,再代入面积公式;第(2)小题由三角形面积公式, 可先求得AC的长,再应用余弦定理求AB的长.

15 3 [答案] (1) 4

(2)2

第22讲 │ 要点探究
AC AB 7 [解析] (1)解法1:由正弦定理,有 = ,即 = sinB sinC sin120° 5 , sinC 5sin120° 5 3 所以sinC= = , 7 14 所以cosC= 1-sin C=
2

?5 3? ? ?2 11 1-? ? =14, ? 14 ?

又因为A+B+C=180° ,所以A+C=60° , 3 11 所以sinA=sin(60° -C)=sin60° cosC-cos60° sinC= × 2 14 1 5 3 3 3 - × = , 2 14 14 1 1 3 3 15 3 所以S△ABC= AB· ACsinA= × 7× = 5× . 2 2 14 4

第22讲 │ 要点探究
解法2:设BC=x(x>0),由余弦定理,有 52+x2-72 cos120° = ,整理得x2+5x-24=0, 10x 解得x=3,或x=-8(舍去),即BC=3, 1 1 1 3 所以S△ABC= AB· BCsinB= × 3× 5× sin120° × 3× = = 5× 2 2 2 2 15 3 . 4

第22讲 │ 要点探究
1 (2)方法一:由S△ABC= AC· BCsinC,得 2 1 AC· 2sin60° 3,解得AC=2. = 2 由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos60° 1 =2 +2 -2× 2× =4, 2× 2
2 2

∴ AB=2,即边AB的长度等于2.

第22讲 │ 要点探究
1 方法二:由S△ABC= AC· BCsinC,得 2 1 AC· 2sin60° 3,解得AC=2. = 2 ∴AC=BC=2, 又∠ACB=60° , ∴△ABC是等边三角形,AB=2,即边AB的长度等于2.

第22讲 │ 要点探究
[点评] 三角形中的面积问题,实际上综合应用正弦定

理、余弦定理、三角形面积公式,通过把条件转化为方程 (组),使问题获得解决,下面变式题应用了这个基本思想.

第22讲 │ 要点探究

变式题

[2012· 惠州调研] 设三角形ABC的内角A,B,C

的对边分别为a,b,c,a=4,c= 13,sinA=4sinB. (1)求b边的长; (2)求角C的大小; (3)求三角形ABC的面积S.

第22讲 │ 要点探究
a b [解答] (1)依正弦定理 = , sinA sinB 有bsinA=asinB, 又a=4,sinA=4sinB,∴b=1; a2+b2-c2 16+1-13 1 (2)依余弦定理有cosC= = = , 2ab 2× 1 4× 2 又0° <C<180° ,∴C=60° ; 1 1 (3)三角形ABC的面积S= absinC= × 1× 4× sin60° 3. = 2 2

第22讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

三角形中的三角恒等变换

[2011· 课标全国卷] 在△ABC中,B=60° ,AC= 3 ,

则AB+2BC的最大值为________.

第22讲 │ 要点探究
[思路] 首先,利用三角形内角和定理确定角A、C的关系; 其次,应用正弦定理把AB、BC用三角函数表示,再把AB+ 2BC化为Asin(ωx+φ)的形式.

[答案]2 7

第22讲 │ 要点探究
[解析] 因为B=60° ,A+B+C=180° , 所以A+C=120° . 由正弦定理,有 AB BC AC 3 = = = =2, sinC sinA sinB sin60° 所以AB=2sinC,BC=2sinA. 所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(120° -A)+4sinA

第22讲 │ 要点探究
=2(sin120° cosA-cos120° sinA)+4sinA = 3cosA+5sinA 3 5 =2 7sin(A+φ),(其中sinφ= ,cosφ= ) 2 7 2 7 所以AB+2BC的最大值为2 7.

