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2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷文数


2015 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无

效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非 选择题答案使用 O.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, ?,xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

V= Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

1 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 ?R 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.把答案填涂在答题卡相应位置. 1.已知 sin ? ?

1 ? ( ? ? ? ? ) ,则 cos ? 等于( 2 2



A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

2. 已知复数 z ? a ? bi ( a, b ? R , i 为虚数单位) 在复平面上对应的点为 M, 则“ a ? 1 且 b ? ?1 ” 是“点 M 在第四象限”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程是( A.x=-2 4.根据如下样本数据 B.x=-1 ) C.y=-2 D. y=-1 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x
y
^

6 2
^

8 3
^

10 5

12 6 ( )

得到的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? a ,则 a 的值为 A.-2 B.- 2.2 C.-2.3

D.-2.6 )

5. 阅读右图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 k 的值等于 ( A.3 B.4 C.5 D.6

? x ? y ? 1, ? 6.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是( ? x ? 0, ?
A.-1 B.0 C.1
2



D.2 )

7.已知函数 f(x)为奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -x,则不等式 f(x)>0 的解集为( A. (-∞,-1)∪(0,1) C. (-1,0)∪(0,1) B. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-1,0)∪(1,+∞) )

8.已知 a ? (3,?2),b ? (1,0), 若向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( A. ?

1 6

B. ①

1 6
的两 ②

C. ?

1 7

D.

1 7

9.请在“垂直于同一

平行”①和②处中填入“直线”或“平面”,使之组成

四个不同的命题,则其中真命题的个数为( )

A.1
2

B.2
2

C.3

D.4

10.已知双曲线 ( )

x y ? ? 1 的一个焦点在圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方程为 20 m

A. y ? ?

1 x 2

B. y ? ?2 x

C. y ? ?

5 x 2

D. y ? ?

2 5 x 5

11. 函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x) 的图象是如图所示的一条直线, 该直线与 x 轴的交点坐标为 (1, 0) , 则 f (?1) 与 f (2) 的大小关系是( A. f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ) B. f (?1) ? f (2) D.无法确定

* PAn // BC ,P 12. 如图,?ABC 所在平面上的点 P n A ? xn?1 P n B ? 2xn PC n (其 n (n ? N ) 均满足

中, ?xn ? 是以 1 为首项的正项数列) ,则 x5 等于( A.4 B.8 C.16

) D.32

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.若集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?1,2,4?, 则集合 A

B=



14. 某校对 100 名参加“妈祖杯”知识竞赛的选手成绩进 行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则在这 100 名 学生中,成绩不低于 80 分的人数为
4



15.函数 y ? x 的一条切线与直线 x ? 4 y ? 2 ? 0 垂直, 则该切线方程为_______.

16.定义: ? x? ? x ? R? 表示不超过 x 的最大整数.例如: ? 1.5? ? 1 ,??0.5? ? ?1 .给出下列结论: ①函数 y ? ?sin x? 是周期为 2? 的周期函数; ②函数 y ? ?sin x? 是奇函数; ③函数 y ? ?sin x? 的值域是 ?? 1,0,1?; ④函数 y ? ?sin x? ? cos x 不存在零点. 其中正确的是_____________. (填上所有正确结论的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 把答案 填在答题卡相应位置. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项为 1,公差 d≠0,且 a1,a2,a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式与前 n 项和 Sn; (Ⅱ)设 bn ?

1 * ( n?N ) ,求使不等式 b1 ? b2 ? Sn

? bn ?

9 成立的最小正整数 n. 5

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin ?x cos ?x ? cos 2 ?x ?

1 (? ? 0) 经化简后利用“五点法”画其在某一周 2 5 ? 3
0 -1 0

期内的图象时,列表并填入的部分数据如下:

x
f ( x)

① 0

2 ? 3
1

(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? c ? 4 f ( ) , B ?

?

