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北师大版高中数学必修3全套教案


北师大版高中数学必修 3 教案

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北师大版高中数学必修 3 第一章 《统计》全部教案
第一课时 §1.1 从普查到抽样 一、 教学目标:1.了解普查的意义.2.结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和 重要性. 二、重难点:结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性

. 三、教学方法:阅读材料、思考与交流 四、教学过程 (一) 、普查 1、 【问题提出】 P7 通过我国第五次人口普查的有关数据,让学生体会到统计对政府决策的重要作用――统计数 据可以提供大量的信息,为国家的宏观决策提供有关的支持.教科书通过对人口普查的有关新闻 报道,让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛. 教科书提出了三个有代表性的问题.第一个问题主要是针对人口普查的作用,人口普查可以 了解一个国家人口全面情况,比如,人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等.人口普 查是对国家的政府决策实行情况的一个检验, 比如, 国家计划生育政策, 经济发展战略, 国家 “普 及九年义务教育”政策,人民群众的生活水平等.第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的, 以加深学生对于普查的理解.学生可能有一个误解,普查就是 100%的准确,其实不然,即使是最 周全的调查方案,在实际执行时都会产生一个误差.教科书通过这个问题,目的是让学生理解在 人口普查中出现漏登是正常情况,调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小.同时,也要 让学生理解人口普查的工作,即使出现漏登现象,人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重 要的作用. 第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的, 让学生体会人口普查数据得来不易, 要尊重人口普查人员的劳动,对人口普查工作要大力支持. 2、 【阅读材料】 P4 “阅读材料”是课堂阅读,目的是让学生了解普查工作的特点和重要性,以及我国目前主要 的一些普查工作.进而,总结出普查的主要不足之处,这是从一个方面说明了抽样调查的必要性. 普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查,目的是为了详细地了解某项 重要的国情、国力. 普查主要有两个特点: (1)所取得的资料更加全面、系统; (2)主要调查在特定时段的社会经济 现象总体的数量. 普查是一项非常艰巨的工作,它要对所有的对象进行调查.当普查的对象很少时,普查无疑
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是一项非常好的调查方式. (二) 、抽样调查 【例 1 和其后的“思考交流” 】 P8~9 紧接着,教科书通过例 1 和“思考交流”的两个问题,让学生了解普查有时候难以实现.这 主要有两个方面的原因,其一,被调查对象的量大;其二,普查对被调查对象本身具有一定的破 坏性.这从另一个方面说明了抽样调查的必要性.然后,教科书通过抽象概括总结出抽样调查的 两个主要优点. 【例 2 和其后的“思考交流” 】 P9~10 主要是讨论在抽样调查时,什么样的样本才具有代表性.在抽样时,如果抽样不当,那么调 查的结果可能会出现与实际情况不符,甚至是错误的结果,导致对决策的误导.在抽样调查时, 一定要保证随机性原则,尽可能地避免人为因素的干扰;并且要保证每个个体以一定的概率被抽 取到;同时,还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差. 由于检验对象的量很大,或检验对检验对象具有破坏性时,通常情况下,所以采用普查的方 法有时是行不通的.通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行调查或观测, 获取数据,并以此调查对象的某项指标做出推断,这就是抽样调查.其中,调查对象的全体称为 总体,被抽取的一部分称为样本. 抽样调查的优点:抽样调查与普查相比,有很多优点,最突出的有两点: (1)迅速、及时; (2) 节约人力、物力和财力. 例 1 为了考察某地 10 000 名高一学生的体重情况,从中抽出了 200 名学生做调查.这里统计的 总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么?为什么我们一般要从总体中抽取一个样本, 通过样本来研究总体? 解:统计的总体是指该地 10 000 名学生的体重;个体是指这 10 000 名学生中每一名学生的 体重; 样本指这 10 000 名学生中抽出的 200 名学生的体重; 总体容量为 10 000; 样本容量为 200. 若 对每一个个体逐一进行“调查” ,有时费时、费力,有时根本无法实现,一个行之有效的办法就是 在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体,进行抽样调查. 例2 为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划,有关部门准备对 180 名初

中男生的身高作调查,现有三种调查方案: A.测量少年体校中 180 名男子篮球、排球队员的身高; B.查阅有关外地 180 名男生身高的统计资料;

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C.在本市的市区和郊县各任选一所完全中学,两所初级中学,在这六所学校有关年级的小 班中,用抽签的方法分别选出 10 名男生,然后测量他们的身高. 为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的, 你认为采用上述哪一种调查方案比 较合理,为什么? 解: 选 C 方案.理由:方案 C 采取了随机抽样的方法,随机样本比较具有代表性、普遍性,

可以被用来估计总体. 例 3 中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率.下面三名 同学为电视台设计的调查方案. 甲同学:我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上,只要上网登录该网址的人 就可以看到这张表,他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中.这样,我就可以很快统计收 视率了. 乙同学:我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联 欢晚会的调查表,只要一两天就可以统计出收视率. 丙同学:我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码,然后逐个给他们打电话,问一 下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会,我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会 的收视率. 请问:上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗?为什么? 解: 综上所述,这三种调查方案都有一定的片面性,不能得到比较准确的收视率. (三) 、课堂小结:1、普查是一项非常艰巨的工作,它要对所有的对象进行调查.当普查的对象 很少时,普查无疑是一项非常好的调查方式.普查主要有两个特点: (1)所取得的资料更加全面、 系统; (2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量.2、通常情况下,从调查对象中按照 一定的方法抽取一部分,进行调查或观测,获取数据,并以此调查对象的某项指标做出推断,这 就是抽样调查.其中,调查对象的全体称为总体,被抽取的一部分称为样本.抽样调查的优点: 抽样调查与普查相比,有很多优点,最突出的有两点: (1)迅速、及时; (2)节约人力、物力 和财力. (四) 、作业: P10 练习题; 五、教后反思: P10【习题 1―2】

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第二课时

§1.2 抽样方法(一)

——简单随机抽样 一、教学目标: 1、知识与技能:正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤; 2、过程与方法: (1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题; (2)在解决统 计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本. 3、情感态度与价值观:通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界 及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性. 二、重点与难点:正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤,并能灵活应用 相关知识从总体中抽取样本. 三、教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括. 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验, 你准备怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本.(为什么?)那么,应当怎样获取样 本呢? (二) 、探究新知 1、简单随机抽样的概念:一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作 为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做 简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本. 【小结】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是 有限的.(2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N.(3)简单随机样本是从总体中逐个 抽取的.(4)简单随机抽样是一种不放回的抽样.(5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均 为 n/N. 思考?下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么?(1)从无限多个个体中抽取 50 个个体 作为样本.(2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中 任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子.

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2、 、抽签法和随机数法 (1) 、抽签法的定义:一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号 签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本. 【小结】抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号.(2)连续抽签获取样本号码. 思考?你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? (2) 、随机数法的定义:利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数 表法,这里仅介绍随机数表法. 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时, 可以按照下面的步骤进行. 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799. 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘 取了附表 1 的第 6 行至第 10 行). 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62

第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) ,得到一个 三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,?,依次下去,直到 样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本. 【小结】随机数表法的步骤: (1)将总体的个体编号.(2)在随机数表中选择开始数字.(3)读 数获取样本号码.
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(三) 、例题精析 例 1:人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家 来说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? [分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张, 其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样. 例 2:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下 测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? [分析] 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法. 解法 1: (抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签,分别写上 这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然后测量这个 10 个号签对应的轴的直径. 解法 2: (随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?99,在随机数表中选定一个起始位置,如取 第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,这 10 件即为 所要抽取的样本. (四) 、课堂练习 P13 练习题 (五) 、课堂小结 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种

选取个体的方法:放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方 法有抽签法和随机数法.2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费 力,又不方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相 同,缺点上当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总 体容量较少的抽样类型.3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一 定要将每个个体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可 能性这三种情况区分开业,避免在解题中出现错误. (六) 、作业布置: 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是 A.总体是 240 C、样本是 40 名学生 B、个体是每一个学生 D、样本容量是 40

2、为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度是 A、总体 ( ) B、个体是每一个学生
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C、总体的一个样本

D、样本容量

3、一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本, 则某一特定个体被抽到的可能性是 .

4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩,则抽到的均为女生的可能性 是 五、教后反思: .

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第三课时

§1.2 抽样方法(二) ——系统抽样

一、教学目标 1、知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; (2)掌握系统抽样的一般步骤; (3)正确理解系 统抽样与简单随机抽样的关系; 2、过程与方法:通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论 的数学方法, 3、情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的 联系. 二、重点与难点:正确理解系统抽样的概念,能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题. 三、教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括. 四、教学过程 (一) 、创设情境 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见, 打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调 查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法? (二)、探究新知 1、系统抽样的定义:一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的 若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样 的方法叫做系统抽样. 【小结】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样. (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称 等距抽样,这时间隔一般为 k=[
N n

].(3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽

样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号. 思考?(1)你能举几个系统抽样的例子吗? (2)下列抽样中不是系统抽样的是 ( )

A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起 点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样

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B 工厂生产的产品,用传关带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产 品检验 C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为 止 D、电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 点拨:(2)c 不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概 率入样. 2、系统抽样的一般步骤: (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号.(2)将整体按编号进 行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤k).(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L ∈N,L≤k).(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编 号 L+K,再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本. 【小结】从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把 复杂问题简单化,体现了数学转化思想. (三) 、例题精析 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情况, 要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,59 组是 编号为 291~295 的 5 名学生.采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不 妨设编号为 k(1≤k≤5),那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为 样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,??,288,293. 例 2、从忆编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B、3,13,23,33,43 D、2,4,6,16,32

[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求,故选 B. (四) 、课堂练习 P49 练习 1. 2. 3

(五) 、课堂小结:1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,
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系统抽样的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分 段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预 定的规则抽取样本.2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 采用等可能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔 k. (六) 、作业: 1 、 从 2005 个 编 号 中 抽 取 20 个 号 码 入 样 , 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 , 则 抽 样 的 间 隔 为 ( ) A.99 C.100 B、99.5 D、100.5

N 不是整数时,应 n

2、从学号为 0~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系统抽样的方 法,则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 C.2, 4, 6, 8, 10 ( )

B、5,16,27,38,49 D、4,13,22,31,40

3、 采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本, 那么每个个体人样的可 能性为 A.8 C.8.5 ( ) B.8,3 D.9

4、某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解 有关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是 抽样方法.

5、某单位的在岗工作为 624 人,为了调查工作上班时,从家到单位的路上平均所用的时间,决定 抽取 10%的工作调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 五、教后反思:

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第四课时

§1.2 抽样方法(三)

——分层抽样 一、教学目标:1、知识与技能: (1)正确理解分层抽样的概念; (2)掌握分层抽样的一般步骤; (3) 区分简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样, 并选择适当正确的方法进行抽样.2、 过程与方法: 通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法.3、情感态度 与价值观:通过对统计学知识的研究,感知数学知识中“估计与“精确”性的矛盾统一,培养学 生的辩证唯物主义的世界观与价值观. 二、重点与难点:正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选择三种抽 样方法解决现实生活中的抽样问题. 三、教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括. 四、教学过程 (一) 、创设情景 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地教育部门为了了解本地 区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的小学生中抽取 1%的学生进行调查,你认为应当 怎样抽取样本? (二) 、探究新知 1、分层抽样的定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各 层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽 样.【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: ( 1)分层:将相似的个体 归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则.(2) 分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层 个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等. 2、分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分.(2)按比例确定每层抽取个体 的个数.(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取.(4)综合每层抽样,组成样本. 【说明】 (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则.(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定. (3)各层抽样按简单随机抽样进行. 探究交流: (1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若干个 体 构 成 样 本 , 所 以 分 层 抽 样 为 保 证 每 个 个 体 等 可 能 入 样 , 必 须 进 行
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).A、每层等可能抽样; B、每层不等可能抽样; C、所有层按同一抽样比等可能抽样

(2)如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本,那么每个个体被抽到的 可能性为(
1 ). A. N

1 B. n

n N C.

n N D.

点拨: (1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽共同的特征,为了保证 这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的,故此选 C. (2)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量与总体容量比,故此题选 C. 知识点 2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 适 用 类 别 简 单 随 机 抽 样 共同点 (1)抽样过程中每个 从总体中逐个抽取 个体被抽到的可 能性相等 (2)每次抽出个体后 系 统 抽 样 不再将它放回, 即 不放回抽样 分层抽样时采用 将总体分成几层, 分 层 分层进行抽取 抽 样 系统抽样 部分组 成 (三) 、例选精析 例 1、某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分 层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( ). A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 简单随机抽样或 显的几 将总体均分成几部 分,按预先制定的规则 在各部分抽取 在起始部分 总体个 样时采用简 数较多 随机抽样 总体由 差异明 数较少 各自特点 联 系 范 围 总体个

[分析]因为 300:200:400=3:2:4,于是将 45 分成 3:2:4 的三部分.设三部分各抽取的个体 数分别为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45,得 x=5,故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 15, 10,20,故选 D. 例 2、一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取 一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应 采取什么样的方法?并写出具体过程.[分析]采用分层抽样的方法.
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解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽 样的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层.(2)按照样本容量的 比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.300×3/15=60 (人) , 300×2/15=100 (人) , 300×2/15=40 (人) , 300×2/15=60(人) ,因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人.(3)将 300 人组到一起,即得到一个样本. (四) 、课堂练习 P52 练习 1. 2. 3

(五) 、课堂小结:1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层 抽样时应注意以下几点: (1) 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是, 层内样本的差异要小,面层之间的样本差异要大,且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入 样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样 的方法进行抽样. 2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因 此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法. (六) 、作业:1、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体情 况,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 A.简单随机抽样 B.系统抽样 ( )

C.分层抽样 D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样

2、某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人,B 型血的有 125 人,AB 型 血的有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样,O 型血 应抽取的人数为 人, A 型血应抽取的人数为 人. 人, B 型血应抽取的人数为

人,AB 型血应抽取的人数为

3、某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级有学生 750 人,每个学生被 抽到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= .

