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北师大版数学必修四课件:1.9三角函数的简单应用


三角函数在物理学中的应用 物理学中的周期现象的处理方法 三角函数是研究周期现象最重要的数学模型,它有着 重要的应用价值.由于物理学中的单摆、光波、机械波、电 流等都具有周期性,且均符合三角函数的相关知识.因此借 助于三角函数模型,正确利用物理学中的相关知识是解答 此类问题的关键. 【例1】如图,表示电流强度I与 时间t的关系式I=Asin(ω t+ ? ) (A>0,ω >0)在一个周期内的图像 (1)根据图像写出I=Asin(ω t+ ? ) 的解析式; (2)为了使I=Asin(ω t+ ? )中t在任意一段 1 秒的时间内I 100 能同时取最大值|A|和最小值-|A|,那么正整数ω 的最小值 为多少? 【审题指导】(1)由一个周期内的图像可确定图像的五个关 键点,据此可求出解析式.(2)画图分析得:要使任意一段 1 秒的时间内I能同时取最大值和最小值,需要满足周期 100 1 T? . 100 【规范解答】(1)由图可知:A=300, 周期 T ? 1 ? ( ? 1 ) ? 1 . ∴ ? ? 2? ? 100? ,此时所求函数的解析式为 T 60 300 50 I=300sin(100πt+ ? ) 以点 (? 1 ,0)为“五点法”作图的第一关键点,则有 300 1 ? 100?? ( ? ) ? ? ? 0, ?? ? . 300 3 得函数解析式为 I ? 300sin(100?t ? ? ) . 3 (2)要使t在任意一段 必须使得周期 T ? 1 ? 100 100 1 秒能取得最大值和最小值, 100 即 2? ? 1 ? ? ? 200? ? ?>628.3 由于ω为正整数,故ω的最小值为629. 三角函数在生产生活中的应用 对三角函数在生产生活中的应用的理解 (1)现实生产、生活中,周期现象广泛存在,在解决实际问 题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过观察 散点图,进行函数拟合,获得具体的函数模型. (2)应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背景 中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助理解 问题. (3)在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件. 应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数 学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代 入原问题中进行检验、评判. 【例2】如图为一个缆车示意图,该缆车 半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂 直,以OA为始边,逆时针转动θ 角到OB, 设B点与地面距离是h. (1)求h与θ 间的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函 数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是 多少? 【审题指导】联想到由三角函数的定义可求角θ与点B的坐 标关系,可考虑建立恰当的直角坐标系,用θ表示点B的坐 标,进而求h与θ的函数关系式.对于第(2)问可求θ与时间 t的关系,得到h与t的函数关系式. 【规范解答】(1)以圆心O为原点,建立 如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB 为终边的角为 ? ? ? , 故B点坐标为 (4.8cos(? ? ? ), 4.8sin(? ? ? )). ∴h=5.6+4.8sin (? ? ? ) ,θ∈[0,+∞). 2 2 2 2 (2)点A在圆上转动的角速度是 ? t, 30 ? ,故t秒转过的弧度数为 30 ∴h=5.6+4.8sin ( ? t ? ? ) ,t∈[0,

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