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2012年北京西城区高三数学(理科)二模试题及答案


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北京市西城区 2012 年高三二模试卷



学(理科)
共 40 分)

2012.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | log 2 x ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? c ,其中 c ? 0} .若 A ? B ? B ,则 c 的 取值范围是( (A) (0,1] ) (B) [1, ??) (C) (0, 2] (D) [2, ??)

2.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ① f ( x) ? e ;
x

② f ( x ) ? ?e ;
x ?1

③ f ( x) ? x ? x ; 则输出函数的序号为( (A)① (C)③

④ f ( x) ? x ? x . ) (B)② (D)④

?1

3.椭圆 ?

? x ? 3cos ? (? 是参数 ) 的离心率是( ? y ? 5sin ?
(B)



(A)

3 5

4 5

(C)

9 25

(D)

16 25


4.已知向量 a ? ( x,1) , b ? (? x, 4) ,其中 x ?R .则“ x ? 2 ”是“ a ? b ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

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5.右图是 1 , 2 两组各 7 名同学体重(单位: kg ) 数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平均数依次 为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ? )

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数) n

(A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2

(B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2

6.已知函数 f ( x) ? kx ? 1 ,其中实数 k 随机选自区间 [?2,1] .对 ?x ?[0,1] , f ( x) ? 0 的 概率是( (A) ) (B)

1 3

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

7. 某大楼共有 12 层, 11 人在第 1 层上了电梯, 有 他们分别要去第 2 至第 12 层, 每层 1 人. 因 特殊原因,电梯只允许停 1 次,只可使 1 人如愿到达,其余 10 人都要步行到达所去的楼 层.假设这 10 位乘客的初始“不满意度”均为 0 ,乘客每向下步行 1 层的“不满意度” 增量为 1 ,每向上步行 1 层的“不满意度”增量为 2 ,10 人的“不满意度”之和记为 S , 则 S 的最小值是( (A) 42 ) (B) 41 (C) 40 (D) 39

* 8. 对数列 {an } , 如果 ?k ? N 及 ?1 , ?2 ,?, ?k ? R , an? k ? ?1an ? k ?1 ? ?2 an ? k ?2 ? ? ? ?k an 使

成立,其中 n ? N ,则称 {an } 为 k 阶递归数列.给出下列三个结论:
*

① 若 {an } 是等比数列,则 {an } 为 1 阶递归数列; ② 若 {an } 是等差数列,则 {an } 为 2 阶递归数列; ③ 若数列 {an } 的通项公式为 an ? n ,则 {an } 为 3 阶递归数列.
2

其中,正确结论的个数是( (A) 0 (B) 1

) (C) 2 (D) 3

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第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ?

共 110 分)

2,A?

π ,则 B ? _____. 3

10.已知复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? _____.

11.如图,△ ABC 是⊙ O 的内接三角形, PA 是⊙ O 的切 线, PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D .若 PA ? PE ,

?ABC ? 60? , PD ? 1 , PB ? 9 ,则 PA ? _____;

EC ? _____.
12.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 1 是 R 上的偶函数,则实数 b ? _____; 不等式 f ( x ? 1) ? | x |
2

的解集为_____. 13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,该几何体 的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面 上,则球的表面积是_____.

14. 曲线 C 是平面内到定点 F (0,1) 和定直线 l : y ? ?1 的距离之和等于 4 的点的轨迹,给出 下列三个结论: ① 曲线 C 关于 y 轴对称; ② 若点 P( x, y ) 在曲线 C 上,则 | y | ? 2 ; ③ 若点 P 在曲线 C 上,则 1 ? | PF | ? 4 . 其中,所有正确结论的序号是____________.

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三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x . (Ⅰ)求 f (

π 6

π ) 的值; 12

(Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围.