4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查,调查的项目与职工任职年限有关,人事部门提供了 如下资料: 任职年限 人数 5 年以下 300 5 年至 10 年 500 10 年以上 200

试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法. 五、教后反思:

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第六课时

§1.4 统计图表

一、教学目标:1、使学生学会对所收集到的数据进行统计表示; 2、学会用多种方法来表示数 据. 二、教学重难点:重点:数据的表示.难点:选择一种适当数据表示方法. 三、教学方法: 以启发学生自主动手为主. 四、教学过程 (一) 、知识导向 本节课是中初步学会了收集数据、分类整理、填写简单的统计表和制作简单的统计图(条形 统计图、折线统计图和扇形统计图).另外,从统计图中提取信息的能力是需要训练的,教师应引 导学生观察数据的变化发展趋势、注意变化发展的速度、留心那些在重复实验过程中发生频数为 最小与最大的对象.对于各种表示方法, 教师组织讨论时不必评判出哪一个最好, 重要的是分析每 一种方案的长处与不足,如果一些一些学生特别看中某一方案的长处而并怎么在意它它的短处, 那么他们一定要坚持这一方案也是可以接受的. 统计图是统计学中一个非常重要的知识,能否画出一个准确的统计图对学生在实际中的应用是很 重要的. (二) 、新课拆析 1、知识设疑: (引例)解放以来,我国的国内生活总值(GDP)一直呈递增趋势,1952 年只有 679 亿元, 1962 年上升到 1149.3 亿元, 1970 年上升到 2252.7 亿元, 1980 年上升到 4516.8 亿元, 1990 年上升到 18547.9 亿元,2000 年上升到 89404 亿元. 对于上例中,为了让这些数据更有次序,使得使用这些数据的人员能更方便去使用,我们要求: (1)设计一张统计表,简明地表达这一段文字; (2)再设计一张折线统计图,直观地表明这种递 增趋势; (3)从上述两张图表中,你能得出哪些结论?说说你的理由. 注意数据是不明显性,作为使用者难以明确数据间的关系. 2、知识形成:从上例中,我们可以作出: 统计表: 年份 国内生产 679 总值(亿
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1952

1962 1149.3

1870 2252.7

1980 4517.8

1990 18547.9

2000 89404

元 折线图:

国内生产总值(亿元) 100000 80000 60000 40000 20000 0
(1)国内生产总值总体上呈现增长的趋势; (2)增长的趋势有快有慢. 应让学生从统计表中找到统计图的优点, 发现统计图的对于数据统计的必要性.至于各种统计图都 有其本身的特点与优点,哪一种更好,应依据不同情况的使用.对于数据表示中的“折线图”中两 点之间的连线是没有意义的,画上连线只是为了便. 3、例题讲解: 在 2000 年第 27 年届悉尼奥林匹克运动会上,中国体育代表团取得了很好的成绩(如下表) 奥运奖牌榜(第 27 届) 代表队 美国 俄罗斯 中国 澳大利亚 德国 其他 金牌 39 32 28 16 14 172 银牌 25 28 16 25 17 略 铜牌 33 28 15 17 26 略 合计 97 88 59 58 57 略

国内生产总值 (亿元)

(1) 中国体育健儿在该届奥运会上共夺得多少枚奖牌?其获得的金牌数在总金牌数中占多大的比 例? (2) 从所获奖牌总数情况看, 和最近几届奥运会相比, 中国体育健儿在本届奥运会上的成绩如何? 后面的例子,可引导各个学习小组去独立探讨常见的统计图的画法. (引表) 届数 第 23 届 中国奥运奖牌回眸 金牌 15 银牌 8 铜牌 9 总计 32

19 52 年 19 62 年 18 70 年 19 80 年 19 90 年 20 00 年

从上表与上图中,可以发现:

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第 24 届 第 25 届 第 26 届 第 27 届

5 16 16 28

11 22 22 16

12 16 12 15

28 54 50 59

思考: 要比较客观地评价一个代表队在一届奥运会上的表现是很困难的, 有人建议比较奖牌总数, 有人建议比较金牌总数,有人建议比较金牌和银牌的总数等等,你比较赞同哪一个方案? (三) 、巩固练习:P195 自我阅读画统计图的资料

(四) 、知识小结:本节课学习了用统计来直观来表示数据,并从统计图中发现数据间的联系.学 会用计算机画出统计图. (五) 、作业:P196 1、2 (六) 、每日预习:1、你能找到课本中错误统计图表中的错误吗?2、你能自己设计出一个小调 查. 五、教后反思:

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第七课时

§1.5 数据的数字特征

一、教学背景分析:在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、 方差等,并能解决简单的实际问题.(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》 的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容.) 在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体 的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征. 二、教学目标:1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的 数字特征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力.2、通过实例理解数据标准差的意义和作 用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力. 三、教学重、难点 教学重点:平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用. 教学难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息. 四、设计思路 1、教法构想:本节教学设计依据课程标准,在义务教育阶段的基础上,进一步掌握平均数、中 位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.通过具体的实例,让学生理解数字特征的 意义,并能选择适当的数字特征来表达数据的信息. 2、学法指导:学生自主探究,交流合作,教师归纳总结相结合. 五、教学实施 (一) 、 导入新课 提出问题: 小明开设了一个生产玩具的小工厂, 管理人员由小明、 他的弟弟和六个亲戚组成. 工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营的很顺利, 需增加一个新工人, 小亮需要一份工作, 应征而来与小明交谈.小明说: “我们这里报酬不错,平均薪金是每周 300 元.你在学徒期每周 75 元,不过很快就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说: “你欺骗了我,我已经找其他工人 核对过了,没有一个人的工资超过每周 100 元,平均工资怎么可能是一周 300 元呢?”小名说: “小亮啊,不要激动,平均工资是 300 元,你看,这是一张工资表.”工资表如下: 人 员 周工资 小明 2400 小明弟 1000 亲戚 250 领工 200 工人 100

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人 数 合 计

1 2400

1 1000

6 1500

5 1000

10 1000

这到底是怎么了?(学生思考交流).教师点出课题:数据的数字特征 (二) 、推进新课 Ⅰ、新知探究 提出问题:1、什么叫平均数?有什么意义?2、什么叫中位数?有什么意义?3、什么叫众数? 有什么意义?4、什么叫极差?有什么意义?5、什么叫方差?有什么意义?6、什么叫标准差?有 什么意义? 讨论结果:1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数 .数据 x1 , x2 ,?, xn 的 平均数为 x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn .平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平. n

2、一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数据的 中位数是唯一的,反映了数据的集中趋势. 3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个,也可能 没有,反映了数据的集中趋势. 4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况. 5、方差是样本数据到平均数的平均距离,一般用 s 表示,通常用公式
2

1 s 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] 来计算.反映了数据的离散程度.方差越大,数据的 n
离散程度越大.方差越小数据的离散程度越小. 6、标准差等于方差的正的平方根,即 s ? s2 ,与方差的作用相同,描述一组数据围绕平均数的 波动程度的大小. Ⅱ、应用示例 例 1 某公司员工的月工资情况如表所示: 月工资/元 员工/人 8000 1 5000 2 4000 4 2000 6 1000 12 800 8 700 20 600 5 500 2

(1) 、分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数.
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(2) 、公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢? 解: (1)经计算可以得出:该公司员工月工资的平均数为 1373 元,中位数为 800 元,众数为 700 元.(2) 、公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数;而税务官希望取中位数,以便知 道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用众数,因为每月拿 700 元的 员工最多. 点评:平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的统计量; 中位数将观测数据分成相同数目的两部分,其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大, 对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心;当变量是分类变量时,众数往往经常 被使用. 变式训练:1、下表是某班 40 名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表: 分数 人数 0 4 1 7 2 10 3 x 4 8 5 y

请参照这个表解答下列问题: (1) 用含 x, y 的式子表示该班参加 “环保知识竞赛” 的班平均分 f ; (2)若该班这次竞赛的平均分为 2.5 分,求 x , y 的值.

x ?7 3 x?5 y ?41 3x ? 5 y ? 59 解: (1) f ? ;(2)依题意,有 x ? y ?11 解得 y ? 4 40

{

{

例 2 甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零件.为了检验产品质量,从两台机床生产的产品 中各抽取 10 件进行测量,结果如下表所示 甲 乙 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的 10 件产品直径的标准差. 解:从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这 10 件产品直径的平均值 x甲 ? x乙 ? 40(mm) . 我们分别计算它们直径的标准差:

s甲 ? [(40 ? 40) 2 ? (39.8 ? 40) 2 ? ? (39.8 ? 40) 2 ] /10 ? 0.161( mm) s乙 ? [(40 ? 40) 2 ? (40 ? 40) 2 ? ? ? (39.9 ? 40) 2 ] /10 ? 0.077( mm)
由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直 径的标准差为 0.161mm,比乙机床的标准差 0.077mm 大,说明乙机床生产的零件更标准些,即乙 机床的生产过程更稳定一些.
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点评:对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的 应用,而不是记忆和使用的熟练程度. Ⅲ、知能训练 1、 下列说法正确的是(D )

A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样. B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好. C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好. D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好. 2、 (2007 海南高考,理 11)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试 成绩如下表: 甲的成绩: 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5

乙的成绩: 环数 频数 丙的成绩: 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4 7 6 8 4 9 4 10 6

s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差,则有(C)
A. s1 ? s2 ? s3 B. s3 ? s1 ? s2 C. s2 ? s1 ? s3 D. s2 ? s3 ? s1

3、某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由此求出 的平均数与实际平均数的差是 Ⅳ、拓展提升 甲、乙两种玉米苗各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm) 甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 -3

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27

16

44

27

44

16

40

40

16

40

问: (1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐? 解: (1) x甲 ? 30(cm) , x乙 ? 31(cm) (2)

? x甲 ? x乙 ,即乙种玉米的苗长得高.
即甲种玉米的苗长得齐.

s甲2 ? 104.2(cm 2 ), s乙2 ? 128.8(cm 2 )

? s甲2 ? s乙2

(三) 、课堂小结: 本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标 准差的计算、意义和作用,让学生体会所学内容与现实世界的密切联系. (四) 、作业: 课本 30—31 页 六、设计体会(教后反思) 统计的学习, 本质上是统计活动的学习, 而不是概念和公式的学习.因此在本节教学设计中所 采用的数据和问题情境尽可能来源于实际,充分挖掘学生生活中与数据有关的素材,使他们体会 所学内容与现实世界的密切联系.另外,在教学活动中,还要特别加强小组活动的组织与教学,并 在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想. 习题 1—4 1、2.

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第八课时

§1.6 用样本的频率分布估计总体分布(一)

一、教学目标:1、知识与技能: (1) 通过实例体会分布的意义和作用.(2)在表示样本数据的 过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.(3)通过实例体会频率 分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确 地做出总体估计.2、过程与方法:通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法, 理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.3、情感态度与价值观:通过对样本分析和总体 估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数 学知识与现实世界的联系. 二、重点与难点:重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布. 三、教学方法:探究归纳,思考交流 四、教学设想 (一) 、创设情境 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕ 12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙运动员得分﹕8,13,14,16,23, 26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥 比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的 频率分布估计总体分布(板出课题). (二) 、探究新知〖探究〗 :P55 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水, 计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不超过 a 的部 分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢 ?你认为,为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生
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展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用 水量在哪个范围的居民最多, 他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式, 通过分 析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.(如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作 图可以达到两个目的, 一是从数据中提取信息, 二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的 构成形式,为我们提供解释数据的新方式. 下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小 的角度,来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况. 1、频率分布的概念:频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分 布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为: 计算一组数据中最大值与最小值的差, 即求极差 (1) 决定组距与组数;⑵将数据分组;⑶列频率分布表;⑷画频率分布直方图. 以课本 P56 制定居民用水标准问题为例,经过以上几个步骤画出频率分布直方图.(让学生自己动 手作图) 频率分布直方图的特征: ⑴从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.⑵从频率分布 直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. 〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不 同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距重 新作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组织 同学们对所作图不同的看法进行交流??) 接下来请同学们思考下面这个问题: 〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量 不超出标准,根据频率分布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P57)你能对制定月用水量 标准提出建议吗?(让学生仔细观察表和图) 2、频率分布折线图、总体密度曲线 (1) .频率分布折线图的定义:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布 折线图. (2) .总体密度曲线的定义:在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条 光滑曲线, 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的 百分比,它能给我们提供更加精细的信息.(见课本 P60) 〖思考〗 :1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么?2.对于任何一个总
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体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图象那样准确地画出 来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确. 3、茎叶图 (1) .茎叶图的概念:当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数 字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎 上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.(见课本 P61例子) (2) .茎叶图的特征:①用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损 失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便 记录与表示.②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据, 而且茎叶图只方便记录两组的数据, 两个 以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰. (三) 、 例题精析: 〖例 1〗 : 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单 位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5 (1)
列出样本频率分布表;(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的 百分比..分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题. 解: (1)样本频率分布表如下:
频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

(2)其频率分布直方图如下:

122

126 130 134 138 142 146 150 154 158

身高(cm)

(3) 由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19, 所以我
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们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗 :为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试,将所 得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4:17:15: 9:3,第二小组频数为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2) 若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少? (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落 在哪个小组内?请说明理由. 分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面 积等于相应各组的频率, 小长方形的高与频数 成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之 和等于 1. 解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反 映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 频率/组距

4 ? 0.08 小组的频率为: 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08
17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前 四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内. (四)课堂精练:P61 练习 1. 2. 3 (五) 、课堂小结:1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此 我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2、总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值 很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组 的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图. (六)作业:1.P72 习题 2.2 五、教后反思:
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A 组 1、

2

第九课时 一、教学目标:

§1.6 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)

1、知识与技能: (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.(2)能根 据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并 做出合理的解释.(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.(4)形成对数据处理 过程进行初步评价的意识. 2、过程与方法:在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的 数学思想和逻辑推理的数学方法. 3、情感态度与价值观:会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认 识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系. 二、重点与难点 重点: 用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.难点: 能应用相关知识解决简单的实际 问题. 三、教学方法:探究归纳,思考交流 四、教学过程 (一) 、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下:甲运动员:7,8,6,8,6, 5,8,10,7,4;乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪 个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总 体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题). (二) 、探究新知 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗 :P62(1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知识,思考
平川中学高二数学组 27

