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【成才之路】高中数学必修一新课标人教版 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数 换底公式


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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基本初等函数(Ⅰ)

1.(1)计算log48,log42与log28的值,看它们之间有什

么关系?
3 1 log48 答案: , ,3,log28= . 2 2 log42
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(2)计算log1000100的值,看它们与lg100,lg1000的值有 何联系?
lg100 答案:log1000100= . lg1000

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logcb 2.换底公式:logab= (其中a>0且a≠1,c>0且 logca c≠1,b>0).
3.由换底公式可得: 1 (1)logab= (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1). logba n n mb = (2)loga logab(其中 a>0 且 a≠1,b>0) m
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4.利用换底公式求值: 2 (1)log54· 85= log . 3 (2)log89· 2732=10 . log 9

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[解析]

lg4 lg5 2 (1)原式= · = . lg5 lg8 3

lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 (2)log89· 2732= × log = × = . lg8 lg27 3lg2 3lg3 9

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本节重点:换底公式及其应用. 本节难点:换底公式及有关对数恒等式的推导及应

用.

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logcb 换底公式:logab= 的证明如下: logca 令 logab=x, b=ax.两边同取以 c 为底的对数得 logcb 则 logcb logcb =logca =xlogca,所以 x= ,即 logab= . logca logca
x
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logcb 它还可以用对数恒等式来证明:要证 logab= , logca 即证 logab· ca=logcb.由对数的运算法则,即证 logcalogab log =logcb,∵alogab=b,∴上式成立,∴原结论成立.

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[例1] [分析]

1 1 1 计算log225· 38· 59. log log 将底统一成以10为底的常用对数

[解析]

1 1 1 lg lg lg 25 8 9 原式= · · lg2 lg3 lg5

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(-2lg5)· (-3lg2)· (-2lg3) = =-12. lg2lg3lg5

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(1)求证:loganbn=logab.(a>0 且 a≠1,n∈N+,b>0). n (2)求证:logamb = logab(a<0 且 a≠1,b>0) m logabn nlogab [解析] (1)loganbn= = =logab; logaan nlogaa
n
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logabn nlogab n (2)logambn= = = log b. logaam mlogaa m a

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[例2]

某城市现有人口总数为100万,如果年自然增
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长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系 式. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精

确到1年).

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[解析] (1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2年后该城市人口总数为
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y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1
+1.2%)2 3年后该城市人口总数为 y = 100×(1 + 1.2%)2 + 100×(1 + 1.2%)2×1.2% = 100×(1+1.2%)3

x年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)x

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(2)10年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人) (3)设x年后该城市人口将达到120万人,即 100×(1+1.2%)x=120(万人) 120 x=log1.012100=log1.0121.2≈15年
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抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空

气少于原来的0.1%,则至少要抽(已知lg2=0.3010)(
A.6次 C.8次 [答案] C [解析] 设至少要抽n次
2N (1-60%) <0.1%,即( ) <10-3. 5
n

)
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B.7次 D.9次

3 ∴n> ≈7.6.故选C. 1-2lg2

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[例 3] [分析]

2 1 设 3 =4 =36,求 + 的值. a b
a b

(1)可考虑指对互化后换为都是以 36 为底的对数

式,然后利用对数的运算法则求解. (2)∵4=22,36=22×33,2×3=6.故可考虑将条件式取以 6 为底的对数,然后利用对数的运算法则求解.

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[解析]

解法1:由3a=4b=36得log336=a,log436= 1 log363 ,b=log436=
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b,由换底公式可得a=log336= 1 log364.

2 1 所以a+b=2· 363+log364=log369+log364 log =log3636=1.

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解法2:对已知条件等式的两边取以6为底的对数 得, a· 63=2b· 62=2. log log 2 1 所以a=log63,b=log62. 2 1 所以 + =log63+log62=log66=1. a b
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1 1 设3 =5 = 15,则 + =________. a b [答案] 2
a b

[解析]

将3a=5b= 15的两边取常用对数得,

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1 lg15 lg15 alg3=blg5=2lg15,∴a=2lg3,b=2lg5, 1 1 2lg3 2lg5 2lg15 ∴ + = + = =2. a b lg15 lg15 lg15

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一、选择题
log89 1. 的值是 log23 A.2 B.1 3 C.2 2 D.3
2 3log23 2 = log 3 =3.故选 D. 2

(

)
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[答案]

D

log89 [解析] log 3= 2

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2.式子 A.6 C.14 7 B. 2 3 D.7

的值为(

)

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[答案] C
[解析] 因为

=2×7=14,所以选 C.

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1 5 3.计算lg2-lg8+lg12.5-log89· 278的值等于( log 1 A.3 C.3 5 B.3 2 D.-3

)

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[答案]

A

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[解析]
-1

1 5 因为lg2-lg8+lg12.5-log89· 278 log
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lg9 lg8 =lg2 -(lg5-lg8)+lg25-lg2-lg8· lg27 2lg3 =-lg2-lg5+3lg2+2lg5-lg2-3lg3 2 2 1 =lg5+lg2-3=1-3=3.故选A.

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二、填空题 4.已知lg3=0.4771,lg2=0.3010,若lgx=2.1303,则

x=________.
[答案] 135 [解析] ∵lgx=2.1303=0.4771×3+0.6990 =3lg3+1-lg2=lg27+lg5=lg135,∴x=135.

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5.若log32=m,log35=n,则lg5用m,n表示为 ________.
n [答案] m+n
log35 log35 [解析] lg5=log 10= log3(2×5) 3 log35 n = = . log32+log35 m+n
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三、解答题 6.已知log32=a,3b=5,试用a、b表示log3 30.

[解析] ∴log3

根据题意得:b=log35 1 1 30= log3(3×10)= (1+log310) 2 2

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1 1 = (1+log32+log35)= (1+a+b). 2 2

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