?
3

2

, b ? 3, 求

?ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 《聪明花开——莆仙话挑战赛》 栏目共有五个项目, 分别为“和一斗”、 “斗麻利”、 “文士生”、 “讲头知尾”、“正功夫”. 《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法,设计了“你最喜欢的 项目是哪一个 ”的调查问卷(每人只能选一个项目) ,对现场观众进行随机抽样调查,得到如下 数据(单位:人) : 合一斗 115 斗麻利 230 文士生 115 讲头知尾 345 正功夫 460

(I)在所有参与该问卷调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人座谈,其中恰有 4 人最喜欢“斗 麻利”,求 n 的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数; (II)在(I)中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中,任选 2 人参加栏目组互动,求恰 有 1 人最喜欢“合一斗”的概率.

20. (本小题满分 12 分)

BD ? AD , 已知四边形 ABCD 为平行四边形, BD=AD, AB=2, 四边形 ABEF 为正方形, 且平面 ABEF ?
平面 ABCD. (Ⅰ)求证: BD ? 平面 ADF; (Ⅱ)若 M 为 CD 中点,证明在线段 EF 上存在点 N,使得 MN∥平面 ADF,且 MN//平面 BDF,并求出此 时三棱锥 N—ADF 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 如图,O 为坐标原点,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1、F2,上顶点为 a 2 b2

P,离心率 e=

1 .直线 PF2 交椭圆 E 于另一点 Q,△PQF1 的周长为 8. 2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)若点 R 满足 2PO =PQ ? PR ,求△PQR 的面积; (III)若 M、N 为椭圆 E 上异于点 P 的两动点,试探究:是否存 在点 M、N,使得△PMN 为正三角形?若存在,求出 M、N 两 点的坐标;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证:对任意给定的正数 m ,总存在实数 a ,使函数 f ( x ) 在区间 (m, ??) 上不单调; (Ⅲ)试探究:是否存在实数 x1 , x2 ( x2 ? x1 ? 0) ,使当 x ?[ x1 , x2 ] 时,函数 f ( x ) 的值域为

[kx1 ?1, kx2 ?1](k ? R) ?若存在,试确定实数 k 的取值范围;若不存在,说明理由.

2015 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷

数学(文科)试题参考答案及评分标准

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.B 12.C

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 13.{1,2} 14.25 15.4x+y+3=0 16.①③④

三、本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转 化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)因为 a1,a2,a4 成等比数列,所以 a1a4=a2 .?????????????1 分 即 a1(a1+3d)=(a1+d) ,解得 d=1 或 d=0(舍去) . ????????????????2 分 所以 an=1+(n-1)1=n,???????????????????????????4 分
2 2

Sn ?

n(1 ? n) .??????????????????????????????6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 所以 b1 ? b2 ? 解

2 1 1 ? 2( ? ) ,????????????????7 分 n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 2n ? 2( ? ) ? 2(1 ? )? .???9 分 n n ?1 n ?1 n ?1

1 1 1 ? bn ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? 2 2 3

2n 9 ? ,解得 n>9,????????????????????????????11 分 n ?1 5

所以使不等式成立的最小正整数为 10.????????????????????12 分

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识,考 查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)①处应填入

? .???????1 分 6

f ( x) ?

3 1 ? cos 2? x 1 sin 2? x ? ? ?????3 分 2 2 2

?

3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) .??????4 分 2 2 6

5? 2? 2? 1 ? ? ) ? 2? ,所以 ? 2? , ?= , f ( x) ? sin( x ? ) .????5 分 3 3 2? 2 6 ? ? ? ? 2? 令 2k? ? ? x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 2k? ? ? x ? 2k? ? , 2 6 2 3 3
因为 T= 2( 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? 2k? ? (Ⅱ)因为 a ? c ? 4 f ( ) ? 4sin

? ?

?
3

, 2k? ?

2? ? (k ? Z) .?????7 分 3 ? ?

?