后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们 提供关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题中, 从这些样 本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形的中点) (图略见课 本第 62 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数 多,但它并没有告诉我们到底多多少. 〖提问〗 : 请大家翻回到课本第 56 页看看原来抽样的数据, 有没有 2.25 这个数值呢?根据众数的 定义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析: 这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因, 而 2.25 是由样本数 据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差. 〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数.因此, 在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面 积应该相等.由此可以估计出中位数的值为 2.02.(图略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释其中的原因吗? (原因同上:样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) (课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也有少数居民 的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的. 〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不 敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) <二>、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面 判断.某地区的统计显示, 该地区的中学生的平均身高为176㎝, 给我们的印象是该地区的中学 生生长发育好, 身高较高.但是, 假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学 生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数 难以概括样本数据的实际状态. 例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕甲运动员﹕7,8, 6,8,6,5,8,10,7,4;乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加
平川中学高二数学组 28

正式比赛? 我们知道, x甲 ? 7,

x乙 ? 7 .两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平

差距呢?(观察P66图2.2-8)直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的 成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据. 考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一 种平均距离,一般用 s 表示. 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法: ⑴算出样本数据的平均数 x .⑵、 算出每个样本数据与样 本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,?n) ⑶算出(2)中 xi

? x(i ? 1,2,?n) 的平方.⑷、算出

(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差.⑸、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样 本标准差. 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小. 〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出:s 样本平均数. (在课堂上,如果条件允许的话,可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法.) 2.方差:从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测 量样本数据分散程度的工具:
2

? 0 .当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都等于

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准 差. (三) 、例题精析 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6
平川中学高二数学组 29

(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可 算出每一组数据的标准差. 解: (图略,可查阅课本P68) 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83. 他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的. 〖例 2〗 : (见课本P69) 分析: 比较两个人的生产质量, 只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数 与标准差的大小即可, 根据用样本估计总体的思想, 我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据, 然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个总体之间的差异的估计值. (四) 、课堂精练:P71 练习 1. 2. 3 4

(五) 、课堂小结:1、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:①用样本平均数估计总体 平均数.②用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确.2、平均数对数据有“取 齐”的作用,代表一组数据的平均水平.3、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了 一组数据变化的幅度. (六) 、作业:1.P72 五、教后反思: 习题 2.2 A 组 3、 4、10

平川中学高二数学组 30

第十课时 一、教学目标

§1.7 统计活动:结婚年龄的变化

1.让学生经历“收集数据―整理数据―分析数据―作出推断”的统计活动,体验统计活动的 全过程. 2.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数 据的分析,为合理的决策提供一些依据;认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异. 3.形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 二、教学重难点:统计活动的过程 三、教学过程 (一) 、问题提出:

(二) 、动手实践

P49

我们可以按照如下的步骤来进行这个统计活动. 1.确定调查对象 全班同学的父母辈和祖父母辈. 调查目的:随着年代推移结婚年龄如何变化. 2.收集数据 每位同学收集自己父母辈和祖父母辈的初次结婚年龄(例如,调查自己的父亲、母亲、祖父、祖 母的初婚年龄) ,按照以下方式 记录下来(如下表). 父 初次结婚年 龄/岁 收集数据方法:问卷调查法. 3.整理数 据 辈 母 辈 祖父辈 祖母辈

平川中学高二数学组 31

数据处理方法:利用计算机处 理数据. (1)先将 本小组成员收集到的数据按下表汇总. 第_____小组

初次结婚年龄 /岁 父 成 员 [ 来源 : 学科网 ZXXK] 小组成员 1 小组成员 2
? ? ? ? ?



母 辈

祖父辈

祖母辈

小组成员 n (2)再把班上所有同学的数据按照小组进行汇总,得到下表. 初次结婚年龄 /岁 成 员 第 1 小组 [ 来 源:学科网] [ 来源 : 学 | 科 | 网 [来源:学 科 网 父 辈 母 辈 祖父辈 祖母辈

Z|X|X|K] 第 2 小组

ZXXK][ 来 源:学|科| 网

?

?

?

?

? Z|X|X|K]

第 m 小组

4.分析数据 (1)将上面的数据用折线图、频率直方图分别表示出来.同学们之间可进行交流、讨论,确定出 比较合适的统计图. (2)分别估计父辈、母辈、祖父辈、祖母辈的初次结婚年龄的平均数与标准差,并进行比较,以

平川中学高二数学组 32

利于数据的分析. 根据前面学过的知识,求平均数与标准差. (三) 、练习: P50,为下一课时分析数据做准备,要求每一位学生调查对象的初婚年龄不要集 中在某一年,最好是最近 5 年内的每一年都有. (四) 、思考交流 P50,在上一课时活动的基础上,以问题的形式总结统计活动的基本步骤.教 师可以鼓励学生先回顾上一课时统计活动的过程,并结合该活动尽可能地用自己的方式来回答, 在此基础上让他们充分交流,并引导学生共同得出结论. (五) 、动手实践 P51 通过上一课时的统计活动,我们已经得出了结论:随着时代的发展,人们初次结婚的年龄确 实是在增大.但是这个结论是通过调查父母辈和祖父母辈初次结婚的年龄得到的,它反映的只是 较长一个时间段,人们初婚年龄的变化趋势. 请根据你们全班同学课前收集的数据,分析在最近的 5 年内,人们初次结婚的年龄是否随着时代 的发展面逐渐增长?你可以上网上查阅与此相关的信息和统计数据. (六) 、课堂小结:统计活动的全过程:

说明:1.收集数据的方法:统计调查法;2.整数数据的方法:表格法;3.描述数据的方法:统 计图法. (七)作业:习题 1―7 P52 这里关键是要让学生理解:从调查的问题出发,如何确定调查对象、如何收集数据、如何利 用数据帮助作出决策. 四、教学反思:

平川中学高二数学组 33

第十一课时

§1.8 相关关系

一、 教学目标:1. 通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图,利用散点图直观认识变 量间的相关关系.2. 经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程. 二、重难点:利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系 三、教学方法:动手操作,师生合作交流 四、教学过程 (一)、创设情境 导入新课 1、相关关系的理解 师:我们曾经研究过两个变量之间的函数关系:一个自变量对应着唯一的一个函数值,这两者 之间是一种确定关系.生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢? 让学生举例,教师总结 如: 比如,年龄与身高. 生:身高与体重

生:不是.师:能否举出反例?

生:教师水平与学生成绩.生:网速与下载文件所需时间 师:不妨以教师水平与学生成绩为例,学生成绩与教师水平有关吗? 生:有,一般来说,教师水平越高,学生成绩越好 师:即“名师出高徒”,名师一定出高徒吗? 生:不一定. 师:即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系,但又不是必然联系,对于学生成绩与教师水平 之间的这种不确定关系,我们称之为相关关系.这就是我们这节课要共同探讨的内容,即变量间的 相关关系.(板书) 生活中还有很多描述相关关系的成语,如: “虎父无犬子” , “瑞雪兆丰年” 【设计意图:通过学生熟悉的函数关系,引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系 . 让学生体会研究变量之间相关关系的重要性.感受数学来源于生活.】 (二) 、初步探索,直观感知 1、根据样本数据利用电子表格作出散点图,直观感知变量之间的相关关系 师:在研究相关关系前,同学们先回忆一下:函数的表示方法有哪些?
平川中学高二数学组 34

生:列表,画图象,求解析式. 师:下面我们就用这些方法来研究相关关系.请同学们看这样一组数据: 探究: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数 据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 年 龄 脂 肪 生:随着年龄增长,脂肪含量在增加 师:有没有更直观的方式?生:画图 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61

师生:用 x 轴表示年龄,y 轴表示脂肪.一组样本数据就对应着一个点.由于数据比较多,我们借 用电子表格来作图,请大家注意观察. 教师演示作图方法,学生观察 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

师:这个图跟我们所学过的函数图象有区别,它叫作散点图.
平川中学高二数学组 35

2、判断正、负相关、线性相关

学生观察,比较,讨论.

师:请同学们观察这 4 幅图,看有什么特点?

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5

1000 800 600 400 200

10

图 2 r ? ?0.84 15 20 25 30 35 40 45 50
年龄

0
55 60 65

0

50

100

150

图1

图 2
1. 1 2 0. 0. 8 0. 6 0. 40 2 -0 .2

1 9 8 0 7 0 6 0 5 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 04

5 6 3 7 8 图

9

1 1 0

0

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

1

1. 2

图4

0 0 0 2 呈下降趋势 0 0 0 . 生:图 1 呈上升趋势,图

师生:这就像函数中的增函数和减函数.即一个变量从小到大,另一个变量也从小到大,或从大 到小.对于图 1 中的两个变量的相关关系,我们称它为正相关.图 2 中的两个变量的相关关系,称 为负相关.师:我们还可以判断出:年龄与身高是正相关,网速与下载文件所需时间是负相关. 生:后面两个图很乱,前面两个图中点的分布呈条状. 师:从数学的角度来解释:即图 1、2 中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近.我们称图 1、 2 中的两个变量具有线性相关关系.这条直线叫做回归直线.图 3、 4 中的两个变量是非线性相关关 系 师:这节课我们重点研究线性相关关系.(板书) 设计意图 :数形结合,扫清了学生的思维障碍,体现数学的简约美.
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

(三)、循序渐进、延伸拓展 1、找回归直线

师:下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图,从整体上看,它们是线性相关的.

平川中学高二数学组 36

如果可以求出回归直线的方程, 我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.这条直线可 以作为两个变量具有线性相关关系的代表.同学们能否画出这条直线?请完成数学实验 1、 画出回 归直线.(学生在计算机上用电子表格画回归直线) 数学实验 1: 画出回归直线

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

教师展示学生画图情况,学生说明理由
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

学生方案一
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

学生方案二

学生方案三 生总结: 第二种方法好,因为所有的点离这条直线最近. 师:即,从整体上看,各点与此直线的距离和最小. (四) 、例题探析 例 1: 在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系? ①正方形边长与面积之间的关系;②作文水平与课外阅读量之间的关系;③人的身高与年龄之间 的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 【 答案:②③④】
平川中学高二数学组 37

例 2、 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据: 房屋面积 (平方米) 61 70 115 110 80 135 105

销售价格 (万元)

12.2

15.3

24.8

21.6

18.4

29.2

22

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
售价
35 30 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 面积 160

(五) 、小结与作业 1.对于两个变量之间的关系,有函数关系和相关关系两种,其中函数关系是一种确定性关系,相 关关系是一种非确定性关系. 2. 散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势, 利用计算机作散点图是简单可行的办法. 3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 作业:P85 练习:1,2 . 五、教后反思: 第 84 页,习题 2-3A 第 1(1)、2(1)题,

平川中学高二数学组 38

第十二课时

§1.9 最小二乘法

一、教学目标:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能 根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 二、教学重难点:重点:了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程. 教学内容的难点:对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 教学实施过程中的难点:根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程. 三、教学方法:动手操作,合作交流. 四、教学过程: (一)、利用最小二乘法推导回归系数公式. 回顾上节课:师:我们现在来求距离和.怎么求? 生:利用点到直线的距离公式 师生共同:只要求出使距离和最小的 a 、b 即可.但是,我们知道点到直线的距离公式计算复杂. 怎么办呢?以样本数据点 A 为例, 可以看出:
60 50

在 RT △ABC 中,(教师动画演示) 按照一对一的关系,直角边 AC 越小,斜边 AB 越小,

40

30

20

C

B A

当 AC 无限小时,AB 跟 AC 可近似看作相等.
-20

10

20

40

60

80

x

100

求 AC 麻烦,不妨求 AB 生: AB ? yB ? yA

-10

-20

师: 它表示自变量 x 取值一定时, 纵坐标的偏差.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量 的一组数据: ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ?? ( xn , yn ) .当自变量 x 取 xi ( i =1,2,??,n)时,可以得到

? ? bxi ? a ( i =1,2,??,n),它与实际收集到的 yi 之间的偏差是 y ?i ? yi ? (bxi ? a) ( i =1,2,??,n) yi ? y

平川中学高二数学组 39

这样用 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.总的偏差为

? ), ?(y ? y
i ?1 i i

n

偏差有正有负,易抵消,所以采用绝对值
2

? ? y ?y
i ?1 i

n

i

,由于带绝对值计算不方便所以换成平方,

?i ) ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ( y3 ? bx3 ? a)2 ????? ( yn ? bxn ? a)2 现在的问题就归结为:当 Q ? ? ( yi ? y
i ?1

n

a ,b 取什么值时 Q 最小.
将上式展开、再合并,就可以得到可以求出 Q 取最小值时
n ? n ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? n n ? 2 ? i ?1 ? ? ? ? ? ( xi ? x) 2 ?b ? i ?1 n ? Q ? n? a ? ( y ? bx ) ? ( yi ? y ) 2 ? n ? ? 2 2 ? ? i ?1 i ?1 ( xi ? x) ( xi ? x) ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? 2 2

b?

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n x y
2 i

i

? x) 2

?x

? nx

2

(其中 x ?

1 n 1 n , x y ? ?i ? yi ) n i ?1 n i ?1

a ? y ? bx

推导过程用到偏差的平方,由于平方又叫二乘方,所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小 二乘法”. 设计意图:培养学生的动手操作能力,最小二乘法的思想是本节课的教学难点,先让学生动手操 作画回归直线,教师动画演示,进一步演绎推理来分解难点、突破难点 (二) 、直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y) 进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间. (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标.如 已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度. 应用直线回归的注意事项: (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延. (四) 、实例分析: 某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出(

X i )与公司所获得利润( Yi )的统计
平川中学高二数学组 40

资料如下表: 科研费用支出( 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 要求估计利润(

X i )与利润( Yi )统计表
科研费用支出 5 11 4 5 3 2 30

单位:万元 利润 31 40 30 34 25 20 180

Yi )对科研费用支出( X i )的线性回归模型.

