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解三角形常用变换公式及经典例题


用心辅导中心 解三角形 知识点:
1〃正弦定理:

高中数学

a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . sin A sin B sin C

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2〃余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 ?cos A ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . cos B ? ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?

3〃(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.

(1) 三角形内角和等于 1800 , A ? B ? C ? 1800 ,灵活变形, A ? 1800 ? ( B ? C) 即 如 等 (2)大边对大角,即在同一三角形中,若 a ? b ? c ,则 A ? B ? C 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:
a b c ? ? ? 2 R ( R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C

变形:(1) a : b : c ? sin A : sin B : sin C (2) sin A ?
a b c , sin B ? , sin C ? (角化边) 2R 2R 2R

(3) a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C (边化角) 3.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它 们的夹角的余弦的积的两倍。即:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

变形: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc



cos B ?

a2 ? c2 ? b2 ; 2ac

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

条件

角角边

边边角

边边边

边角边 余弦定理

适 用 定 正弦定理 理

正弦定理(注意解的个 余弦定理 数) 余弦定理

4.三角形的面积公式
S? 1 1 1 ab sin C , S ? ac sin B , S ? bc sin A 2 2 2

5.三角形形状的判断 :

若 cos A ? 0 , A 为锐角;若 cos A ? 0 , A 为直角;

若 cos A ? 0 , A 为钝角
例 1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B )

D. A 、 B 的大小关系不能确定

例 2.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( A.30° C.60° B.30°或 150° D.60°或 120°

)

例 3.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为( A.9 B.18 C.9 3 D.18 3 )

)

例 4.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为(

A.

2 3

B.-

2 3

C.

1 4

D.-

1 4

例 5.在 ?ABC 中,若

sin A cos B ? , 则 B 的值为( a b

)

A. 30?

B. 45?

C. 60?

D. 90? )

例 6.在 ?ABC 中,若 3a ? 2b sin A, 则 B 为( A.

? 3

B.

? 6

C.

? 2? 或 3 3

D.

? 5? 或 6 6

例 7.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C, 求证 ?ABC 为直角三角形。

例 8.在 ?ABC 中,若 acosA=bcosB, 试判断此三角形形状。

例 9.在△ABC 中,若 a ? 5, b ? 3, C ? 120? , 则 sin A 的值为( A.
5 3 14



B. -

5 3 14

C.

3 3 14

D.-

3 3 14

例 10.在△ABC 中,AB=3, BC = A.
3 2 2

13, AC = 4,则边 AC 上的高为(
3 2



B.

3 3 2

C.

D. 3 3

例 11.在△ABC 中, AB ?

3 6 , CD ? 5, ?ABC ? 45? , ?ACB ? 60? , 求 AD. 2
A

B

例 12 A
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在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( B
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C

D

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1: 2 :3

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3: 2 :1

C

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1:

3 : 2 D

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2:

3 :1

例 13 在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( A 大于零 B 小于零 C 等于零 D 不能确定
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B 14 . △ABC 的 内 角 A, ,

C 对 边 分 别 为 a, , b 的

c 若 ,

c ? 2, b ? , 6
A. 6

B ? 1? ,则 a 等于( 2 0
B.2

) C. 3 D. 2

例 15. 已知 △ ABC 中, a ? 2 , b ? 3 , B ? 60? ,那么角 A 等于(



A. 135?

B. 90?

C. 45?

D. 30? )

例 16. 在三角形 ABC 中, AB ? 5,AC ? 3,BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为( ? 2? 5? 3? A. B. C. D. 3 3 6 4 综合题 . 已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 AB 的长;
1 (2)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6


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