?
3

2

? 2 3 ,????8 分
2

2 2 2 解法一:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos

?
3

? (a ? c) 2 ? 3ac ,

得 ( 3)2 ? (2 3)2 ? 3ac , ac ? 3 .????10 分 所以 ?ABC 的面积 S ? 解法二:由正弦定理得

1 1 3 3 3 .???12 分 ac sin B ? ? 3 ? ? 2 2 2 4

a c b ? ? ?2, sin A sin C sin B

所以 a ? 2 sin A , c ? 2 sin C ,而 A ? C ? ? ? B ? 所以 a ? c ? 2sin A ? 2sin C ? 2sin(

2? ,???8 分 3

2? 3 1 ? C ) ? 2sin C ? 2( cos C ? sin C ) ? 2sin C 3 2 2

? ? 3 cos C ? 3sin C ? 2 3 cos(C ? ) ? 2 3 ,???10 分 3 ? ? ? 2? ? 即 cos(C ? ) ? 1 ,因为 0 ? C ? ? , ? ? C ? ? ,所以 C ? . 3 3 3 3 3

因此 ?ABC 为等边三角形,其面积 S ?

3 2 3 3 . ??12 分 b ? 4 4

19.本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用 意识,考查必然与或然思想.满分 12 分.

n 4 ? ,解得 n=22.????3 分 115 ? 230 ? 115 ? 345 ? 460 230 115 ? 4 ? 2 (人).?????5 分 抽取的人中最喜欢“合一斗”有 230
解(I)由已知得 (II)从(I)中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中,最喜欢“合一斗”的有 2 人,记 为 A1、A2,最喜欢“斗麻利”的有 4 人,记为 B1、B2、B3、B4.???????6 分 从中随机抽取 2 人,所有的可能结果共有 15 种,它们是: (A1, A2)、(A1, B1)、(A1, B2)、(A1, B3)、(A1, B4)、(A2, B1)、(A2, B2)、(A2, B3)、(A2, B4)、 (B1, B2)、(B1, B3)、(B1, B4)、 (B2, B3)、(B2, B4)、(B3, B4).????9 分 其中,恰有 1 人最喜欢“合一斗”的可能结果共有 8 种,它们是:(A1, B1)、(A1, B2)、(A1, B3)、 (A1, B4)、(A2, B1)、(A2, B2)、(A2, B3)、(A2, B4). 故所求的概率 P=

8 .????12 分 15

20.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基 础知识,考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想.满分 12 分. (Ⅰ)证:正方形 ABEF 中,AF⊥AB, ∵平面 ABEF⊥平面 ABCD,又 AF ? 平面 ABEF, 平面 ABEF ? 平面 ABCD=AB,∴AF⊥平面 ABCD. 又∵BD ? 平面 ABCD,∴AF⊥BD. ?????3 分 又 BD ? AD ,AF ? AD=A,AF、AD ? 平面 ADF, ∴ BD ? 平面 ADF.?????5 分 (Ⅱ)解:当 N 为线段 EF 中点时,MN∥平面 ADF,且 MN//平面 BDF. ?????6 分

证明如下:正方形 ABEF 中,NF // 平行四边形形 ABCD 中,MD //

1 BA, 2

1 BA,? NF // MD, 2

? 四边形 NFDM 为平行四边形,? MN//DF. ?????7 分
又 DF ? 平面 ADF,MN ? 平面 ADF,∴MN//平面 ADF, 同理可证 MN//平面 BDF. ?????9 分 过 D 作 DH ? AB 于 H,∵平面 ABEF⊥平面 ABCD,又 DH ? 平面 ABCD,平面 ABEF ? 平面 ABCD=AB, ∴DH⊥平面 ABEF. 在 Rt?ABD 中,AB=2,BD=AD,∴DH=1,?????10 分 所以 VN ? ADF ? VD ? ANF ?