π 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD ,

AB ? BC , AB ? 2CD ? 2BC , EA ? EB .
(Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若存在,求出 说明理由.
E

EF ;若不存在, EA

B C D

A

17. (本小题满分 13 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 , 5

乙能答对其中的 5 道题. 规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 答对 一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;

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(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

18. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点.
2

(Ⅰ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ) 设点 M 在线段 AB 上运动, 原点 O 关于点 M 的对称点为 C , 求四边形 OACB 面 积的最小值.

??? ?

??? ?

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ?R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f (x) 在 [0, ??) 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 若 An ? a1a2 ? an (ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,?, n) ,则称 An 为 0 和 1 的一个 n 位排列.对于

An ,将排列 an a1a2 ? an?1 记为 R1 ( An ) ;将排列 an ?1an a1 ? an ? 2 记为 R 2 ( An ) ;依此类推,
直至 R ( An ) ? An .
n

对于排列 An 和 R ( An ) (i ? 1, 2,?, n ?1) ,它们对应位置数字相同的个数减去对应位置
i

i i 数字不同的个数,叫做 An 和 R ( An ) 的相关值,记作 t ( An , R (An )) .例如 A3 ? 110 ,则

R1 ( A3 ) ? 011, t ( A3 , R1 ( A3 )) ? ?1 .
若 t ( An , R ( An )) ? ?1 (i ? 1, 2, ?, n ? 1) ,则称 An 为最佳排列.
i

(Ⅰ)写出所有的最佳排列 A3 ; (Ⅱ)证明:不存在最佳排列 A5 ;

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(Ⅲ)若某个 A2 k ?1 (k 是正整数 ) 为最佳排列,求排列 A2 k ?1 中 1 的个数.

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数学(理科)参考答案及评分标准
2012.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D; 2.D; 3.B; 4.A; 5.C; 6.C; 7.C; 8.D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

π ; 4

12. 0 , {x |1 ? x ? 2}

1 i ? ; 2 2 1 13. , 3π ; 3
10.

11. 3 , 4 ; 14.① ② ③.

注:11、12、13 第一问 2 分,第二问 3 分;14 题少填不给分. 14.分析:由题设条件动点 P 到定直线 l:x=2 与到定点 F(1,0)的距离之和为 3,由此等 量关系建立方程求得动点 P 的轨迹方程解答: 解:设点 P(x,y) ,∴|x-2|+=3,…(4 分) 当 x≤2 时,有=1+x,∴y2=4x,但 x≥0. 当 x>2 时,有=5-x.∴y2=-8(x-3) ,但 x≤3. ∴当 0≤x≤2 时,点 P 的轨迹方程为 y2=4x; 当 2<x≤3 时,点 P 的轨迹方程为 y2=-8(x-3) .…(10 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f (

π π π π 3 ) ? cos 2 (? ) ? sin 2 ? cos ? . 12 12 12 6 2

??????5 分

(Ⅱ)解: f ( x) ?

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? (1 ? cos 2 x) 2 3 2

??????7 分

1 π 1 3 3 ? [cos(2 x ? ) ? cos 2 x] ? ( sin 2 x ? cos 2 x) ??????8 分 2 3 2 2 2
? 3 π sin(2 x ? ) . 2 3
??????9 分

因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ?

π 2

π π 4π ?[ , ] , 3 3 3

??????10 分

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所以当 2 x ?

3 π π π . ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 12 3 2

??????11 分

所以 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 等价于

π 2 π 2

3 ?c. 2 3 , ??) . ??????13 分 2

故当 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 时, c 的取值范围是 [

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . ??????1 分

因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . ??????3 分 ??????4 分 ?????2 分

(Ⅱ)解:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ????5 分 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 ,所以

O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) .
所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1, 0) . ??????7 分 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? ,

????

??? ???? ? ??? ???? ? | EC ? OD | 3 ? 所以 sin ? ? | cos? EC , OD? | ? ??? ???? ? , 3 | EC || OD |
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:存在点 F ,且

3 . 3

??????9 分

EF 1 ??????10 分 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3 1 1 1 1 2 4 2 证明如下:由 EF ? EA ? (? ,0,? ) , F (? ,0, ) ,所以 FB ? ( ,0,? ) . 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? ?v ? BD ? 0, ? 设平面 FBD 的法向量为 v ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ?v ? FB ? 0. ?
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? ? a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 2 ? 3 a ? 3 z ? 0. ?