X ? ? ?? ?X ? ?? Y 0 1 i 因 为 : 解:设线性回归模型直线方程为: i

?X
n

i

?

30 ?5 6

Y ?
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计

?Y
n

i

?

180 ? 30 6

根据资料列表计算如下表:

Xi
5 11 4 5 3 2 30

Yi
31 40 30 34 25 20 180

X i Yi
155 440 120 170 75 40 1000

Xi

2

Xi ? X
0 6 -1 0 -2 -3 0

Yi ? Y
1 10 0 4 -5 -10 0

( X i ? X )2
0 36 1 0 4 9 50

( X i ? X )(Yi ? Y )
0 60 0 0 10 30 100

25 121 16 25 9 4 200

现利用公式(Ⅰ) 、 (Ⅱ) 、 (Ⅲ)求解参数

? 0、?1 的估计值:

平川中学高二数学组 41

? ? ? 1 ?

n? X i Yi ? ? X i ? Yi n? X i ? (? X i ) 2
2

6 ? 1000? 30 ? 180 6 ? 200 ? 302 6000? 5400 ? 1200? 900 600 ? 300 ?2

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? 30 ? 2 ? 5 ? 20

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? ? ? 1
i i 2

? X Y ? nXY ? X ? n( X )
i

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? 30 ? 2 ? 5 ? 20

2

1000? 6 ? 5 ? 30 200 ? 6 ? 5 2 100 ? 50 ?2 ?
? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? ? ? 1
i

? ( X ? X )(Y ? Y ) ?(X ? X )
i 2 i

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? 30 ? 2 ? 5 ? 20

100 50 ?2 ?
所以:利润(

Yi )对科研费用支出( X i )的线性回归模型直线方程为:

? ? 20 ? 2 X Y i i
求直线回归方程,相关系数和作图,这些 EXCEL 可以方便地做到.仍以上题的数据为例.于 EXCEL 表 中的空白区,选用"插入"菜单命令中的"图表",选中 XY 散 点图类型,在弹出的图表向导中 按向导的要求一步一步地 操作, 如有错误可以返回去重来或在以后修改.适当修饰 图的大小、 纵 横比例、字体大小、和图符的大小等,使图 美观,最后得到图 1,图中有直线称为趋势线,还有 直线方程和相关系数.图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰,这里主要介绍 趋势线和直线方程.

平川中学高二数学组 42

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15

y = 2x + 20 R2 = 0.8264

系列1 线性 (系列1)

图 1 散点图 鼠标右键点击图中的数据点, 出现一个对话框, 选 " 添加趋势线" , 图中自动画上一条直线, 再以鼠标右击此线,出现趋势线格式对话框,选择线条的粗细和颜色,在选项中选取显示公式和 显示 R 平方值,确定后即在图中显示回归方程和相关系数. (五) 、课堂练习:第 83 页,练习 A,练习 B (六)、小结:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. (七) 、课后作业:第 84 页,习题 2-3A 第 1、2 题, 五、教后反思:

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第十三课时 必修 3 第一章统计复习与小结 一、教学目标: 1 通过小结与复习,梳理本章知识内容,强化知识间的内在联系,提高综合运用 知识解决问题的能力. 2.通过例题的讲解、讨论和进一步的训练,提高学生灵活运用本章知识 解决问题的能力 二、教学重点:统计知识的梳理和知识之间的内在联系;教学难点:用知识解决实际问题 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)知识点归纳与例题分类探析 1、抽样方法: (1)简单随机抽样(2)系统抽样(3)分层抽样 2、样本分布估计总体分: (1)扇形图; (2)条形图; (3)折线图; (4)茎叶图; (5)频率分布 表; (6)直方图; (7)散点图. 3、样本特征数估计总体特征数 :(1)平均数 (2)方差 (3)众数 (4)中位数 4、线性回归方程. 5、总体、个体、样本、样本容量 总体:在统计中,所有考察对象的全体.个体:总体中的每一个考察对象.样本:从总体中抽取的 一部分个体叫做这个总体的一个样本.样本容量:样本中个体的数目. 6、统计的基本思想是:用样本的某个量去估计总体的某个量. 7、总体中每个个体被抽取的机会相等.(1)简单随机抽样 (抽签法、随机数法) (2)系统抽样 (3)分层抽样 (1) 、抽签法步骤①先将总体中的所有个体(共有 N 个) 编号(号码可从 0 到 N-1).②把号
平川中学高二数学组 44

码写在形状、大小相同的号签上,号签可用小球、卡片、纸条等制作.③将这些号签放在同一个容 器中,搅拌均匀.④抽签时,每次从中抽出一个号签,连续抽取 n 次.⑤抽出样本. (2) 、随机数表法步骤①将总体中的个体编号(编号时位数要一样);②选定开始的数字;③按照 一定的规则读取号码;④取出样本 (3).系统抽样步骤:① 编号,随机剔除多余个体,重新编号;② 分段 (段数等于样本容量)样本 距 k=N/n;③ 抽取第一个个体编号为 i (i<=k)④依预定的规则抽取余下的 个体编号为 i+k, i+2k, ?. (4).分层抽样步骤:① 将总体按一定标准分层;② 计算各层的个体数与总体的个体数的比; 抽样比 k=n/N;③ 按比例确定各层应抽取的样本数目;④ 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样 或系统抽样). 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情况, 要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段 抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,59 组是 编号为 291~295 的 5 名学生.采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不 妨设编号为 k(1≤k≤5),那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为 样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,??,288,293. 例 2、一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取 一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应 采取什么样的方法?并写出具体过程. 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽 样的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层. (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×(3/15)=60(人) ,300×(2/15)=40(人) ,300×(5/15)=100(人) ,300×(2/15)=40(人) , 300×(3/15)=60(人) , 因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人. (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本. 类别 抽样方式 使用范围 共同点 相互联系

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简 单 随 机 抽 从总体中逐个抽 总体中个体数较少时 样 系统抽样 按规则抽取 能性相同 分层 分层抽样 按各层比例抽取 时 分析样本,估计总体 几个公式 样本数据:
x , x2 , ? , xn 1

取 抽样过程中每个 分段 总体中个体数较多时 个体被抽取的可 随机抽样 总体中个体差异明显 各层中抽样时采用前 两种方式 在第一段中采用简单

平均数: x

?

x 1 ? x2 ? ? ? xn n

标准差:

s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

分析样本的分布情况可用样本的频率分布表、样本的频率分布直方图、样本的茎叶图. 频率分布:是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本 的频率分布. 频率分布直方图的特征: (1)从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.(2)从频 率分布直方图得不出原始的数据内容,每个小矩形的面积等于此项的概率,所有面积和为 1. 做样本频率分布直方图的步骤: (1)决定组距与组数; (组数=极差/组距); (2)将数据分组; (3)列频率分布表(分组,频数, 频率) ; (4)画频率分布直方图. 做频率分布直方图的方法:把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距,然后以此线段为底 作一矩形,它的高等于该组的频率/组距,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上 的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图. 例 3、下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位cm)
区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
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(1)列出样本频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的 百分比. 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题. 解: (1)样本频率分布表如下: (2)其频率分布直方图如下

频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

122

126

130

134

138

142

146

150

154

158

身高(cm)

(3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19, 所以 我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 茎叶图:1.茎叶图的概念:用中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数,它的中间部分 像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图. 2.茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损 失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加.(2) 茎叶图只便于表示量比较少的数据, 而且茎叶图只方便记录两组的数据.注意: 相同的得分要重复 记录,不能遗漏. 变量间的相互关系:1、相关关系(1)概念:两个变量之间是不确定的随机关系,但两个变量之 间又有关系,称为相关关系.(2)相关关系与函数关系的异同点.相同点:两者均是指两个变量间 的关系.不同点:函数关系是一种确定关系,是一种因果系;相关关系是一种非确定的关系,也不 一定是因果关系(但可能是伴随关系).(3)相关关系的分析方向.在收集大量数据的基础上,利 用统计分析,发现规律,对它们的关系作出判断.
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2、回归直线方程(1)回归直线:观察散点图的特征,如果各点大致分布在一条直线的附近,就 称两个变量之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归直线.(2)最小二乘法求线性回归方程 的步骤:1.列表、计算 (二) 、练习: 1、某社区有 500 个家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95 户,为 了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取 1 个容量为 100 户的样本,记做①;某学校高一年级 有 12 名女排运动员,要从中选出 3 个调查学习负担情况,记做②.那么完成上述 2 项调查应采用 的抽样方法是( ) 答案 B (B)①用分层抽样法,②用简单随机抽样法 (D)①用分层抽样法,②用系统抽样法 2.代入公式求 a,b.3.写出直线方程.(3)利用回归直线对总体进行估计

(A)①用简单随机抽样法,②用系统抽样法 (C)①用系统抽样法,②用分层抽样法

2、某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆.为检验该公司的产品质 量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆舒畅行检验,这三种型号的轿车依次应抽取___辆.答案:6、 30 、 10 2 3. 从甲、 乙两班分别任意抽出 10 名学生进行英语口语测验, 其测验成绩的方差分别为 S1 = 13.2, 2 S2 =26.26,则( ).A.甲班 10 名学生的成绩比乙班 10 名学生的成绩整齐

B.乙班 10 名学生的成绩比甲班 10 名学生的成绩整齐 C.甲、乙两班 10 名学生的成绩一样整齐 D.不能比较甲、乙两班 10 名学生成绩的整齐程度 4.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设 其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c B.b>c>a ).答案:D D.c>b>a

C.c>a>b

5. 如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分 布直方图如下:观察图形,回答下列问题:

(1)79.5---89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格) 解: (1)频率为:0.025×10=0.25, 频数为:60×0.25=15 (2)0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75
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(三) 、小结 :统计.这一部分内容,可以看成是初中“统计初步”和高中必修课“概率”这两 章内容的深入和扩展,它属于统计的基础知识,从总的方面来看,研究了两个基本问题:一是如 何从总体中抽取样本;二是如何对抽取的样本进行计算与分析,并据此对总体的相应情况作出判 断.要领会思想方法的实质,这样才能达到事半功倍的效果 (四) 、课后作业:复习题一 A 组 7、8 B 组 3、5
王新敞
奎屯 新疆

五、教学反思:

北师大版高中数学必修 3 第二章 《算法初步》全部教案
平川中学杜卫军整理 1.1.1 算法的概念 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)了解算法的含义,体会算法的思想。 (2)能够用自然语言叙述算法。 ( 3) 掌握正确的算法应满足的要求。 (4)会写出解线性方程(组)的算法。 (5)会写出一个求有限整 数序列中的最大值的算法。 (6)会应用 Scilab 求解方程组。 2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一 次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同 一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的 最大值的算法。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确 算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点: 重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点:把自然语言转化为算法语言。 三、教学设想: 1、 创设情境: 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概 念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减, 从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知 道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法, 求两个数的最大公因数的算法等。因此,算法其实是重要的数学对象。 2、 探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算 过程。后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书 是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按 照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。 比如解方程的算法、 函数求值的算法、 作图的算法,等等。 3、 例题分析: 1 例 1 任意给定一个大于 1 的整数 n,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数 做出判定。

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例 2 用二分法设计一个求议程 x –2=0 的近似根的算法。 小结:算法具有以下特性:(1)有穷性;(2)确定性;(3)顺序性;(4)不惟一性;(5)普遍性 典例剖析: 1、基本概念题 例3 写出解二元一次方程组 ?

2

? x ? 2 y ? ?1① ?2 x ? y ? 1②

的算法

学生做一做:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程 组的解法。下面写出求方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1B2 ? B1 A2 ? 0) 的解的算法: ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

第一步:②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③ 第二步:解③,得 y ?

A2C1 ? A2C2 ; A1B2 ? A2 B1

第三步:将 y ?

A2C1 ? A2C2 ? B2C1 ? B1C2 代入①,得 x ? 。 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒 2 的另一个算法: 第一步:取 A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1; 第二步:计算 x ?

? B2C1 ? B1C2 A C ? A2C2 与y? 2 1 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

第三步:输出运算结果。 可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。 基础知识应用题 例 5 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法。 小结 由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句。因此,上述算法 2 不仅是正 确的,而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中,S3,S4,S5 构成一个完整的 循环,这里需要说明的是,每经过一次循环之后,变量 P、i 的值都发生了变化,并且生循环一次 之后都要在步骤 S5 对 i 的值进行检验,一旦发现 i 的值大于 11 时,立即停止循环,同时输出最 后一个 P 的值,对于循环结构的详细情况,我们将在以后的学习中介绍。 4、课堂小结 本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题的步骤,平时列论我们做什么事都离不 开算法,算法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言。 5、作业

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1.1.2 程序框图(共 3 课时) 一、教学目标: 1、知识与技能:掌握程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法,掌握算法的三个基本逻 辑结构;掌握画程序框图的基本规则,能正确画出程序框图。 2、过程与方法:通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程;学会灵 活、正确地画程序框图。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对程序框图有一个基本的了解;掌握算法语言 的三种基本逻辑结构,明确程序框图的基本要求;认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个 基本步骤,也是我们学习计算机语言的必经之路。 二、重点与难点:重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和 3 种基本逻辑结构,难点是能综 合运用这些知识正确地画出程序框图。 三、教学设想: 1、创设情境: 算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用 图形方式来表示它。 基本概念: (1)起止框图: 起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所 以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。 (2) 输入、 输出框: 表示数据的输入或结果的输出, 它可用在算法中的任何需要输入、 输出的位置。图 1-1 中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步,它的作用是输入未 知数的系数 a11,a12,a21,a22 和常数项 b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在输入框内, 它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框,它们分别位于由 判断分出的两个分支中,它们表示最后给出的运算结果,左边分支中的输出分框负责输出 D≠0 时未知数 x1,x2 的值,右边分支中的输出框负责输出 D=0 时的结果,即输出无法求解信息。 (3)处理框: 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图 1-1 中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算 D=a11a22-a21a12 的值,第二个处理框的作用 是计算 x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D 的值。 (4)判断框: 判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的 具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否” (也可用 “Y”与“N” )两个分支,在图 1-1 中,通过判断框对 D 的值进行判断,若判断框中的式子是 D=0, 则说明 D=0 时由标有“是”的分支处理数据;若 D≠0,则由标有“否”的分支处理数据。例如, 我们要打印 x 的绝对值,可以设计如下框图。 开始

输入 x
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x≥0?