1 1 1 1 DH ? S ?ANF ? ? 1? ? 1? 2 ? .?????12 分 3 3 2 3

21.本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等 基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一 般思想、分类与整合思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)由已知可得,
2 2 2

c 1 ? ,4a=8,所以 a=2,c=1.·?????2 分 a 2

又由 b ? a ? c ,解得 b ? 3 , 所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .?????3 分 4 3

(Ⅱ)因为 2PO ? PQ ? PR ,所以 OR ? QO , 所以 R,O,Q 三点共线,且 R 在椭圆 E 上.?????4 分

? x2 y2 ? 1, 8 ? ? 2 直线 PF2 的方程为 y= ? 3 (x-1),由 ? 4 得 5x -8x=0,解得 x= 或 x=0,?5 分 3 5 ? y ? ? 3( x ? 1), ?
所以 P(0, 3 ) ,Q(

8 8 3 3 3 3 ,? ) ,R( ? , ) .·?????6 分 5 5 5 5

所以 S△PQR=S△POR+S△POQ=

1 1 16 8 3 ? |PO|·|xQ-xR|= ? 3 ? .?????7 分 2 2 5 5

(Ⅲ)存在点 M,N,当其坐标为(- △PMN 为等边三角形.?8 分 证明如下:

8 8 3 3 3 3 ,? ) , ( ,? )时, 5 5 5 5

当 MN⊥x 轴时,易得△PMN 不可能为等边三角形. 当 MN⊥y 轴时,因为 ?PMN 为等边三角形,结合椭圆的对称性,以及(Ⅱ)可得 M,N 的坐标为 (-

8 8 3 3 3 3 ,? ) , ( ,? ) ,符合题意.?????9 分 5 5 5 5

当 MN 不与坐标轴垂直时,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,MN 的中点为 D(x0,y0) ,

? x12 y12 ? ? 1, ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ?4 3 ? ?0, 由? 得 1 2 2 4 3 ? x2 ? y2 ? 1, ? 3 ? 4


3x 3x y1 ? y2 3( x1 ? x2 ) ?? ? ? 0 ,所以 kMN= ? 0 .???10 分 4 y0 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4 y0

因为△PMN 为等边三角形,所以 kMN·kPD =—1,即 ?

3x0 y0 ? 3 ? ? ?1 , 4 y0 x0

解得 y0= ?3 3 ,与 y0∈ [? 3, 3] 矛盾,此时不存在 M,N 使△PMN 是等边三角形.??11 分

综上,存在 M,N,且其坐标为(- △PMN 是等边三角形.??12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ)同解法一, 可得|QR|=2|QO|= 2 ( )2 ? (?

8 8 3 3 3 3 ,? ) , ( ,? )时, 5 5 5 5

8 5

3 3 2 2 91 .???6 分 ) ? 5 5

因为直线 QR 的方程为 y= ?

3 3 x,即 3 3 x+8y=0, 8

所以点 P(0, 3 )到直线 QR 的距离 d=

| 3 3 ? 0 ? 8? 3 | (3 3) 2 ? 82

?

8 3 . 91

所以 S△PMN=

1 1 2 91 8 3 8 3 |QR|·d= ? .?????7 分 ? ? 2 2 5 5 91

(Ⅲ)存在点 M,N,当其坐标为(- △PMN 为等边三角形.?8 分

8 8 3 3 3 3 ,? ) , ( ,? )时, 5 5 5 5

证明如下:当 MN⊥x 轴时,易得△PMN 不可能为等边三角形. (1)当 MN 垂直于坐标轴时,同解法一.?????9 分 (2)当 MN 不与坐标轴垂直时,设直线 MN 的方程为 y=kx+m(k≠0) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) .