第22讲 │ 要点探究
[点评] 解决三角形中的三角恒等变换,其关键是利用三角

形的内角和定理表示角,利用正、余弦定理进行边角转化,最 后根据三角恒等变换的方法求解.本题将三角恒等变换、求值 与解三角形综合一起考查,这是近几年高考的一种命题趋势, 如下面变式题:

第22讲 │ 要点探究

变式题

[2011· 湖南卷] 在△ABC中,角A,B,C所对的边

分别为a,b,c,且满足csinA=acosC. (1)求角C的大小; (2)求 B的大小.
? π? 3sinA-cos?B+4 ?的最大值,并求取得最大值时角A, ? ?

第22讲 │ 要点探究

[解答] (1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 因为0<A<π,所以sinA>0. 从而sinC=cosC. π 又cosC≠0,所以tanC=1,则C= . 4

第22讲 │ 要点探究
3π (2)由(1)知,B= -A,于是 4 ? π? 3sinA-cos?B+4 ?= 3sinA-cos(π-A) ? ? ? π? = 3sinA+cosA=2sin?A+ 6?. ? ? 3π π π 11π π π π 因为0<A< ,所以 <A+ < .从而当A+ = ,即A= 4 6 6 12 6 2 3 ? π? 时,2sin?A+6 ?取最大值2. ? ? ? π? π ?B+ ? 的最大值为2,此时A= ,B= 综上所述, 3sinA-cos 4? 3 ? 5π . 12

第22讲 │ 规律总结 规律总结
1.正弦定理与余弦定理是架起三角形边角关系的两座桥梁, 利用这两个定理可以进行边角的互化,在一些边角交汇的问题中, 可用它们统一成边或角的三角函数的形式,再利用三角变换的方法 求解;与面积有关的问题,一般也要用到正弦定理或余弦定理,进 行边角转化.

第22讲 │ 规律总结
2.正弦定理和余弦定理本身就是一个联系三角形边角关系的 方程,在解题中要根据已知和求解目标,应用方程思想,把问题纳 入在含有已知和求解目标的方程中,通过方程(组)解决问题. 3.应用正弦定理时,已知两角和一边,该三角形是确定的, 其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性, 其解的情况如下表(在△ABC中,已知a、b和A).

第22讲 │ 规律总结
A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式

a<bsinA

a=bsinA

bsinA<a< b

a≥b

a>b

a≤b

解的个数

无解

一解

两解

一解

一解

无解

第22讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1是同角三角函数的基本关系式,两角和的 正弦,解三角形的综合;例2是与三角形面积有关的问题的求 解.

第22讲 │ 备用例题

例1

[2011· 江苏卷]

在△ABC中,角A,B,C的对边分别

为a,b,c.
? π? (1)若sin?A+6 ?=2cosA, ? ?

求A的值;

1 (2)若cosA= ,b=3c,求sinC的值. 3

第22讲 │ 备用例题

[思路] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正 弦公式、解三角形,考查运算求解能力.

第22讲 │ 备用例题
π π [解答] (1)由题设知sinAcos +cosAsin =2cosA. 6 6 从而sinA= 3cosA,所以cosA≠0,tanA= 3, π 因为0<A<π,所以A= . 3 1 (2)由cosA= ,b=3c及a2=b2+c2-2bccosA, 3 得a2=b2-c2. π 故△ABC是直角三角形,且B= , 2 1 所以sinC=cosA= . 3

第22讲 │ 备用例题
例2 [2011· 北京西城一模] 设△ABC中的内角A,B,C所

4 对的边长分别为a,b,c,且cosB= ,b=2. 5 5 (1)当a= 时,求角A的度数; 3 (2)求△ABC面积的最大值.

第22讲 │ 备用例题
4 3 [解答] (1)因为cosB= ,且0<B<π,所以sinB= . 5 5 5 因为a= ,b=2, 3 a b 1 由正弦定理 = 可得sinA= . sinA sinB 2 因为a<b,所以A是锐角, 所以A=30° .