打印 x

-打印 x

结束 从图中可以看到由判断框分出两个分支,构成一个选择性结构,其中选择的标准是“x≥0” , 若符合这个条件,则按照“是”分支继续往下执行;若不符合这个条件,则按照“否”分支继续 往下执行,这样的话,打印出的结果总是 x 的绝对值。 在学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如 下: (1)使用标准的图形符号。 (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 (3)除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退 出点的惟一符号。 (4)判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果; 另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 (5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 2、典例剖析: 例 1:已知 x=4,y=2,画出计算 w=3x+4y 的值的程序框图。 解:程序框如下图所示: 开始

输入 4,2

4 和 2 分别是 x 和 y 的值

w=3×4+4×2

输出 w

结束 基础知识应用题 1)顺序结构:顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上 到下的顺序进行的。 例 2:已知一个三角形的三边分别为 2、3、4,利用海伦公式设计一个算法,求出它的面积,并画 出算法的程序框图。 程序框图:
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开始

p=(2+3+4)/2 s=√p(p-2)(p-3)(p-4)

输出 s

结束
2)条件结构:一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对象进行逻辑 判断,并根据判断结果进行不同的处理。因此,需要有另一种逻辑结构来处理这类问题,这种结 构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。 例 3:任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否 存在,画出这个算法的程序框图。 程序框图:

开始

输入 a,b,c

a+b>c , a+c>b, b+c>a 是 否同时成立? 是



存在这样的三角形

不存在这样的三角形

结束
3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤 的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1)一类是当型循环结构,如图 1-5(1)所示,它的功能是当给定的条件 P1 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P1 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A
平川中学高二数学组 53

框,直到某一次条件 P1 不成立为止,此时不再执行 A 框,从 b 离开循环结构。 (2)另一类是直到型循环结构,如下图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P2 是否成立,如果 P2 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P2 成立为止,此时不再 执行 A 框,从 b 点离开循环结构。

A P1?

A

P2? 不成立 成立

不成立

b b 当型循环结构 直到型循环结构 (1) (2) 例 4:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图。 程序框图:

开始

i=1

Sum=0

i=i+1

Sum=sum+i
i≤100? 否



输出 sum

3、课堂小结: 本节课主要讲述了程序框图的基本知识,包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构,
平川中学高二数学组 54

结束

算法的基本逻辑结构有三种,即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的 结构,也是最基本的结构,循环结构必然包含条件结构,所以这三种基本逻辑结构是相互支 撑的,它们共同构成了算法的基本结构 4、自我评价: 1)设 x 为为一个正整数,规定如下运算:若 x 为奇数,则求 3x+2;若 x 为偶数,则为 5x,写出算 法,并画出程序框图。2)画出求 21+22+23+?2100 的值的程序框图。 6、作业:课本 P20 习题 1.1 A 组 2、3 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句(第一课时) 一、教学目标: 知识与技能 (1)正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。 (2)会写一些简单的程序。 (3)掌握赋值语句中的“=”的作用。 过程与方法 (1)让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法;并能初步操作、模仿。 (2) 通过对现实生活情境的探究, 尝试设计出解决问题的程序, 理解逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 通过本节内容的学习,使我们认识到计算机与人们生活密切相关,增强计算机应用意 识,提高学生学习新知识的兴趣。 重点与难点 重点:正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。 难点:准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。 教学设想 【创设情境】 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具,如:听 MP3,看 电影,玩游戏,打字排版,画卡通画,处理数据等等,那么,计算机是怎样工作的呢? 计算机完成任何一项任务都需要算法,但是,我们用自然语言或程序框图描述的算法, 计算机是无法“看得懂,听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言 (programming language)翻译成计算机程序。 程序设计语言有很多种。如 BASIC,Foxbase,C 语言,C++,J++,VB 等。为了实现算 法中的三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构,各种程序设计语言中都包含 下列基本的算法语句: 输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句

这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天,我们先一起来学习输入、 输出语句和赋值语句。 (板出课题) 【探究新知】 我们知道,顺序结构是任何一个算法都离不开的基本 结构。 语句 n 输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结 构 。 (如右图)计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些 语句。 输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息, 结果的功能。如下面的例子: 语句 n+1 输 出

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用描点法作函数 y ? x3 ? 3x2 ? 24 x ? 30 的图象时,需要求出自变量与函数的一组对应 值。编写程序,分别计算当

x ? ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5 时的函数值。
程序:(教师可在课前准备好该程序,教学中直接调用运行) INPUT “x=”;x (学生先不必深究该程序如何得来,只要求懂得上机操作,模仿编写程序,通过运行自己编 y=x^3+3*x^2-24*x+30 写的程序发现问题所在,进一步提高学生的模仿能力。 ) PRINT x PRINT y 〖提问〗 :在这个程序中,你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢?(同学们互相交 END 流、议论、猜想、概括出结论。提示: “input”和“print”的中文意思等) (一)输入语句 在该程序中的第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句。这个语句的一般格式是: INPUT “提示内容” ;变量 其中, “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时,依次输 入-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并 按“x”新获得的值执行下面的语句。 INPUT 语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为: INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,? 例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成: INPUT “数学,语文,英语” ;a,b,c (二)输出语句 在该程序中,第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句。它的一般格式是: PRINT “提示内容” ;表达式 同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容” 。例如下面的语句可以输出斐波那契数 列: PRINT “The Fibonacci Progression is: ” ; 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?”

(1)输出常量,变量的值和系统信息。 (2)输出数值计算的结果。 〖思考〗 :在 1.1.2 中程序框图中的输入框,输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达? (学生讨论、交流想法,然后请学生作答) (三)赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句, 在该程序中第 2 行的赋值语句也可以给变量提供初值。 它的一般格式是: 变量=表达式
平川中学高二数学组 56

赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变 量,使该变量的值等于表达式的值。 〖思考〗 : 在 1.1.2 中程序框图中的输入框, 哪些语句可以用赋值语句表达?并写出相应的赋值 语句。 (学生思考讨论、交流想法。 ) 【例题精析】 〖例 1〗 :编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。 分析:先写出算法,画出程序框图,再进行编程。 算法: 程序: 开始

输入 a,b,c

y?

a?b?c 3

INPUT “数学=”;a INPUT “语文=”;b INPUT “英语=”;c y=(a+b+c)/3 PRINT “The average=”;y END

输出 y

结束 〖例 2〗 :给一个变量重复赋值。 程序: A=10 A=A+10 PRINT A END [变式引申]:在此程序的基础上,设计一个程序,要求最后 A 的输出值是 30。 (该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解) 程序:

〖例 3〗 :交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值。 程序: INPUT INPUT PRINT X=A A=B B=X PRINT END A B A,B

A=10 A=A+15 PRINT A A=A+5 PRINT A END

A,B 平川中学高二数学组 57

〖补例〗 :编写一个程序,要求输入一个圆的半径,便能输出该圆的周长和面积。 (? 取 3.14) 程序:

【课堂精练】 P24 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语 句,输出语句,赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题,特别是掌握赋值语句中“=” 的作用及应用。编程一般的步骤:先写出算法,再进行编程。我们要养成良好的习惯,也 有助于数学逻辑思维的形成。 【作业】 1.P33 习题 1.2 A 组 1(2) 、2 2.试对生活中某个简单问题或是常见数学问题,利用所学基本算法语句等知识来解决 自己所提出的问题。要求写出算法,画程序框图,并写出程序设计。

INPUT “半径为 R=” ;R C=2*3.14*R S=3.14*R^2 PRINT “该圆的周长为:”;C PRINT “该圆的面积为:”;S END

平川中学高二数学组 58

1.2.2-1.2.3 条件语句和循环语句(第二、三课时) 教学目标: 知识与技能 (1)正确理解条件语句和循环语句的概念,并掌握其结构的区别与联系。 (2)会应用条件语句和循环语句编写程序。 过程与方法 经历对现实生活情境的探究,认识到应用计算机解决数学问题方便简捷,促进发展学 生逻辑思维能力 情感态度与价值观 了解条件语句在程序中起判断转折作用,在解决实际问题中起决定作用。深刻体会到 循环语句在解决大量重复问题中起重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学 习,有益于我们养成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。 重点与难点 重点:条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。 难点:会编写程序中的条件语句和循环语句。 教学设想 【创设情境】 试求自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 显然大家都能准确地口算出它的答案:5050。而能不能将这项计算工作交给计算机来 完成呢?而要编程,以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益 增长的物质需要” ,因此,还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种:条件语句和循环 语句(板出课题) 【探究新知】 (一)条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的,是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它 的一般格式是: (IF-THEN-ELSE 格式)

IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF

满足条件? 是 语句 1



语句 2

平川中学高二数学组 59

当计算机执行上述语句时, 首先对 IF 后的条件进行判断, 如果条件符合, 就执行 THEN 后的语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为: (如上右图) 在某些情况下,也可以只使用 IF-THEN 语句: (即 IF-THEN 格式)

IF 条件 THEN 语句 END IF 计算机执行这种形式的条件语句时, 也是首先对 IF 后的条件进行判断, 如果条件符合, 就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。 其对应的程序框图为: (如上右图) 条件语句的作用:在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要 转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不 同的处理。 【例题精析】 〖例 1〗 :编写程序,输入一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的系数,输出它的实数根。
2

分析:先把解决问题的思路用程序框图表示出来,然后再根据程序框图给出的算法步骤, 逐步把算法用对应的程序语句表达出来。 算法分析: 我们知道, 若判别 式 ? ? b ? 4ac ? 0 ,原方程
2

有两个不相等的实数根

x1 ?

?b ? ? 2a



x2 ?

?b ? ? ;若 ? ? 0 , 2a
b ; 若? ? 0, 2a

原方程有两个相等的实数根

x1 ? x2 ? ?

原方程没有实数根。也就是 说, 在求解方程之前, 需要首 先判断判别式的符号。因此, 这个过程可以用算法中的条 件结构来实现。 又因为方程的两个根有 相同的部分,为了避免重复计

INPUT “Please input a,b,c =”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a) q=SQR(ABS(d))/(2*a) IF d>=0 THEN x1=p+q x2=p-q IF x1=x2 THEN PRINT “One real root:”;x1 ELSE PRINT “Two real roots:x1”;x1, “and x2” ;x2 END IF ELSE PRINT “No real root!” END IF END

算,可以在计算 x1 和 x2 之前,先计算 p ? ? 程序:(如右图所示)

? b ,q ? 。程序框图: (参照课本 P 17 ) 2a 2a

平川中学高二数学组 60

注:SQR()和 ABS()是两个函数,分别用 来求某个数的平方根和绝对值。 即 SQR( x) ?

x , ABS( x) ?

?-xx((xx??0) 0).

〖例 2〗 :编写程序,使得任意输入的 3 个整数按从 大到小的顺序输出。 算法分析:用 a,b,c 表示输入的 3 个整数;为 了节约变量,把它们重新排列后,仍用 a,b,c 表示,并使 a≥b≥c.具体操作步骤如下。 第一步:输入 3 个整数 a,b,c. 第二步:将 a 与 b 比较,并把小者赋给 b,大者 赋给 a. 第三步:将 a 与 c 比较. 并把小者赋给 c,大者 赋给 a,此时 a 已是三者中最大的。 第四步:将 b 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 b,此时 a,b,c 已按从大到小的顺 序排列好。 第五步:按顺序输出 a,b,c. 程序框图: (参照课本 P 19 ) 程序:(如右框图所示) 〖补例〗 :铁路部门托运行李的收费方法如下: y 是收费额(单位:元) ,x 是行李重量(单位:kg),当 0<x≤20 时,按 0.35 元/kg 收费,当 x>20kg 时,20kg 的部分按 0.35 元/kg,超出 20kg 的部分,则按 0.65 元/kg 收费,请根据上述收费方法编写程序。 分析:首先由题意得:

INPUT “a,b,c =”;a,b,c IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF IF c>a THEN t=a a=c c=t END IF IF c>b THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a,b,c END

x, 0? x ? 20, y ? ? 0.35 0.35? 20 ? 0.65( x ? 20), x ? 20. 该函数是个分段函数。

需要对行李重量作出判断,因此,这个过程可以用算法中的条件结构来实现。 程序: INPUT “请输入旅客行李的重量(kg)x=”;x IF x>0 AND x<=20 THEN y=0.35*x ELSE y=0.35*20+0.65*(x-20) END IF PRINT “该旅客行李托运费为: ” ;y END 【课堂精练】 1. P29 2. P29 练习 2.(题略) 练习 1.(题略)

(二)循环语句
平川中学高二数学组 61

算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般 程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 (1)WHILE 语句的一般格式是: 循环体 满足条件? 否

WHILE 条件 循环体 WEND



其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算 机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行, 直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右图) (2)UNTIL 语句的一般格式是: 循环体 否 满足条件? 是

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

其对应的程序结构框图为: (如上右图) 〖思考〗直到型循环又称为“后测试型”循环,参照其直到型循环结构对应的程序框图,说说 计算机是按怎样的顺序执行 UNTIL 语句的?(让学生模仿执行 WHILE 语句的表述) 从 UNTIL 型循环结构分析, 计算机执行该语句时, 先执行一次循环体, 然后进行条件的判断, 如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一 次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后 进行条件判断的循环语句。 〖提问〗 :通过对照,大家觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢?(让学 生表达自己的感受) 区别:在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,而在 UNTIL 语句中,是当条件不满 足时执行循环体。 【例题精析】 〖例 3〗 :编写程序,计算自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 分析:这是一个累加问题。我们可以用 WHILE 型语句,也可以用 UNTIL 型语句。由此看来, 解决问题的方法不是惟一的,当然程序的设计也是有多种的,只是程序简单与复杂的问 题。