? x2 y 2 ?8km 4m2 ? 12 ? 1, ? ? 2 2 2 , x1 x2 ? 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? , 3 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? y ? kx ? m, ?
MN 的中点坐标为 D(

?4km 3m , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

3m ? 3 2 因为△PMN 为等边三角形,所以 kMN·kPD =—1,即 3 ? 4k ? k ? ?1 , ?4km 3 ? 4k 2
化简得 m ? ? 3(3 ? 4k 2 ) , (*) 又因为 ? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(4k 2 ? 3 ? m2 ) ? 0 , 即 m ? 3 ? 4k ,这与(*)式矛盾,满足条件的 M,N 不存在.?????11 分
2 2

综上,存在 M,N,当其坐标为(- △PMN 是等边三角形.??12 分

8 8 3 3 3 3 ,? ) , ( ,? )时, 5 5 5 5

22.本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用,考查运算求解能力、抽象 概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合 思想.满分 14 分.

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ?

1 1? x ?1 ? (x>0) .???? 1 分 x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,f(x), f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1) + 单调递增

1 0 极大值

(1,+∞) - 单调递减

所以函数 f(x)的增区间为(0,1) ,减区间为(1,+∞) .???????????? 3 分 (Ⅱ) f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? ( x ? 0) . x x

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时函数 f ( x ) 在区间(0,+∞)上单调递增,不合题 意,舍去.???????4 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

x
f ?( x ) f ( x)

1 (0, ) a
+ 单调递增

1 , f ( x ) , f ?( x ) 的变化情况如下表: a 1 1 ( , ??) a a
0 极大值 - 单调递减

所以函数 f ( x ) 的增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ??) .?????? 6 分 要使函数 f ( x ) 在区间 (m, ??) 上不单调,须且只须 所以对任意给定的正数 m ,只须取实数 a ? (0, 单调.???????? 7 分 ( Ⅲ ) 假 设 存 在 实 数 x1 , x2 ( x2? x1 , 使 当 x ?[ x1 , x2 ] 时 , 函 数 f(x) 的 值 域 为 ? 0)

1 a

1 a

1 1 ? m ,即 0 ? a ? . a m

1 ) ,就能使得函数 f ( x) 在区间 (m, ??) 上不 m

[kx1 ?1, kx2 ?1] .
由?

?0 ? x1 ? x2 , 得 k ? 0 .????????? 8 分 ?kx1 ? 1 ? kx2 ? 1,

令 g ( x) ? kx ? 1 .

(1)当 a ? 0 时, f ( x), g ( x) 均在区间(0,+∞)上单调递增, 由已知得 x1 , x2 为方程 f ( x) ? g ( x) 的两个不等正根. 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即 h( x) ? ln x ? (a ? k ) x ? 1 . 要使(*)成立,须且只须 h( x) 存在两个零点. ?????????9 分 因为 h?( x) ? (*)

1 ? a ? k ( x ? 0) . x

①当 a ? k ? 0 ,即 k ? ? a 时, h( x) 在区间(0,+∞)上单调递增, (*)不成立. ②当 a ? k ? 0 ,即 k ? ? a 时,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 要使(*)成立,须且只须 h(

1 ,此时 h( x) 取到最大值. a?k

1 1 ) ? ln( ) ? 0 ,得 k ? 1 ? a . a?k a?k 1 处取到最大值. a

所以当 a ? 0 时,要使(*)成立,须且只须 ?a ? k ? 1 ? a .???????? 10 分 (2)当 a ? 0 时,由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 x ?

此时要使命题成立,须且只须 h( x) 有两个零点 x1 , x2 ,结合图形可得:

1 ,由 f ( x), g ( x) 均在区间 (0, x2 ) 上单调递增知,存在 x1 , x2 符合题意; a 1 1 ②若 x1 ? ? x2 ,则取符合 kx ? 1 ? f ( ) 的解为 x2 即可. a a
①若 x1 ? x2 ? 由①,②,结合(1)得 ?a ? k ? 1 ? a .???????? 13 分 注意到 k ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 ,且 0 ? k ? 1 ? a . 综上,当 a ? 0 时,存在 k ? (?a,1 ? a) 符合题意; 当 0 ? a ? 1 时,存在 k ? (0,1 ? a) 符合是题意; 当 a ? 1 时,满足条件的实数 k 不存在.?? 14 分


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