第22讲 │ 备用例题
1 3 (2)因为△ABC的面积S= acsinB= ac, 2 10 所以当ac最大时,△ABC的面积最大. 8 因为b =a +c -2accosB,所以4=a +c - ac. 5
2 2 2 2 2

8 因为a +c ≥2ac,所以2ac- ac≤4, 5
2 2

所以ac≤10(当a=c= 10时等号成立), 所以△ABC面积的最大值为3.

第23讲 │ 解三角形的应用

第23讲

解三角形的应用

第23讲 │ 考纲要求 考纲要求
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.

第23讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.实际测量中常用的角 (1)仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的

水平视线 上方 ________和目标视线的夹角,目标视线在水平视线______的 下方 叫仰角,目标视线在水平视线______的叫俯角,如图23-
1(a)所示.

正北方向 (2)方位角:指从________顺时针转到目标方向线的水
平角,如图23-1(b)中B点的方位角为α.

第23讲 │ 知识梳理

图23-1

第23讲 │ 知识梳理
水平角 (3)方向角:相对于某正方向的________,如北偏东α°
即由正北方向顺时针旋转α° 到达目标方向(如图23-1(c)), 其他方向角类似.

水平面 (4)坡角:坡面与________所成的二面角的度数(如图23
-1(d),角θ为坡角).

水平长度 坡比:坡面的铅直高度与________之比(如图23-
1(d),i为坡比).

第23讲 │ 知识梳理
2.求解与三角形有关的实际问题的步骤 正弦定理和余弦定理在实际中的应用非常广泛,如测 量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识.解 题的一般步骤是: (1)分析题意,理解问题的实际背景,分清已知与所 求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡比、仰 角、俯角、方位角等;

第23讲 │ 知识梳理
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成三角形模 型; (3)根据已知条件与求解目标,将需求解的问题归结到 一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理 及面积公式等有关知识正确求解; (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取 舍,得出实际问题的解.

第23讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角,故 )

仰角与俯角没有区别.(

第23讲 │ 问题思考
[答案] 错
[解析] 俯角就是水平线与水平线下面直线的夹角,即从

上面向下看的角度;仰角就是水平线与水平线上面直线的夹 角,即从下面向上看的角度.

第23讲 │ 问题思考

?

问题2

从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角 )

为β,则α、β的关系不能确定.(

第23讲 │ 问题思考
[答案] 错

[解析]

如图所示,从A处望B处和从B处望A处视线均为

AB,而α、β同为AB与水平线所成的角,因此α=β.

第23讲 │ 问题思考

? 46° .(

问题3 )

若P在Q的北偏东44° ,则Q在P的东偏北

第23讲 │ 问题思考
[答案]错
[解析] 如图所示,P在Q的北偏东44° ,则Q在P的南偏西

44° ,或西偏南46° .

第23讲 │ 问题思考

?

问题4

3 如果在测量中,某渠道斜坡坡比为 ,设α为 4 )

3 坡角,那么cosα= .( 4

第23讲 │ 问题思考

[答案]错

3 3 [解析] 由坡比为 ,即tanα= ,则cosα= 4 4

1 4 = . 1+tan2α 5

第23讲 │ 问题思考

?

问题5

在测量距离问题时,只要测量角度,不一定 )

要选取合适的基线长度.(

第23讲 │ 问题思考
[答案]错

[解析]

在测量中,要根据实际需要选取合适的基线长

度,因为不论是应用正弦定理还是余弦定理,至少需要已知 一边的长度.

第23讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 测量距离问题
例1 [2011· 山西四校联考] 如图23-2,某河段的两岸可 视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两 点A、B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75° ,∠CBA= 45° ,且AB=100米. (1)求sin75° ; (2)求该河段的宽度.

图23-2

第23讲 │ 要点探究

[思路] 第(1)小题利用两角和公式求解;第(2)小题可先考虑 △ABC,利用正弦定理求出BC或AC的长,再计算点A、B到对 岸的距离.

