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2015届广东省惠州二模文数及答案(2014.10)


广东省惠州市 2015 届高三第二次调研考试 数 学 (文科)2014.10
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后

,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
2 1.设集合 A ? {?3, ? 2, ? 1,0,1} ,集合 B ? { x x ? 4 ? 0} ,则 A

B= (

) D. ?

A. {?2}

B. {2}

C. {?2, 2} )

2.复数 z ? i ? (1 ? i) ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ( )

D.第四象限

2 3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2x ? 4 ? 0 ,则 ? p 为

A. ?x ? R, x ? 2x ? 4 ? 0
2

2 B. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 2 D. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0

C. ?x ? R, x ? 2x ? 4 ? 0
2

4.已知向量 AB ? (3,7) , BC ? (?2,3) ,则 ? A. ? ? , 5?

1 AC ? ( 2

)

? 1 ? ? 2 ?

B. ? , 5?

?1 ? ?2 ?

C. ? ? ,-5 ? )

? 1 ? 2

? ?

D. ? ,-5 ?

?1 ?2

? ?

5.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

A. y ? ln( x ? 1)

B. y ?| x ? 1|

C. y ? ?

?1? ? ?2?

x

D. y ? sin x ? 2 x

1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. ? 6 B. 2 C. 3

)

D. 4

7.已知函数 f ( x) ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的表达式是( A. f ( x) ? 2sin(2 x ? C. f ( x) ? 2sin(2 x ?
2

?
2

) 的部分

)

?
3

)

B. f ( x) ? 2sin(2 x ? D. f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

)

2? ) 3

?
12

)

8.方程 x ? x ? n ? 0 ( n ?[0,1] ) 有实根的概率为 (



1 2 1 C. 4
A.

1 3 3 D. 4
B. ) D. 8

9.圆心在 (1, ? 2) ,半径为 2 5 的圆在 x 轴上截得的弦长等于 ( A. 4 3 B. 6 C. 6 2

10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A. y ? [ ( )

x ] 10

B. y ? [

x?3 ] 10

C. y ? [

x?4 ] 10

D. y ? [

x?5 ] 10

二、填空题: (本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.抛物线 x ? 4 y ? 0 的准线方程是
2

.

12.在等比数列 {an } 中, a5 ? 4 , a7 ? 8 ,则 a9 ? _________. 13.在△ ABC 中, ?A ?

? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? _________. 3

2

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t (t y ? 4 ? t ?

为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 程为 ? ? 4 2 sin ? ? ?

? ?

?? ? ,则直线 l 和曲线 C 的公共点有_______ 个. 4? C

15.(几何证明选做题)如图,在半径为 3 的圆 O 中,直径 AB 与 弦 CD 垂直,垂足为 E ( E 在 A 、 O 之间). 若 CE ? 5 , 则 AE ? ________.

A

E D

O

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(1)若 a ? b ,求 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最大值.

17.(本小题满分 12 分) 移动公司在国庆期间推出 4G 套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方案 如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得优惠 500 元,选择套 餐三的客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与活动 的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中 选出 6 人,再从该 6 人中随机选出两人,求 这两人获得相等优惠金额的概率.
套餐1 套餐2 套餐3
套餐种类 入网人数

150 100 50

3

18.(本小题满分 14 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC

BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角

线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 三 棱 锥 M ? A B D 的体积. B A O D 19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? (1)求证:数列 { (2)求 Sn 和 an . C O D B M C

A

1 * , an ? ?2Sn ? Sn?1 ( n ? 2 且 n ? N ). 2

1 } 是等差数列; Sn

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 过点 M (1,

6 ) ,点 F (? 2,0) 是椭圆的左焦点,点 P 、 Q 是椭圆 C 上的 2

两个动点,且 PF 、 MF 、 QF 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A .

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 处的切线的斜率为 0 . (1)求 b 的值; (2)若存在 x ??1, ?? ? ,使得 f ? x ? ?

1? a 2 x ? bx , a ? R 且 a ? 1 . 曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1? ? 2

a ,求 a 的取值范围. a ?1

4

惠州市 2015 届高三第二次调研考试
文科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A
2

B

B

C

D

C

A

C

D

B

1【解析】方程 x ? 4 ? 0 解得 x ? ?2 ,则 B ? {?2, 2} ? A

B ? {?2}

2【解析】由题意可知, z ? i ? 1 ? ?1 ? i ,则对应的点为 (?1,1) 3【解析】将全称命题改为特称命题即可 4【解析】 AC ? AB ? BC ? (1, 10) ,则 ?

1 1 AC ? (? , ? 5) 2 2

5【解析】 y? ? cos x ? 2 ? 0 ,所以 y ? sin x ? 2 x 在区间 (0, ??) 上为增函数.或者用排除法 6【解析】由约束条件画出可行域如图所示,

x+y-2=0 y

1 则根据目标函数画出直线 l0 : y ? ? x , 2
由图形可知将直线 l0 平移至 A 点取得 z 的 最小值,解方程组 ?

