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§2.1曲线的参数方程(2)


§2.1 曲线的参数方程(2)
A组
?x ? t ? 2 1、参数方程 ? 表示的曲线的形状是 (t为参数) ? y ? 2t ? 3
2、参数方程 ?
2 ? ? x ? sin ? 表示的曲线的形状是 (?为参数) 2 ? y ? cos ? ?

直线



线段



? x ? cos ? 3、曲线 ? ( ? ? ?0, ? ? ) 的普通方程为______ x 2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) _______. ? y ? sin ?

? x ? 3 cos ? ? x ? 2 sin ? 4、参数方程 ? 与? 表示同一条曲线吗? 是 (? ? R ) (? ? R ) ? y ? 3 sin ? ? y ? 2 cos ?



?x ? t 2 5、参数方程 ? (t为参数) )化为普通方程是 ?y ? 3

y ? 3 ( x ? 0)



? x ? 2 cos ? x2 y2 ? ? 1 ______, 6、已知方程 ? (?是参数),则它的普通方程为_______ 4 16 ? y ? 4 sin ? ? x ? tan ? 7、曲线 ? 化为普通方程是 ? y ? sec ?

y2 ? x2 ?1



B组
一、填空题 1、 (1) 方程 ?

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

所表示的曲线的形状是 (a, b, r 为常数, ? 为参数)





? x ? a ? r cos ? (2) 方程 ? ? y ? b ? r sin ?
2、参数方程 ?

所表示的曲线的形状是 (a, b, ? 为常数,r 为参数)

直线



? x ? sin ? ? cos? (? 为参数)化为普通方程是____ x 2 ? y 2 ? 2 _____. ? y ? sin ? ? cos?
y ? ( x ? 2) 2 ( y ? 0)


?x ? t ? 2 3、参数方程 ? 化为普通方程是 (t为参数) 2 ?y ? t
4、将曲线 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 化为参数方程是

? ? x ? ?2 ? 17 cos ? (? 为参数) 。 ? ? ? ? y ? 1 ? 17 s i n

2t ? 1 ? x? ? 1? t 5、方程 ? ? ? y ? 3t ? 1? t ?

(t 为参数)表示的曲线为______直线___;化为普通方程是 x ? y ? 1 ? 0 。

? x ? cos ? 6、化参数方程 ? ( ? 为参数) 为普通方程并指出方程表示的图形: y ? 2 x 2 ? 1 抛物线 。 y ? cos 2 ? ?

? x ? sin 2? 7、方程 ? 所表示的曲线是__圆____;化为普通方程是 _ x 2 ? y 2 ? y ? 0 ___。 2 ? y ? cos ?
? 1? t2 ?x ? 1 ? t 2 所表示的曲线是__圆____;化为普通方程是 ___ x 2 ? y 2 ? 1 _____。 8、方程 ? ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

二、选择题 9、 设 ? 是参数,下列方程中表示圆的参数方程的是 A. ?

( C )

? x ? 2 sin 2 ? ? y ? 2 cos ?
2

(0 ? ? ? 2? )

B. ?

? x ? sec? ? y ? tg?

C. ?

? x ? 1 ? sin ? ? y ? 2 ? cos?

D. ?

? x ? cos? (0 ? ? ? ? 2 ) y ? sin ? ?
( D )

10、参数方程 ?

? x ? 2 ? sin 2 ? ( ? 为参数)化为普通方程是 y ? ? 1 ? cos 2 ? ?
B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3]

A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3]

11、 动点 P ( sin(arcsinx), cos(arcsinx) ) 的轨迹为 (A)圆 (B)半圆 (C)直线

( (D)椭圆

B )

三、解答题 12、作下列参数方程表示的图形: ? ? x ? 1 ? sin t ?x ? 1 ? t (t ? 0) ; (1) ? (2) ? 。 ? ? y ? cos 2t ?y ? 2 2 ?1 答案: (1)普通方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ( x ? 1) ,一条射线; (2) y ? ?2x 2 ? 4x ? 1 ( x ?[ 0 , 2 ] , y ?[?1 , 1] ,抛物线上的一段。

? ? ?x ? 6 ? 4 cos? 13、设集合 A ? ?( x , y ) | ? (?为参数) ? , B ? {(x , y ) | y ? kx, k ? R } ,若 A ? B ? ? , y ? 4 sin ? ? ? ? 试求 k 的取值范围。

答案: k ? ?

2 5 2 5 . 或k? 5 5

1 ? x ? (e t ? e ?t ) ? cos ? ? ? 2 14、已知参数方程 ? 。 1 t ? t ? x ? (e ? e ) ? sin ? ? 2 ? (1)当 t 为非零常数, ? 为参数时,将它化为普通方程,并指出它表示什么曲线; k? (2)当 ? 为不等于 (k ? Z ) 的常数, t 为参数时,将它化为普通方程,并指出它表示什么曲线。 2
答案: (1)

y2 x2 ? ? 1 ,椭圆; e t ? e ?t 2 e t ? e ?t 2 ( ) ( ) 2 2

(2)

y2 x2 ? ? 1 ,双曲线的一支。 cos 2 ? sin 2 ?

C组
若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上动点 P 与定点 A ( a , 0 ) ( 0 ? a ? 3 ) 的最小距离为 1,求 a 的值。 9 4
3a 2 4a2 , ) ?4? 5 5

解.设点 P 的坐标为 ( 3 cos? , 2 sin ? ) ,则 | PA | 2 ? ( 3cos? ? a )2 ? ( 2 sin ? )2 ? ? ? 5 ( cos? ? ① 若0 ?

3a 5 3a 5 4a2 15 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,则当 cos? ? 时, 4 ? ,与条件 0 ? a ? 矛盾,舍去; ?1? a ? 5 3 5 3 5 2 3a 5 ? 1 ,即 ? a ? 3 时,则当 cos? ? 1 时, ( a ? 3 )2 ? 1 ? a ? 2 ( a ? 4 不合条件,舍去)。 ② 若 5 3


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