第23讲 │ 要点探究
[解答] (1)sin75° =sin(30° +45° ) =sin30° cos45° +cos30° sin45° 6+ 2 1 2 3 2 = × + × = . 2 2 2 2 4 (2)∵∠CAB=75° ,∠CBA=45° , ∴∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=60° , AB BC 由正弦定理得: = , sin∠ACB sin∠CAB ABsin75° ∴BC= . sin60°

第23讲 │ 要点探究
如图,过点B作BD垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是 该河段的宽度.

第23讲 │ 要点探究
在Rt△BDC中, BD ∵∠BCD=∠CBA=45° ,sin∠BCD= BC , 6+ 2 100× 4 ABsin75° 2 ∴BD=BCsin45° = · sin45° = × = sin60° 2 3 2 25?(6+2 3)? (米), 3 25?(6+2 3)? ∴该河段的宽度为 米. 3

第23讲 │ 要点探究
[点评] 测量距离问题基线的选取要准确恰当(如例1中的

AB),然后要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形
中,通过正弦定理或余弦定理进行计算,但无论是正弦定理还 是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长;在解决问题时, 要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.测量距 离问题是高考的热点题型.

第23讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2

测量高度问题
如图23-3,某人在塔的正东方

[2011· 揭阳一模]

向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60° 的方向以每分 钟100 m的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为 60° . (1)求该人沿南偏西60° 的方向走到仰角α最大时,走了几 分钟; (2)求塔的高AB.

第23讲 │ 要点探究

图23-3

第23讲 │ 要点探究

[思路] 由于塔的底部不可到达,不能直接测量塔高;可先 考虑水平面上的三角形,求得BC或BD或BE;再由塔与底面垂 直,利用直角三角形求解.

第23讲 │ 要点探究
[解答] (1)依题意知,在△DBC中,∠BCD=30° ,∠DBC

=180° -45° =135° , CD=100m,∠D=180° -135° -30° =15° , CD BC 由正弦定理得 = , sin∠DBC sinD

第23讲 │ 要点探究
CD· sinD 100sin15° ∴BC= = sin135° sin∠DBC 6- 2 100 50?( 6- 2)? 4 = = =50( 3-1)(m). 2 2 2 AB 在Rt△ABE中,tanα=BE,

第23讲 │ 要点探究
∵AB为定长,∴当BE的长最小时,α取最大值60° , 这时BE⊥CD. 当BE⊥CD时,在Rt△BEC中, 3 EC=BC· cos∠BCE=50( 3-1)× =25(3- 3)(m). 2 设该人沿南偏西60° 的方向走到仰角α最大时,走了t分钟, EC 25?(3- 3)? 3- 3 则t= = = (分钟). 100 100 4

第23讲 │ 要点探究
(2)由(1)知当α取得最大值60° 时,BE⊥CD, 在Rt△BEC中,BE=BC· sin∠BCD, ∴AB=BE· tan60° =BC· sin∠BCD· tan60° 1 =50( 3-1)× × 3=25(3- 3)(m), 2 即所求塔高为25(3- 3)m.

第23讲 │ 要点探究
[点评] 在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角是一个

关键.高度的测量的基本思想是把测量的高所在线段纳入到一 个可解三角形中,本题借助平面上的一个可解三角形,求出了 代表高的线段所在的直角三角形的一条直角边,这样就可解这 个直角三角形.有时,也利用直角三角形列方程求解.

第23讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

测量角度

[2011· 广州二模] 如图23-4,渔船甲位于岛屿A的南偏 n mile,渔船乙以10 n

西60° 方向的B处,且与岛屿A相距12

mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处 出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求sinα的值.

第23讲 │ 要点探究

图23-4

第23讲 │ 要点探究
[思路] 如图所示,(1)注意到两船相遇,两船所用时间相

等,在C处相遇,则问题化归为解△ABC;(2)可在△ABC中利 用正弦定理求sinα的值,或利用余弦定理求cosα,再求sinα的 值.

