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3.1.1 两角差的余弦公式(自己修改1)


3.1.1

两角差的余弦公式

-2-

一、[设计问题,创设情境] cos45°=________________;
3 2 cos30°=_________________;
2 2

2? 3 2 cos45°-cos30°=_______________________;

? 0.3178

cos15°=________________________;(可以用计算器算)

? 0.9659

cos(45° -30° )= cos45° -cos30° 是否成立?

那么,对于任意的角 α、β,cos(α-β)等于什么呢?

-3-

三、[运用规律,解决问题] 例1、 利用差角余弦公式求cos15°的值.

解:
方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 . 4

方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45° =

1 2 2 3 × ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 . 4

-4-

五、[变式演练,深化提高]

1、不查表求sin75°,sin15°的值.
解:sin75° =cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30°

2 3 2 1 = ? ? ? ? 2 2 3 2
2 ?

6? 2 . 4

6? 2 2 8?2 6? 2 6? 2 sin15° = 1 ? cos 15 = 1 ? ( ? . ) = 16 4 4

-5-

4 ? 5 例 2、 已知 sinα= ,α∈( ,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 2 13
解:由 sinα=

4 ? ,α∈( ,π),得 5 2
2

4 2 3 cosα= ? 1 ? sin a ? ? 1 ? ( ) ? ? . 5 5
又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

5 2 12 sinβ= ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? . 13 13
所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = (? ) ? (?

3 5

5 4 12 33 ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 65

-6-

2、不查表求值:cos110° cos20° +sin110° sin20° .
解:原式=cos(110° -20° )=cos90° =0.

4 5 3、已知 sinα= ,α∈(0,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 13
解:①当 α∈[

? 4 ,π)时,且 sinα= ,得 5 2
2

4 2 3 cosα= ? 1 ? sin a ? ? 1 ? ( ) ? ? , 5 5
又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

5 2 12 sinβ= ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) = ? . 13 13

-7-

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3 5 4 12 33 ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? ? = 5 13 5 13 65.
? 4 ②当 α∈(0, )时,且 sinα= ,得 5 2
cosα= 1 ? sin a ? 1 ? ( ) ?
2 2

4 5

3 , 5

又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

5 2 12 sinβ= ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? . 13 13
所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3 5 4 12 63 . = ? (? ) ? ? (? ) ? ? 5 13 5 13 65

-8-

六、[反思小结,观点提炼]

1、先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆 用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小 结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究? (2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能 的认识;三角变换的特点.

2、 教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进 行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目 进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换 思路,强化数学思想方法之目的.

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七、[作业精选,巩固提高]

1.课本第127页练习第1,2,3,4题 2.课本第137页习题A组第2,3,4,5题


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