平川中学高二数学组 62

程序: WHILE 型 : UNTIL 型:

i=1 sum=0 WHLIE i<=100 sum=sum+i i=i+1 WEND

〖例 4〗 :根据 1.1.2 中的图 PRINT sum 1.1-2, 将程序 框图转化为程 END 序语句。 分析:仔细观察,该程序框图中 既有条件结构,又有循环结构。 程序: 〖思考〗 : 上述判定质数的算法是否 还能有所改进?(让学生课后思考。 ) 〖补例〗 :某纺织厂 1997 年的生产 总值为 300 万元,如果年 生产增产率为 5﹪,计算 最早在哪一年生产总值超 过 400 万元。 分析:从 1997 年底开始,经过 x 年后生产总值为 300×(1+5 x ﹪) ,可将 1997 年生产总值 赋给变量 a,然后对其进行 累乘,用 n 作为计数变量进 行循环, 直到 a 的值超过 400 万元为止。 解:程序框图为: 程序:
开始

i=1 sum=0 DO sum=sum+i i=i+1 LOOP UNTIL i>100 sum INPUT “n=PRINT ”;n END flag=1 IF n>2 THEN d=2 WHILE d<=n-1 AND flag=1 IF n MOD d=0 THEN flag=0 ELSE d=d+1 END IF WEND ELSE IF flag=1 THEN PRINT n; “是质数。 ” ELSE PRINT n; “不是质数。 ” END IF END IF END

a=300,p=1.05,n=1997

a>400?




a=a*p

输出 n

a=300 p=1.05 n=1997 DO a=a*p n=n+1 LOOP UNTIL a>400 PRINT n END

n=n+1

结束

平川中学高二数学组 63

【课堂精练】1. P 32

练习 2. 3(题略)

【课堂小结】本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法,并懂得利 用解决一些简单问题。条件语句使程序执行产生的分支,根据不同的条件执行不同的路线,使复 杂问题简单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接,可以从循环体内 转到循环体外,但不允许从循环体外转入循环体内。条件语句一般用在需要对条件进行判断的算 法设计中,如判断一个数的正负,确定两个数的大小等问题,还有求分段函数的函数值等,往往 要用条件语句,有时甚至要用到条件语句的嵌套。循环语句主要用来实现算法中的循环结构,在 处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和,累乘求积等问题中常用到。 【作业】1. P33 习题 1.2 A 组 3、4

北师大版高中数学必修 3 第三章《概率》全部教案
平川中学杜卫军整理 §3.1 随机事件的概率 第一课时 3.1.1 频率与概率(一) 一、教学目标:1.经历试验,统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能 力.2.通过试验,理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,并可据此估计一事件发生的 概率. 3.能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率. 二、教学重点:运用树状图和列表法计算事件发生的概率. 教学难点:树状图和列表法的运用方法. 三、教学方法:探究讨论法 四、教学过程: (一) 、问题引入:对于前面的摸牌游戏, 在一次试验中,如果摸得第一张牌面数字为 1,那么 摸第二张牌的数字为几的可能性大?如果摸得第一张牌的牌面数字为 2 呢?(由此引入课题,然 后要求学生做实验来验证他们的猜想) (二) 、做一做:实验 1:对于上面的试验进行 30 次,分别统计第一张牌的牌面字为 1 时,第二 张牌的牌面数字为 1 和 2 的次数. 实验的具体做法:每两个人一个小组,一个负责抽纸张,另一个人负责记录, 如:1 2 2 1---------(上面一行为第一次抽的) 第一张牌的牌面 数字为1(16次)

2 1 2 1---------(下面一行为第二次抽的) 议一议:小明的对自己的试验记录进行了统计,结果如下:

第二张牌的牌面 数字为1(7次)

第二张牌的牌面 平川中学高二数学组 64 数字为2(9次)

因此小明认为,如果摸得第一张牌面数字为 1,那么摸第二张牌时,摸得牌面数字为 2 的可能性 比较大.你同意小明的看法吗? 让学生去讨论小明的看法是否正确,然后让学生去说说自已的看法. 想一想:对于前面的游戏,一次试验中会出现哪些可能的结果?每种结果出现的可能性相同吗? 会出现3种可能的结果: 牌面数字和为2,牌面数 字和3,牌面数字和4,每 种结果出现的可能性相同

小颖的看法:

小亮的看法:

会出现4种可能的结果: 牌面数字为(1,1) , 牌面数字为(1,2) , 牌面数字为(2,1) , 牌面数字为(2,2) 每种结果出现的可能性相同

实际上,摸第一张牌时,可能出现的的结果是:牌面数字为 1 或 2,而且这两种结果出现的可能 性相同;摸第二张牌时,情况也是如此,因此,我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有 可能出现的结果: 开始

第一张牌的面的数字:

1

2

第二张牌的牌面数字:

1

2

1

2

可能出现的结果(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)

第二张牌面的数字 第一 张牌面的数字 1 2

平川中学高二数学组 65

1 2

(1,1) (2,1)

(1,2) (2,2)

从上面的树状图或表格可以看出,一次试验可能出现的结果共有 4 种: (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) ,而且每种结果出现的可能性相同,也就是说,每种结果出现的概率都是 1/4. 利用树状图或表格,可以比较方便地求出某些事件发生的概率. (三)例题探析与练习 例 1:随机掷一枚硬币两次,至少有一次正面朝上的概率是多少? 解:随机掷一枚均匀的硬币两次,所有可能出现的结果如下: 正



开始 正 反



正 总共有 4 种结果,每种结果出现的可能性相同,而至少有一次正面朝上的结果有 3 种: (正, 正) (正,反) (反,正) ,因此至少有一次正面朝上的概率为 3/4. 第二种解法:列表法 第二个硬币的面 第一个硬币的面 正 反 正 (正,正) (反,正) 反 (正,反) (反,反)

随堂练习:1.从一定高度随机掷一枚硬币,落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等 可能的结果.小明正在做掷硬币的试验,他已经掷了 3 次硬币,不巧的是这 3 次都是正面朝上.那 么你认为小明第 4 次掷硬币,出现正面的可能性大,还是出现反面的可能性大,是不是一样大? 说说你的理由,并与同伴进行交流. 解:第 4 次掷硬币时,正面朝上的可能性与反面朝上的可能性一样大.

平川中学高二数学组 66

2.将一个均匀的硬币上抛两次,结果为两个正面的概率为______________. (四) 、课堂小结:这节课学习了通过列表法或树状图来求得事件的概率. (五) 、课后作业:课本 125 页:1,2 五、教学反思:

第二课时 随机事件的频率与概率 一、教学目标:1.理解随机事件在大量重复试验的情况下,它的发生呈现的规律性;2.掌握概 率的统计定义及概率的性质. 二、教学重点:随机事件的概念及其概率. 三、探究讨论法 四、教学过程 (一) 、新课引入 1. 观察下列日常生活中的事件发生与否,各有什么特点?(1)金属丝通电时,发热; (2)抛 一块石头,下落; (3)在常温下,焊锡熔化; (4)在标准大气压下且温度低于 0 C 时,冰融化; (5)掷一枚硬币,出现正面; (6)某人射击一次,中靶. 分析结果: (1) (2)是必然要发生的, (3) (4)不可能发生, (5) (6)可能发生也可能不发生 2. (1) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (2) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (3) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (4) “没有水份,种子能发芽” ; 分析结果: (略) 3.男女出生率 一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是 1:1,可事实并非如此. 公元 1814 年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794---1827)在他的新作《概率的哲学探讨》 一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎
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教学难点:随机事件的概念及其概率.

0

平川中学高二数学组 67

完全一致的男婴和女婴出生数的比值是 22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占 51.2%,女婴占 48.8%.可奇怪的是,当他统计 1745---1784 整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个 比是 25:24,男婴占 51.02%,与前者相差 0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯 对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是, 他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人”重男轻女”,又抛弃女婴的陋俗,以至于歪曲了出 生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是 22:21. 4. ? 中数字出现的稳定性(法格逊猜想) 在 ? 的数值式中,各个数码出现的概率应当均为 1/10.随着计算机的发展,人们对 ? 的前一 百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合. 5.概率与 ? 布丰曾经做过一个投针试验. 他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线, 他将小针随意地 投在纸上,他一共投了 2212 次,结果与平行直线相交的共有 704 根.总数 2212 与相交数 704 的 比值为 3.142.布丰得到地更一般的结果是: 如果纸上两平行线间的距离为 d ,小针的长为 l , 投针次数为 n ,所投的针中与平行线相交的次数为 m ,那么当 n 相当大时有: ? ?

2nl . dm

后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算 ? 值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹 瑞尼 (Lazzerini) . 他在 1901 年宣称进行了多次投针试验得到了 ? 的值为 3. 1415929. 这与 ? 的 精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的 ? 值,这 真是天工造物! (二) 、探究新课: 1.事件的定义: 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件. 说明:三种事件都是在“一定条件下”发生的,当条件改变时,事件的性质也可以发生变化. 2.随机事件的概率: (1) 实验:随机事件在一次试验中是否发生是不确定,但在大量重复的试验情况下,它的发生呈现出一 定的规律性. 实验一:抛掷硬币试验结果表: 抛掷次数( n ) 正面朝上次数( m ) 频率( m / n )

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2048 4040 12000 24000 30000 72088

1061 2048 6019 12012 14984 36124

0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

当抛掷次数很多时,出现正面的频率值是稳定的,接近于常数 0.5 ,并在它附近摆动.

实验二:某批乒乓球产品质量检查结果表: 抽取球数 n 优等品数 m 频率 m / n 50 45 0.9 100 92 0.92 200 194 0.97 500 470 0.94 1000 954 0.954 2000 1902 0.951
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当抽查的球数很多时,抽到优等品的频率接近于常数 0.95 ,并在它附近摆动 实验三:某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表: 每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000

n
发芽的粒 数m 发芽的频

3000

2

4

9

60

116

282

639

1339

1806

2715

1 率m/n

0.8

0.9

0.85

0.89

0.91

0.91

0.89

0.90

0.90

当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽发芽的频率接近于常数 0.9 ,并在它附近摆动 (2)定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) .

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m 总是接近某个常数,在它 n

理解:需要区分“频率”和“概率”这两个概念:(1)频率具有随机性,它反映的是某一随 机事件出现的频繁程度,它反映的随机事件出现的可能性. (2)概率是一个客观常数,它反映了 随机事件的属性. 大量重复试验时, 任意结果(事件) A 出现的频率尽管是随机的, 却”稳定”在某一个常数附近, 试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率. 3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;
平川中学高二数学组 69

4.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为 0 ? P( A) ? 1, 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形. 5.随机现象的两个特征: (1)结果的随机性:即在相同的条件下做重复的试验时,如果试验的结 果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生. (2)频率的稳定性:即大量重复试验时, 任意结果(事件) A 出现的频率尽管是随机的,却”稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多, 频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率. (三) 、探析范例: 例 1.某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表: 调查患者人数 n 用药有效人数 m 有效频率 m / n 100 85 0.850 200 180 0.900 500 435 0.870 1000 884 0.884 2000 1761 0.8805

请填写表中有效频率一栏,并指出该药的有效概率是多少? 答案: 88% 例 2. (1)某厂一批产品的次品率为 为什么? (2)10 件产品中次品率为 解: (1)错误(2)正确. (四) 、课堂练习: 不做大量重复的试验,就下列事件直接分析它的概率: ①掷一枚均匀硬币,出现“正面朝上”的概率是多少? ②掷一枚骰子,出现“正面是 3”的概率是多少?出现“正面是 3 的倍数”的概率是多少?出现 “正面是奇数”的概率是多少? ③本班 52 名学生,其中女生 24 人,现任选一人,则被选中的是男生的概率是多少?被选中的是 女生的概率是多少? 答案:①

1 ,问任意抽取其中 10 件产品是否一定会发现一件次品? 10

1 ,问这 10 件产品中必有一件次品的说法是否正确?为什么? 10

1 1 1 3 ② , , 2 6 3 6



7 6 , 13 13

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新疆

(五) 、小结 : 1.随机事件、必然事件、不可能事件的概念;2.概率的定义和性质 (六) 、课后作业:1.课本上 P131A 组 1,3. 2.上抛一个刻着 1,2,3,4,5,6 字样的正六面体方块;

王新敞
奎屯

新疆

平川中学高二数学组 70

(1)出现字样为“5”的事件的概率是多少? (2)出现字样为“0”的事件的概率是多少? 五、教后反思:

第三课时 一、教学目标:

§3.1 随机事件的概率

1、知识与技能: (1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现 的频率的意义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生 的概率 P(A)的区别与联系; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2、过程与方法: (1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结 果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高; (2)通过对现实生活中的“掷币” , “游 戏的公平性” , 、 “彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推 理的数学方法. 3、情感态度与价值观: (1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与 现实世界的联系; (2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识. 二、重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系; (2)教学 难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 三、学法与教学用具:1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分为三类事件: 必然事件,不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生无意识地发现随机事件 的某一结果发生的规律性;2、教学用具:硬币数枚,投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学过程 (一) 、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间 起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等. (二) 、基本概念回顾: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件;
平川中学高二数学组 71

(4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事 件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A 出现的概率: n

对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率. (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比 值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动 n

幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性 的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 (三) 、例题分析: 例 1、 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”.(2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”;(5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; ( 7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常 温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1) 、 (4) 、 (6)是必然事件;事件(2) 、 (9) 、 (10)是不可能事件; 事件(3) 、 (5) 、 (7) 、 (8)是随机事件. 例 2、 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率. 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

平川中学高二数学组 72

(2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89. 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约 是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2) 由表中的已知数据及公式 fn (A) = 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

nA 即可求出相应的频率, 而各个频率均稳定在常数 0.518 n

上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 例 3、 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大?中 10 环的概率约为多大? 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以靶的频率为

9 =0.9,所以中靶的概率约为 0.9. 10

解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 例 4、 如果某种彩票中奖的概率为 释. 分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次 试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖. 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机 的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、 两张乃至多张中奖. 例 5、 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平 性. 分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球权的 概率是 0.5.
平川中学高二数学组 73

1 , 那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解 1000

解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何一名 运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5. 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的. (四) 、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义 是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种 意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索. (五) 、作业:1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( A.必然事件 2.下列说法正确的是( B.随机事件 ) B.不可能事件的概率不一定为 0 D.以上均不对 C.不可能事件 D.无法确定 )

A.任一事件的概率总在(0.1)内 C.必然事件的概率一定为 1

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题. 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 (1)完成上面表格; (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示. 投篮次数 进球次数 m 进球频率 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 700 282 1500 639 2000 1339 3000 2715

m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没 下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗? 【1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 . 解 : ( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为

1,0.8,0.9,0.857,0 .8 92,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2) 该油菜子发芽的概率约为 0.897.