第23讲 │ 要点探究
[解析] (1)依题意,∠BAC=120° ,AB=12,AC=10× 2=

20,∠BCA=α. 在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB× AC× cos∠BAC =122+202-2× 20× 12× cos120° =784. 解得BC=28. BC 所以渔船甲的速度为 =14(海里/小时). 2

第23讲 │ 要点探究

第23讲 │ 要点探究
(2)方法1:在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120° , BC=28,∠BCA=α, AB BC 由正弦定理,得 = . sinα sin120° 3 12× 2 3 3 ABsin120° 即sinα= = = . BC 28 14

第23讲 │ 要点探究
方法2:在△ABC中,因为AB=12,AC=20,BC=28, ∠BCA=α, AC2+BC2-AB2 由余弦定理,得cosα= , 2AC× BC 202+282-122 13 即cosα= = . 2× 28 20× 14 因为α为锐角, 所以sinα= 1-cos α=
2

?13? 3 3 ? ?2 = 1- 14 . 14 ? ?

第23讲 │ 要点探究
[点评] 首先应明确方位角与方向角的含义,分析题意,分清 已知与所求,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关 的角和距离,将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,再 用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实 际问题的解.解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的 优点,如下面变式题:

第23讲 │ 要点探究

变式题

如图23-5,在海岸A处,发现北偏东45° 方向,距

A处( 3 -1) n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75° 的方 向,距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度 追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏 东30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

第23讲 │ 要点探究

图23-5

第23讲 │ 要点探究
[解答] 设缉私船用th在D处追上走私船, 则有CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC中,∵AB= 120° , 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =( 3-1)2+22-2× 3-1)× cos120° ( 2× =6, ∴BC= 6, 3 -1,AC=2,∠BAC=75° +45° =

第23讲 │ 要点探究
AC 2 3 2 且sin∠ABC=BC· sin∠BAC= × = . 2 6 2 ∴∠ABC=45° ,∴BC与正北方向垂直. ∴∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD中,由正弦定理,得 BD· sin∠CBD sin∠BCD= CD 10tsin120° 1 = = , 2 10 3t ∴∠BCD=30° , 即缉私船沿北偏东60° 方向能最快追上走私船.

第23讲 │ 要点探究
? 探究点4
例4

三角形中的几何计算

[2011· 无锡模拟] 在△ABC中,AC=5,AD为∠BAC的

3 平分线,D在BC上,且DC=4 2,cos∠DAC= . 5 (1)求AD长; (2)求cosB的值.

第23讲 │ 要点探究

图23-6

第23讲 │ 要点探究
[思路] 第(1)小题考虑△ACD,因为只已知一个角,故应根 据余弦定理求解;第(2)小题注意到角B与∠BAD的关系,问题 则可转化为先求∠BAD的三角函数值.

第23讲 │ 要点探究
3 [解答] (1)设AD=x,则32=x +25-2× 5× , x× 5
2

即x2-6x-7=0. 解得x=7或x=-1. 则AD=7.

第23讲 │ 要点探究
3 (2)在△ADC中,由cos∠DAC= , 5 4 得sin∠DAC=sin∠DAB= , 5 5 4 2 2 = ,sin∠ADC= . 4 2 sin∠ADC 5 ∵CD>AC, π 3π ∴∠ADC为锐角,∴∠ADC= ,∠ADB= . 4 4 ? ? ?π ? 3π ∴cosB=cos?π- 4 -∠BAD?=cos?4-∠BAD? ? ? ? ? 2 3 2 4 7 2 = ×+ ×= . 2 5 2 5 10

第23讲 │ 要点探究
[点评] 三角形中的几何计算,需将所给图形分割成若干

个三角形,根据三角形已知的边角条件合理选择正、余弦定理 求解;找准所求量所在的三角形,把问题化为三角形中边角关 系求解,有时直接解此三角形解不出来,需要先在其他三角形 中求解相关量.下面变式题综合应用了正、余弦定理求解.