取 a ? 1 ,得 v ? (1,1,2) .

??????12 分

因为 EC ? v ? (1,1,?1) ? (1,1,2) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3

??????14 分

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15,0,15,30 .??????1 分

C3 1 P ( X ? ?15) ? 35 ? ; C10 12 P( X ? 15) ?
2 C1 C5 5 5 ? ; 3 C10 12

2 C5 C1 5 P ( X ? 0) ? 3 5 ? ; C10 12

P( X ? 30) ?

C3 1 5 ? . 3 C10 12

??????5 分

乙得分的分布列如下:

X
P

?15 1 12

0 5 12

15 5 12

30 1 12
??????6 分

EX ?

1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ?15 ? ? 30 ? . 12 12 12 12 2

??????7 分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选为事件 B . 则 P( A) ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ?
2 2 3

3 5

2 5

3 5

81 , 125

??????10 分

P( B) ?

5 1 1 ? ? . 12 12 2

??????11 分

故甲乙两人至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ?

44 1 103 . ??13 分 ? ? 125 2 125

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意 F (1,0) ,设直线 AB 方程为 x ? my ? 1 .
2

??????1 分

将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y ? 4my ? 4 ? 0 . ????3 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 . ① ??????4 分

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因为 AF ? 2 FB , 所以 y1 ? ?2 y2 . ② ??????5 分

??? ?

??? ?

y

A

M

C x

联立①和②,消去 y1 , y2 ,得 m ? ? 所以直线 AB 的斜率是 ?2 2 .

2 . ???6 分 4
??????7 分

O

F

B

(Ⅱ)解:由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点,从而点 O 与点 C 到 直线 AB 的距离相等, 所以四边形 OACB 的面积等于 2S? AOB . 因为 2S? AOB ? 2 ? ? | OF | ? | y1 ? y2 | ?????? 9 分 ??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

1 2

? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 1 ? m 2 ,
所以 m ? 0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4 .

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? 1) 2x , f ?( x) ? ?2 . ( x 2 ? 1) 2 x ?1
2

??????2 分

由 f ?(0) ? 2 , 得曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 .????3 分 (Ⅱ)解: f ?( x) ? ?2

( x ? a)(ax ? 1) . x2 ? 1 2x ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 2 . x ?1

??????4 分

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增,在 ( ??,0) 单调递减.

??????5 分

1 ( x ? a)( x ? ) a . 当 a ? 0 , f ?( x) ? ?2a x2 ? 1
② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? a , x2 ?

1 , f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下: a
x2 ( x2 , ? ?)
?

x
f ?( x)

( ??, x1 )
?

x1

( x1 , x2 )

0
f ( x1 )

?


0
f ( x2 )

f ( x)





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故 f (x) 的单调减区间是 ( ??, ?a ) ,( , ?? ) ;单调增区间是 ( ? a , ) . ???7 分 ③ 当 a ? 0 时, f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:

1 a

1 a

x
f ?( x)
f ( x)

( ??, x2 )

x2

( x2 , x1 )
?

x1

( x1 , ? ?)

?


0
f ( x2 )

0
f ( x1 )

?




所以 f ( x) 的单调增区间是 ( ??, ) ;单调减区间是 ( ?

1 a

1 , ?a ) , ( ?a, ??) . a
??????9 分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得, a ? 0 时不合题意.