平川中学高二数学组 74

4.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近 课题 3.1 概率的意义

0.80,因此,进球的概率约为 0.80. 5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概 率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不说 明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的.】 五、教后反思:

第四课时

概率的意义

平川中学高二数学组 75

知识与 三 维 教 学 目 标 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教 学 内 容 分 析 教学 难点 教学 重点 能力

正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发 生的概率 P(A)的区别与联系; 利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 通过对现实生活中的“掷币” , “游戏的公平性” , 、 “彩票中奖”等问题的 探究, 感知应用数学知识解决数学问题的方法, 理解逻辑推理的数学方法. 培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识.

概率的定义以及和频率的区别与联系

用概率的知识解释现实生活中的具体问题.

教 学 流 程 与 教 学 内 一、复习引入



(一)什么是必然事件?什么是不可能事件?什么是确定事件?什么是随机事件? (二)什么是频数和频率?两个概念有何区别?频率的范围是什么? (三)什么是概率?它与频率有何区别? 二、新课: (一)概率的正确理解 1、思考:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀 的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上.你认为这种想法正确吗? 2、探究: 全班同学各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后朝向,并记录结果.重复上面的过 程 10 次,将全班同学的试验结果汇总,计算三种结果发生的频率.你有什么发现? 3、思考:如果某种彩票的中奖概率为 1/1000,那么买 1000 张这种彩票一定能中奖吗?(假设 彩票有足够多的张数? (二)游戏的公平性

平川中学高二数学组 76

1、在一场乒乓球比赛前,要决定由谁先发球,你注意到裁判是怎样确定发球权的吗?为什么要 这样做? 2、探究:青云中学高一年级有 10 个班,要从中选 2 个班代表学校参加某项活动.由于某种原因, 一班必须参加,另外再从二至十班中选 1 个班.有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和 是几,就选几班,你认为此方法公平吗? (三)决策中的概率思想 1、思考:如果连续 10 次掷一枚骰子,结果都是出现 1 点,你认为这枚骰子的质地均匀吗?为 什么? 2、似然法与极大似然法:见课本 P124 (四)天气预报的概率解释 1、思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率为 70%.你认为下面两个解释哪一个能代表气象 局的观点? (1)明天本地有 70%的区域下雨,有 30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是 70%. 2、生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果一点雨没下,天 气预报也太不准确了.”学也概率后,你能给出解释吗? (五)试验与发现 阅读 P128 了解孟德尔如何经过多年碗豆试验,最终发现遗传学规律.你能作出简单的解释吗? 三、例题: 例 1 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大?中 10 环的概率约为多大? 例 2 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平 性. 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的. 三、课堂小结: 正确理解频率与概率的区别,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 1.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题. 课 后 每批粒数 发芽的粒数 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 700 282 1500 639 2000 1339 3000 2715

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作 业

发芽的频率 (1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? P131A 组 2,B 组题

教 学 反 思

正确理解概率的意义, 特别是结合实例理解小概率事件不一定不发生, 大概率事件不一 定必发生.

第五课时 一、教学目标:

3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式

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1、知识与技能: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个;2)每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

2、过程与方法: (1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法, 体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问 题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 3、情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主 义观点. 二、重点与难点:正确理解掌握古典概型及其概率公式; 三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应 用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学过程 1、创设情境: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上” ,它 们都是随机事件. (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球,只有 10 种不同的结果,即标号为 1,2,3?,10. 师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 2、基本概念: (1)基本事件、古典概率模型见课本 (2)古典概型的概率计算公式:P(A)= 3、例题分析: 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率. 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型. 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点) 、 (出现 2 点)??、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3
平川中学高二数学组 79

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数

所以,P(A)=

m 3 1 = = =0.5 n 6 2

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏. 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连 续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 解: 每次取出一个, 取后不放回地连续取两次, 其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个, 即 (a1, a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2).其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这 一事件,则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)] 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试 验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共有 8×8×
3

83 8=8 种,因此,P(A)= =0.512. 103
3

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) , 则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事 件B为 “3 件都是正品” , 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467.

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) , 是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个 数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120
平川中学高二数学组 80

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的, 其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.

4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点: (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性. (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 5、自我评价与课堂练习: 1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,从中任取一根,取到长度超过 30mm 的纤维的概率 是( A. ) B.

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

30 40

12 40

C.

12 30

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率 是 A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少 有一个红球的概率是 .

4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率. 答案:1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们是 等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 ,因此选 B.] 40

2.C[提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订(记为事 件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = .(方法 2)本题还可以用对立事件 10 5 2 4 = .] 10 5

的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A)与取到不合格品(记为 事件 B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)=1- 3.
2

7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 1,红 10

) , (红 1,白 1) , (红 1,白 2) (红 1,白 3) , (红 2,白 3) ,共 10 个,其中至少有一个红球的事件

平川中学高二数学组 81

包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率为

7 .本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来 10

求解, 对于求 “至多” “至少” 等事件的概率头问题, 常采用间接法, 即求其对立事件的概率 P (A) , 然后利用 P(A)1-P(A)求解]. 6、作业:课本第 136 页 2、3、4 五、教学反思:

第六课时

3.2.2 建立概率模型

一、教学目标:1、知识与技能: (1)进一步正确理解古典概型的两大特点,能会从实际问题中

平川中学高二数学组 82

识别古典概型模型.(2)进一步掌握古典概型的概率计算公式:P(A) = A包含的基本事件个数.2、过程与方法: (1)能运用古典概型的知识解决一些实际问题,通
总的基本事件个数

过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世 界的联系,培养逻辑推理能力;能运用树状图复杂背景的古典概型基本事件个数的计算; (2)通 过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.3、情感态度与价 值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点:正确理解掌握古典概型及其概率公式,古典概型中计算比较复杂的背景问题. 三、学法与教法:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应用数 字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学过程 (一) 、温故知新 1.古典概型的概念 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个 结果; 2)每一个结果出现的可能性相同.2.古典概型的概率公式 P( A) ? 3.列表法和树状图 练习:1.单选题是标准化考试中常用的题型.如果考生不会做,他从 4 个备选答案中随机地选择一 个作答,他答对的概率是____.
m( A包含的基本事件数) n(基本事件总数)

1 4 1 32

2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一个, 这个集合恰是集合 {1,2,3} 的子集的概率是 ____.

3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为偶数与出现数字之积为奇数的概率分别是_____、 ______.

27 36

9 36
1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36

(二) 、探究新知
平川中学高二数学组 83

1、在古典概型中,同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢? 2、同样掷一粒均匀的骰子(1)若考虑向上的点数是多少,则可能出现 1,2,3,4,5,6 点,共有 6 个 基本事件.(2)若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数,共 2 个基本事件. (3)若把骰子的 6 个面分为 3 组(如相对两面为一组),分别涂上三种不同的颜色, 则可以出现 3 个 基本事件. 从上面的例子,可以看出同样一个试验,从不同角度来看,建立概率不同模型,基本事件可以各不相 同. 一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同 一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型 3、 考虑本课开始提到问题:袋里装有 2 个白球和 2 个红球,这 4 个球除了颜色外完全相同, 4 个 人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 用 A 表示事件“第二个摸到红球” ,把 2 个白球编上序号 1,2;2 个红球也编上序号 1,2 模型 1:4 人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果,可用树状图直观表示出来总共有 24 种结 果,而第二个摸到红球的结果共有 12 种.P(A)=12/24=0.5 2 1 2 2 1 2 2 2 2

1

1 1 1 2 2

2 1 1 1 2

1 2

2 1

2

2

2 1

1

1

2

2

1 1

2
平川中学高二数学组 1 2 84

1 2 1 2 1

模型 2 利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸到红球”的概率,我们可以只考虑前两个 人摸球的情况,这个模型的所有可能结果数为 12,第二个摸到白球的结果有 6 种:P(A)=6/12=0.5 2 1 1 2

1

1 2

1

1

2

2

1

2

1 2 2

模型 3 只考虑球的颜色, 4 个人按顺序摸出一个球所有可能结果模型 3 的所有可能结果数为 6, 第 二个摸到白球的结果有 3 种:P(A)=3/6=0.5

模型 3 只考虑第二个人摸出的球情况他可能摸到这 4 个球中的任何一个,第二个摸到白球的结果 有 2 种 P(A)=2/4=0.5
平川中学高二数学组 85

评析:法(一) 利用树状图列出了试验的所有可能结果(共 24 种),可以计算 4 个人依次摸球的任何 一个事件的概率; 法(二) 利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为 12 种 法(三)只考虑球的颜色,对 2 个白球不加区分,所有可能结果减少 6 种 法(四)只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为 4 种,该模型最简单! 变 2.袋里装有 1 个白球和 3 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同, 4 个人按顺序依次从中摸出一 球.求第二个人摸到白球的概率. (三) 、练习 1、建立适当的古典概型解决下列问题: (1)口袋里装有 100 个球,其中有 1 个白球和 99 个黑球, 这些球除颜色外完全相同.100 个人依次从中摸出一球,求第 81 个人摸到白球的概率.(2)100 个人 依次抓阄决定 1 件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率. 分析:我们可以只考虑第 81 个人摸球的情况.他可能摸到 100 个球中的任何一个,这 100 个球出现 的可能性相同,且第 81 个人摸到白球的可能结果只有 1 种,因此第 81 个人摸到白球的概率为 (2)100 个人依次抓阄决定 1 件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率. 分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能找到 100 个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结果 只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为 练习:课本第 140 页 1、2 (四) 、课堂小结:1.古典概型的解题步骤;2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算―― 树形图.: (五)、作业布置:课本第 149 页 1、2、3 五、教学反思:

1 . 100

1 . 100

第七课时 一、教学目标: 1、进一步掌握古典概型的计算 公式; 2、能运用古典概型的知识解决一些实际问题.

建立概率模型

平川中学高二数学组 86

二、教学重点、难点:古典概型中计算比较复杂的背景问题. 三、教学方法:探究讨论,思考交流 四、教学过程 (一) 、问题情境:问题: 等可能事件的概念和古典概型的特征? (二) 、数学运用 例 1.将一颗骰子先后抛 掷两次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两 数的和是 3 的倍数的结果有多少种?(3)两数和是 3 的倍数的概率是多少? 解: (1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有 1, 2,3, 4,5,6 这 6 中结果. 先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有 6 种结果,第 2 次又都有 6 种可能的结果,于是一 共有 6 ? 6 ? 36 种不同的结果; (2)第 1 次 抛掷,向上的点数为 1, 2,3, 4,5,6 这 6 个数中的某一个,第 2 次抛掷时都可以有 两种结 果,使向上的点数和为 3 的倍数(例如:第一次向上的点数为 4,则当第 2 次向上的点数为 2 或 5 时,两次的点数的和都为 3 的倍数) ,于是共有 6 ? 2 ? 12 种不同的结果. (3)记“向上点数和为 3 的倍数”为事件 A ,则事件 A 的结果有 12 种,因为抛两次得到的 36 中 结果是等可能出现的,所以所求的概率 为 P( A) ?

12 1 ? 36 3

答:先后抛掷 2 次,共有 36 种不同的结果;点数的和是 3 的倍数的结果有 12 种;点数和是 3 的 倍数的概率为

1 ; 3

说明:也可以利用图表来数基本事件的个数:

例 2. 用不同的颜色给右图中的 3 个矩形随机的涂色,每个矩形只涂一种颜色,求 (1)3 个矩形 颜色都相同的概率;(2)3 个矩形颜色都不同的概率. 分析:本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下: (树形 图)

平川中学高二数学组 87

解:基本事件共有 27 个;(1)记事件 A =“3 个矩形涂同一种颜色” ,由上图可以知道事件 A 包 含的基本事件有 1? 3 ? 3 个,故 P ( A) ?

3 1 ? 27 9

(2)记事件 B =“3 个矩形颜色都不同” ,由上图可以知道事件 B 包含的基本事件有 2 ? 3 ? 6 个, 故 P( B) ?

6 2 ? 27 9 1 2 ;3 个矩形颜色都不同的概率为 . 9 9 m 求出概率并下结论. n

答:3 个矩形颜色都相同的概率为

说明:古典概型解题步骤:⑴阅读题目,搜集信息;⑵判断是否是等可能事件,并用字母表示事 件; ⑶求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的结果数 m ; ⑷用公式 P ( A) ?

例 3. 一个各面都涂有色彩的正方体, 被锯成 1000 个同样大小的小正方体, 将这些正方体混合后, 从中任取一个小正方体,求:⑴有一面涂有色彩的概率;⑵有两面涂有色彩的概率;⑶有三面涂 有色彩的概率. 解:在 1000 个小正方体中,一面图有色彩的有 8 ? 6 个,两面图有色彩的有 8 ? 12 个,三面图有
2

色彩的有 8 个,∴⑴一面图有色彩的概率为 P 1 ?