第23讲 │ 要点探究

变式题

[2012· 盐城调研] 如图23-7,在△ABC中,BC边

10 1 上的中线AD长为3,且cosB= ,cos∠ADC=- . 8 4 (1)求sin∠BAD的值; (2)求AC边的长.

第23讲 │ 要点探究

图23-7

第23讲 │ 要点探究
10 [解答] (1)因为cosB= , 8 3 6 所以sinB= . 8 1 15 又cos∠ADC=- ,所以sin∠ADC= , 4 4 ∴sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 15 10 ? 1? 3 6 6 ?- ?× = × - 4 = . 4 8 8 4 ? ?

第23讲 │ 要点探究
(2)在△ABD中,由正弦定理,得 AD BD 3 BD = ,即 = , sinB sin∠BAD 3 6 6 8 4 解得BD=2,则DC=2. 从而在△ADC中,由余弦定理,得 AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC =3 +2
2 2

? 1? -2× 2× -4?=16, 3× ? ? ?

所以AC边的长为4.

第23讲 │ 规律总结 规律总结
1.所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解不出 来,需要先在其他三角形中求解相关量. 2.在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(视线在水平线上 方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键;解题时根据这些 概念画出图形,然后分析求解目标所在的三角形,在整体中寻找这 个三角形可解的条件,然后制订计划具体求解各个三角形.

第23讲 │ 规律总结

3.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的 问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形;实际 问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角 形,先解够条件的三角形,再逐步求出其他三角形中的解.

第23讲 │ 备用例题
备用例题
例1补充测量方案的设计问题;例2利用正弦定理与余弦定 理求解三角形中的最值问题.

第23讲 │ 备用例题

例1

为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在

A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如 图),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一 个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中 标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

第23讲 │ 备用例题

第23讲 │ 备用例题
[解答] 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯 角 α1、β1,B 点到 M,N 的俯角 α2、β2;A,B 的距离 d(如下图 所示). dsinα2 ②第一步:计算 AM.由正弦定理 AM= ; sin(?α1+α2?) dsinβ2 第二步:计算 AN.由正弦定理 AN= ; sin(?β2-β1?) 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN= AM2+AN2-2AM· ANcos(?α1-β1?).

第23讲 │ 备用例题

第23讲 │ 备用例题
方案二:①需要测量的数据有: A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2, β2;A,B的距离d(如上图所示). dsinα1 ②第一步:计算BM.由正弦定理BM= ; sin(?α1+α2?) dsinβ1 第二步:计算BN.由正弦定理BN= ; sin(?β2-β1?) 第三步:计算MN.由余弦定理MN= BM2+BN2+2BM· BNcos(?β2+α2?).

第23讲 │ 备用例题
例2 [2011· 南京一中模拟] 如图所示,在边长为10的正三

角形纸片ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使沿线段DE 折叠三角形纸片后,顶点A正好落在边BC上(设为P),在这种情 况下,求AD的最小值.

第23讲 │ 备用例题
[解答] 显然A,P两点关于折线DE对称,连接DP,如图,设 ∠BAP=θ,则∠BDP=2θ. 再设AD=x,所以DP=x,DB=10-x.

第23讲 │ 备用例题

在△ABP 中, ∠APB=180° -∠ABP-∠BAP=120° -θ. BD DP 在△BDP 中,由正弦定理知 = , sin∠BPD sin∠DBP 10-x x 10 3 即 = ,所以 x= . sin60° sin?120° -2θ? 2sin?120° -2θ?+ 3

第23讲 │ 备用例题
因为0° ≤θ≤60° ,所以0° ≤120° -2θ≤120° , 所以当120° -2θ=90° ,即θ=15° 时,sin(120° -2θ)=1. 10 3 此时x取得最小值 =20 3-30,且∠ADE=75° . 2+ 3 所以AD的最小值为20 3-30.


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