??????10 分

当 a ? 0 时,由(Ⅱ)得, f (x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,所以 f (x) 在 (0, ??) 上存在最大值 f ( ) ? a ? 0 .
2

1 a

1 a

1 a

1 ? a2 1 设 x0 为 f (x) 的零点, 易知 x0 ? , x0 ? . 且 从而 x ? x0 时,f ( x) ? 0 ;x ? x0 2a a
时, f ( x) ? 0 . 若 f (x) 在 [0, ??) 上存在最小值,必有 f (0) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 1 . 所以 a ? 0 时,若 f (x) 在 [0, ??) 上存在最大值和最小值, a 的取值范围是 (0,1] . ??????12 分 当 a ? 0 时, (Ⅱ) 由 得, f (x) 在 (0, ?a) 单调递减, (?a, ??) 单调递增, 在 所以 f (x) 在 (0, ??) 上存在最小值 f (?a) ? ?1 . 若 f (x) 在 [0, ??) 上存在最大值,必有 f (0) ? 0 ,解得 a ? 1 ,或 a ? ?1 . 所以 a ? 0 时, f (x) 在 [0, ??) 上存在最大值和最小值, 的取值范围是 (??, ?1] . 若 a 综上, a 的取值范围是 (??, ?1] ? (0,1] . ??????14 分

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:最佳排列 A3 为 110 , 101 , 100 , 011 , 010 , 001 . (Ⅱ)证明:设 A5 ? a1a2 a3a4 a5 ,则 R ( A5 ) ? a5 a1a2 a3a4 ,
1

??????3 分

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因为 t ( A5 , R ( A5 )) ? ?1 ,
1

所以 | a1 ? a5 | , | a2 ? a1 | , | a3 ? a2 | , | a4 ? a3 | , | a5 ? a4 | 之中有 2 个 0 , 3 个1 . 按 a5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的顺序研究数码变化,由上述分析可知有 2 次数 码不发生改变,有 3 次数码发生了改变. 但是 a5 经过奇数次数码改变不能回到自身, 所以不存在 A5 ,使得 t ( A5 , R ( A5 )) ? ?1 ,
1

从而不存在最佳排列 A5 . (Ⅲ)解:由 A2 k ?1 ? a1a2 ? a2 k ?1 (ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,?, 2k ? 1) ,得

??????7 分

R1 ( A2 k ?1 ) ? a2 k ?1a1a2 ? a2 k , R 2 ( A2 k ?1 ) ? a2 k a2 k ?1a1a2 ? a2 k ?1 ,
??

R 2 k ?1 ( A2 k ?1 ) ? a3a4 ? a2 k ?1a1a2 , R 2 k ( A2 k ?1 ) ? a2 a3 ? a2 k ?1a1 .
因为 t ( A2 k ?1 , R ( A2 k ?1 )) ? ?1 (i ? 1, 2, ?, 2k ) ,
i

所以 A2 k ?1 与每个 R ( A2 k ?1 ) 有 k 个对应位置数码相同,有 k ? 1 个对应位置数码不
i

同,因此有

| a1 ? a2 k ?1 | ? | a2 ? a1 | ? ?? | a2 k ? a2 k ?1 | ? | a2 k ?1 ? a2 k | ? k ? 1 , | a1 ? a2 k | ? | a2 ? a2 k ?1 | ? ?? | a2 k ? a2 k ?2 | ? | a2 k ?1 ? a2 k ?1 | ? k ? 1 ,
??,

| a1 ? a3 | ? | a2 ? a4 | ? ?? | a2 k ? a1 | ? | a2 k ?1 ? a2 | ? k ? 1 , | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ? ?? | a2 k ? a2 k ?1 | ? | a2 k ?1 ? a1 | ? k ? 1 .
以上各式求和得, S ? (k ? 1) ? 2k . ??????10 分 .

另一方面, 还可以这样求和: a1 , a2 ,..., a2 k , a2 k + 1 中有 x 个 0 ,y 个 1 , S ? 2 设 则 x y S

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??????11 分 所以 ?

? x ? y ? 2k ? 1, ?x ? k, ? x ? k ? 1, 解得 ? 或? ? 2 xy ? 2k ( k ? 1). ? y ? k ? 1, ? y ? k .
??????13 分

所以排列 A2 k ?1 中 1 的个数是 k 或 k ? 1 .

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