384 ? 0.384 ; 1000

96 ? 0.096 ; 1000 8 ? 0.008 . ⑶有三面 涂有色彩的概率 P2 ? 1000
⑵两面涂有色彩的概率为 P2 ? 答:⑴一面图有色彩的概率 0.384 ;⑵两面涂有色彩的概率为 0.096 ;⑶有三面涂有色彩的概率

0.008 .
2.练习: (1)同时抛掷两个骰子,计算:①向上的点数相同的概率; 数的概率. (2)据调查,10000 名驾驶员在开车时约有 5000 名系安全带,如果从中随意的抽查一名驾驶员 有无系安全带的情况 ,系安全带的 概率是 ( ) 答案: C ②向上的点数之积为偶

( A) 25%

( B ) 35%

(C ) 50%

( D ) 75%
平川中学高二数学组 88

( 3 )在 20 瓶饮料中,有两瓶是 过了保质期的,从中任取1瓶,恰为过保质期的概率为 ( ) 答案:B

( A)

1 2

( B)

1 10

(C )

1 20

(D)

1 40

(三) 、回顾小结:1.古典概型的解题步骤;2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算―― 树形图. (四) 、课外作业:课本第 149 页 4、5、6、7 五、教学反思:

第八课时 一、教学目标:

§3.2.3 互斥事件(一)

1、知识与技能:通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式,并能

平川中学高二数学组 89

简单应用. 2、过程与方法:发现法教学,学生通过在抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现 规律,得到互斥事件的概率加法公式.通过正确的理解,准确利用公式求概率. 3、情感态度与价值观:通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实 世界的联系;体会数学思维的严密性,发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、解决问题 的能力. 二、重点与难点:互斥事件 概率的加法公式及其应用

三、教学用具:计算机及多媒体教学. 四、教学过程: (一) 、新课引入: (1)日常生活中,我们总有些事件不同时进行.(互斥事件) (2)从字面上理解“互斥事件” (二)基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.

A 、 B 互斥,即事件 A 、 B 不可能同时发生(学生自己举例理解)
(三) 、实例分析:抛掷一枚骰子一次,下面的事件 A 与事件 B 是互斥事件吗? (1)事件 A=“点数为 2”,事件 B=“点数 3” (2)事件 A=“点数为奇数”,事件 B=“点数为 4” (3)事件 A=“点数不超过 3”,事件 B=“点数超过 3” (4)事件 A=“点数为 5”,事件 B=“点数超过 3” 解:互斥事件: (1) (2) (3) 但(4)不是互斥事件,当点为 5 时,事件 A 和事件 B 同时发生 进一步利用集合意义理解互斥事件; A B A B

从集合角度来看, A 、 B 两个事件互斥,则表示 A 、 B 这两个事件所含结果组成的集合的 交集是空集.A 与 B 有相交,则 A 与 B 不互斥. (四) 、事件和的意义:事件 A 、 B 的和记作 A ? B ,表示事件 A 、 B 至少有一个发生. 当 A 、 B 为互斥事件时,事件 A ? B 是由“ A 发生而 B 不发生”以及“ B 发生而 A 不发生”构 成的,
平川中学高二数学组 90

(五) 、事件 A ? B 的概率满足加法公式:对例题 (1),(2)和(3)中每一对事件,完成下表 (1) P(A) P(B) P(A+B) P(A)+P(B) (4)事件 A= “点数为 5” ,事件 B= “点 数超过 3” ,是否也有 P(A+B)=P(A)+P(B)? 概率加法公式:A、B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 拓展推广:一般地,如果事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么事件发生(即 A1,A2,?,An 中 有一个发生)的概率,等于这 n 个事件分别发生的概率的和,即 P(A1+A2+?An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An) 例如:事件 A 表示“点数为奇数” ,事件 A1 表示“点数为 1”,A2 表示“点数为 3”,A3 表示“点 数 5” , A1,A2,A3 中任意两个是互斥事件 P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) (2) (3) 学生自己完成表,自己发现 P(A+B) 与 P(A)+P(B) 有什么样大小关系 . 得到概率加法公式: A 、 B 互斥时

P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

自主学习: (要求学生自己阅读) 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设 A=: “抽到的是一等品” ,B= “抽到的是二等品” ,C= “抽 到的是三等品”.且(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05 . 求下列事件的概率:⑴事件 D=“抽到的是一 等品或三等品” ⑵事件 E=“抽到的是二等品或三等品” 思考交流:事件 D+E 表示什么事件?P(D+E)=P(D+E)?为什么?(学生自己思考得出结论) 用概率加法公式的前提:A 与 B 是互斥事件 对立事件的概念:1、由实例中(3)事件 A=“点数不超过 3”,事件 B=“点数超过 3” P(A)+P(B)=1 分析引入

2、从集合的意义来理解. 例题讲解:课本第 143 页例 6 本例题目的:利用对立事件求概率,强调学生做题书写表达要清晰准确. (六) 、课堂练习:1、课本第 145 页练习 1 2、补充练习 (1). 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件 A:两次都击中飞机.事件 B:两次都没有 击 中 飞 机 . 事 件 C: 恰 有 一 次 击 中 飞 机 . 事 件 D: 至 少 有 一 次 击 中 飞 机 . 其 中 互 斥 事 件

平川中学高二数学组 91





(2) 、已知 A、B 为互斥事件,P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,P(B)= (3) 、经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人及 5 人以上 0.04

①至少 1 人排队等候的概率是多少?②有排队等候的概率是多少? (七) 、 小结:概率的基本性质: (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A) ≤1; (2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)若事件 A 与 B 为对 立事件,则 P(A)=1—P(B); (4)互斥事件与对立事件的区别与联系:对立事件互斥事件的特殊情 形. (八) 、作业:课本第 150 页 第 8、9 题 五、教后反思:

第九课时 课题 知识与

§3.2.3 互斥事件(二)

3.1.3 概率的基本性质 (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、

平川中学高二数学组 92

三 维 教 学 目 标

能力

对立事件的概念; (2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0, 因此 0≤P(A)≤1; 2) 当事件 A 与 B 互斥时, 满足加法公式: P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (AB 层)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与 联系.

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教 学 内 容 分 析 教学 难点 教学 重点

通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类 化与归纳的数学思想. 通过数学活动, 了解教学与实际生活的密切联系, 感受数学知识应用于现 实世界的具体情境,从而激发学习 数学的情趣.

概率的加法公式及其应用,

事件的关系与运算.

教 学 流 程 与 教 学 内



1、 创设情境: (1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С{2,3,4,5}等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现 1 点},C2={出现 2 点},C3={出现 1 点或 2 点},C4={出现的点数为偶数}?? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗? 2、 基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、 例题分析:

平川中学高二数学组 93

例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.

分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指 不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生, 另一个必发生. 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为 “出现奇数点” , B为 “出现偶数点” , 已知 P(A)= P(B)=

1 , 2

1 ,求出“出现奇数点或偶数点” . 2

分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加法公 式求解. 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张, 那么取到红心 (事件 A) 的概率是 取到方块(事件 B)的概率是

1 , 4

1 ,问: 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解, 事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 得到黑球或黄球的概率是 到绿球的概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 4、巩固练习:P145 练习 1,2,4 P149 习题 3.1 A 组 1

1 , 3

5 5 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得到黄球、得 12 12

某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28,计 算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率. 5、课堂小结:概率的基本性质: (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;

平川中学高二数学组 94

(2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 P(A)=1—P(B); (4)互斥事件与对立事件的区别与联系:对立事件互斥事件的特殊情形.

1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件 课 后 学 习 数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已 知 P(A)=

1 1 ,P(B)= ,求出现奇数点或 2 点的概率之和. 2 6

P150 B 组 1,2 教 学 反 思 本课中概念多,学生易混淆.可多举生活上的实例,结合韦恩图,重点突出对立事件 互斥事件的概念的理解、概率公式及其关系.

平川中学高二数学组 95

第十课时 一、教学目标:

3.3 模拟方法――概率的应用

1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; 2、 过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知 识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验, 感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 3、 情感态度与价值观:本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯. 二、重点与难点:几何概型的概念、公式及应用; 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方法,掌 握数学思想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随 机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点?? 这些试验可能出现的结果都是无限多个. 2、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积 或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事 件出现的可能性相等. 3、 例题分析: 例 1、 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针 指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率. 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性 .而几何概型则
平川中学高二数学组 96

是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典概 型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概率可以 用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无 穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到 事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合 几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60] 这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 钟的概率为

60 ? 50 1 = , 即此人等车时间不多于 10 分 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等可能 的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域中任意一点钻探, 钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构成事 件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率. 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)= 答:钻到油层面的概率是 0.004.

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

平川中学高二数学组 97

例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的种子 中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件的区域, 1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率. 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率有 多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实 数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随 机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长 都不小于 1m.这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件 A 发生的概率. 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转动圆盘 记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A)= 即为概率 P(A)的近似值. 小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范 围.解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大; 解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在 短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定 要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、 均匀随机数在日常生活中, 有着广泛的应用, 我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,
平川中学高二数学组 98

N1 N

从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、 常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 5、自我评价与课堂练习: 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的 概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定

2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币 不与任何一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中 学生甲主机会有多大? 答案:1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 取出 2ml 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积 积之比 A: “在

2 =0.004) 500

M 2a r o

与总体

2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为 为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平 垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度(记 的取值范围就是[o,a],只有当 r<OM≤a 时硬币不与 相碰,所以所求事件 A 的概率就是 P(A)=

事件 A, 行线引 作 OM) 平行线

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

7、作业:课本 P155 五、教学反思:

A 组 1、2

B组1

平川中学高二数学组 99

第十一课时

3.3 模拟方法――概率的应用

一、教学目标:1、通过实例进一步丰富对概率的认识.2、紧密结合实际,培养应用数学的意识. 二、教学重难点:1、重点:体验概率和实际生活的密切联系.2、难点:对例 2 题意的理解. 三、教学方法:探究交流,讲练结合 四、教学过程: (一)人寿保险 随着经济的发展,人的保险意识也随之而提高,知道为什么不同年龄的人人寿保险费是不一 样吗?中国人寿保险是根据什么来确定人寿保险费的呢?我们一起来看一个表格. 例 2.生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据,如下图是 1996 年 6 月中国人民银 行发布的中国人寿保险经验生命表,(1990-1993 年)的部分摘录,根据表格估算下列概率(结果保 留 4 个有效数字) (1)某人今年 61 岁,他当年死亡的概率. (2)某人今年 31 岁,他活到 62 岁的概率. (3)一个 80 岁的人在当年死亡的概率是多少? (4)如果有 10000 个 80 岁的人参加寿险投保, 当年死亡的人均赔偿金为 a 元,那么估计保险公 司需支付当年死亡的人的赔偿金额为多少元? 师提示:对 lx、dx 的含义举例说明:对于 出生的每百万人,活到 30 岁的人数 l30 = 976611 人(x=30), 其中有部分人活不到 31 岁, 我们看看在 30 岁这一年龄死亡的人数 d30= 755 人,活到 30 岁的人数 l30=976611 人减去 当年死亡的人数 755 就等于活到 31 岁的人数 l31975856(人). 师提示:活到 61 岁的人数有多少?当年死 亡的人数有多少?如何求一个 61 的人当年死亡 的概率? 解(1) 由表知,61 岁的生存人数 l61=867685,61 岁的死亡人数=d6110853,所以所求死亡的概 率 年龄 x 0 1 30 31 61 62 63 64 79 80 81 82 生存人数 lx 1000000 997091 976611 975856 867685 856832 845026 832209 488988 456246 422898 389141 死亡人数 dx 2909 2010 755 789 10853 11806 12817 13875 32742 33348 33757 33930

平川中学高二数学组 100

P=

d l

61

?

61

10853 ? 0.01251 867685

师提示:活到 30 岁的人数有多少?其中能活到 62 岁的人有多少?一个 31 岁的人能活到 62 岁的概率怎么求? 2) 由表知,l31=975856, l62=856832,所以所求的概率: p ? l 62 ? 856832 ? 0.8780 (二)交通事故

l

31

975856

寿命的增长、保险意识的提高侧面反映了社会经济的飞速发展;经济的发展,带动了道路建 设,交通发展,从而安全隐患随之增长.请看: 据统计,2004 年浙江省交通事故死亡人数为 7549 人,其中属于机动车驾驶人的交通违法行 为原因造成死亡人数为 6457. 看到这组数据,你有何感受? 多么可怕的一组数据,请同学们用所学知识根据这组数据来分析两个小问题: (1)估计交通事故死亡 1 人,属于机动车驾驶人的交通违法行为原因的概率是多少(结果保 留 3 个有效数字)? (2)估计交通事故死亡 2000 人中,属于机动国驾驶人的交通违法行为原因的有多少人? 生练,指名板演. 你看到你分析所得的报告,你想说什么? 据统计,2006 年我们温州,仅交通事故就死了 762 人,其中三分之一多发生在农村道路上. 希望同学们在路上多多注意安全.做到“一慢、二看、三行”. (三)私家车发展 交通工具的发展,莫过于私家车的发展,私家车快速走入千家万户,已成为汽车快速增长的 主要推动力量.那么私家车的主人们是不是都有做到安全措施呢? 九年级三班同学作了关于私家车乘坐人数的统计,在 100 辆私家车中,统计结果如下表: 每辆私家车乘客数目 私家车数目 1 58 2 27 3 8 4 4 5 3

根据以上结果,估计抽查一辆私家车而它载有超过 2 名乘客的概率是多少? (四)中场休息:欣赏三洋湿地风景 是哪儿?!经济的飞速发展势必会带动旅游业的成长,我们三洋这块温州的“绿肺”在若干年后 势必会大放异彩.所以我们要共同来保护我们家乡的环境.

平川中学高二数学组 101

(五)垃圾分类 垃圾可以分为有机垃圾、 无机垃圾与有害垃圾三类.为了有效地保护环境, 居委会倡议居民将 日常生活中产生的垃圾进行分类投放.一天, 小林把垃圾分装在三个袋中, 可他在投放时不小心把 三个袋子都放错了位置.你能确定小林是怎样投放的吗?如果一个人任意投放, 把三个袋子都放错 位置的概率是多少? (六)乘车问题 等若干年后,三洋湿地成了一道美丽的风景,来此观光游玩的人络绎不绝,假设以后每天某一时 段开往三洋湿地有三辆专车(票价相同) ,有两人相约来我们三洋湿地游玩,但是他们不知道这些 车的舒适程度,也不知道专车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案: 甲:无论如何总是上开来的第一辆车, 乙:先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况,如果第二辆车 的舒适程度比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车. 如果把这三

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