A(1,1) y=x l0: x+2y=0 2x-y+2=0 x

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0

得?

?x ? 1 ,即 A(1, 1) 代入可得 z ? 3 . ?y ?1

7【解析】从图可知 A ? 2 ,且 点(

5? ? ? , 2) 的 坐 标 代 入 函 数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) , 且 ? ? 得 ? ? ? 所 以 函 数 2 12 3

T 11? 5? ? 2? 2? ? ? ? ,得 T ? ? ,故 ? ? ? ? 2 ,将 2 12 12 2 T ?

?? ? y ? f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
8【解析】方程 x ? x ? n ? 0 有实数根时, ? ? 1 ? 4n ? 0 得 n ?
2

1 1 ,由几何概型知 P ? . 4 4

9【解析】圆心 (1, ? 2) 到 x 轴的距离为 d ? y ? 2 ,圆半径 r ? 2 5 ,由勾股定理知 半弦长为 r 2 ? d 2 ? 4 ,则弦长为 8 . 10【解析】当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除 以 10 再用这个余数与 3 相加, 若和大于等于 10 就增选一名代表, 将二者合并便得到推

5

选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系, 用取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大 整数)可以表示为 y ? [

x?3 ] .或者用特值法验证也可. 10

二、填空题(本大题共 5 小题,共 20 分。第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题, 两题全答的,只计前一题的得分. ) 11. y ? 1 12. 16 13.

? 4

14.1

15.

1

11【解析】化为抛物线的标准方程 x2 ? ? 4 y ,则 2 p ? 4 ,得 p ? 2 ,且焦点在 y 轴上,所 以y?

p ? 1 ,即准线方程为 y ? 1 . 2

2 12【解析】由等比数列的性质知 a5 ? a9 ? a7 ,故 a9 ? 16 .

13【解析】因为

AB BC sin A 2 ? ,所以 sin C ? ,而 AB ? BC ,所以 ? AB ? sin C sin A BC 2 ? . 4
2 2

?C ? ?A ,所以 ?C ?

14【解析】直线的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,圆的普通方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 8 ,圆心 到直线的距离为 d ?

2?2?4 12 ? ? ?1?
2

? 2 2 ? r ,所以直线 l 和曲线 C 相切,公共点只有1

个. 15【解析】因为 CE ? 5 ,且 OC ? r ? 3 ,所以 OE ? OC ? CE ?
2 2

32 ?

? 5?

2

?2,

所以 AE ? OA ? OE ? 3 ? 2 ? 1 . 或者由相交弦定理 AE ? BE ? CE ? DE ? ( 5)2 ? 5 , 即 AE ? (2r ? AE ) ? 5 ,且 AE ? r ,得 AE ? 1 . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:本题考查平面向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质. (1)由 a ? ( 3 sin x) ? (sin x) ? 4(sin x) ,
2 2 2 2

……………1 分 ……………2 分

b ? (cos x)2 ? (sin x)2 ? 1 ,
及 a ? b ,得 4sin x ? 1 .又 x ? [0,
2

2

?
2

] ,从而 sin x ?

1 , 2

……………4 分 ……………6 分

所以 x ?

?
6

.
6

(2) f ( x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin x ?
2

3 1 1 ? 1 … sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 6 2

9分

? ? ? 5? x ? [0, ], 则 2 x ? ? [? , ] 2 6 6 6
? 当 2x ?

?
6

?

?
2

,即 x ? 3 . 2

?

? [0, ] 时, sin(2 x ? ) 取最大值 1. 3 2 6

?

?

…………11 分 ……………12 分

所以 f ( x ) 的最大值为 17. (本小题满分 12 分)

解(1)设事件 A =“某人获得优惠金额不低于 300 元”, 则 P ( A) ?

……………1 分 ……………4 分

150 ? 100 5 ? . 50 ? 150 ? 100 6

(2)设事件 B =“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额”, ……………5 分 由题意按分层抽样方式选出的 6 人中, 获得优惠 200 元的 1 人, 获得优惠 500 元的 3 人, 获得优惠 300 元的 2 人, ……………6 分

分别记为 a1 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 ,从中选出两人的所有基本事件如下:

a1b1 , a1b2 , a1b3 , a1c1 , a1c2 , b1b2 , b1b3 , b1c1 , b1c2 , b2b3 , b2 c1 , b2c2 , b3c1 , b3c2 , c1c2 ,共 15 个.
其中使得事件 B 成立的为 b1b2 , b1b3 , b2 b3 , c1c2 ,共 4 个 则 P( B) ? ……………9 分 ……………10 分 ……………12 分

4 . 15

18. (本小题满分 14 分) 解(1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . ……2 分 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD ,………4 分 所以 OM // 平面 ABD . ……………6 分 ……………7 分 A B M O D C

(2)三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM .

…………8 分

7

又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM

…………9 分 …………10 分 ……………11 分

AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,即 OD ? 平面 ABM

所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

?ABM 的面积为 S?ABM =

1 1 3 9 3 ,……13 分 BA ? BM ? sin120 ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2 1 9 3 . ? S?ABM ? OD ? 3 2
……………14 分

所求体积等于 VM ? ABD =VD? ABM ? 19.(本小题满分 14 分)

解(1)证明:当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? ?2sn sn?1 ,①

……………2 分

? sn (1 ? 2sn?1 ) ? sn?1

由上式知若 sn ?1 ? 0 ,则 sn ? 0

s1 ? a1 ? 0 ,由递推关系知 sn ? 0(n ? N ? ) ,
∴由①式可得:当 n ? 2 时,

1 1 ? ?2 sn sn ?1 1 1 ? ? 2 ,公差为 2 . s1 a1

……………4 分

∴ { } 是等差数列,其中首项为

1 sn

……………6 分

(2)

1 1 1 1 . ? ? 2(n ? 1) ? ? 2(n ? 1) , ? sn ? 2n sn s1 a1

……………8 分

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ? 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ?

1 , 2n(n ? 1)

……………10 分

1 不适合上式, 2

……………12 分



?1 ? , (n ? 1 n ,? N ) ? ?2 an ? ? 1 ? ?? , (n ? 2 n ,? N ) ? ? 2n (n ? 1 )

……………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

…………1 分

6 ? ? 1 ? 4 由已知,得 ? 2 ? 2 ? 1 ? a 2 b2 ? ?a ? b ? 2

…………2 分

8

解得 ?

?a 2 ? 4 2 ?b ? 2
x2 y 2 ? ? 1. 4 2

…………3 分

∴椭圆的标准方程为

……………4 分

(2)证明:设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,由椭圆的标准方程为 可知 PF ? ( x1 ? 2)2 ? y12 ? ( x1 ? 2)2 ? 2 ? 同理 QF ? 2 ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

x12 2 ? 2? x1 , ……………5 分 2 2
……………6 分

2 x2 , 2

MF ? (1 ? 2)2 ? (

6 2 2 , ) ? 2? 2 2
2 2 ) ? 4? ( x1 ? x2 ) , 2 2

……………7 分

2 MF ? PF ? QF ,? 2(2 ?
? x1 ? x2 ? 2 .
(ⅰ)当 x1 ? x2 时,由 ?

……………8 分

? x12 ? 2 y12 ? 4 ?x ? 2 y ? 4
2 2 2 2

得 x12 ? x22 ? 2( y12 ? y22 ) ? 0 ,

?

y1 ? y2 1 x ?x ?? 1 2 . x1 ? x2 2 y1 ? y2 y1 ? y2 1 , ?? x1 ? x2 2n
……………11 分 ……………12 分

设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由 k PQ ?

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n ? 2n( x ? 1) ,

1 ?(2 x ? 1)n ? y ? 0 , 该直线恒过一定点 A( , 0) . 2
(ⅱ)当 x1 ? x2 时, P (1, ?

6 6 6 6 ) , Q (1, ) 或 P (1, ) , Q (1, ? ), 2 2 2 2
1 2

线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A( , 0) . 综上,线段 PQ 的中垂线过定点 A( , 0) . (2)问【解法二】 (ⅰ)若 PQ 斜率存在时: 设 PQ 直线为 y ? kx ? b

1 2

……………14 分

9

? y ? kx ? b ? 联立 ? x 2 y 2 ,消 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 4 ? 0 ……………5 分 ?1 ? ? ?4 2
?4kb ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则: ? 2 ? x ? x ? 2b ? 4 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
由于 | PF | ? | QF |? 2 | MF | 且 x1 ?[?2, 2], x2 ?[?2, 2] 所以 | PF |? 2 ?

(3)
……………6 分

(4)

2 2 x1 , | QF |? 2 ? x2 2 2

又因为 | MF |? e ? xM ? a ,其中 e ?

2 2 , a ? 2, xM ? 1 ,故 | MF |? 2 ? 2 2
………………8 分

可得 x1 ? x2 ? 2 ,从而 y1 ? y2 ? 2k ? 2b 由(3)式及 x1 ? x2 ? 2 得 b ? 所以直线 PQ 的中垂线为 y ? 化简得 y ? ?

1 ? 2k 2 ?2k

y1 ? y2 1 ? (x ? x ) ? ? ? ? x ? 1 2 ? ……………10 分 2 k? 2 ?
……………11 分

1 1 (x ? ) k 2 1 2

故:直线 PQ 的中垂线过定点 A( , 0) (ⅱ)若 PQ 斜率不存在时:同解法一。

……………12 分 ……………14 分

21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

a ? ?1 ? a ? x ? b , x

……………2 分

由曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率为 f ? ?1? ? 0 ,得 f ? ?1? ? 0 ,………3 分 即 a ? ?1 ? a ? ? b ? 0 , b ? 1 . (Ⅱ)由 b ? 1 ,得 x ??1, ?? ? . x ??1, ?? ? ……………4 分

?

?

f ?? x? ?

1 ? a ? x 2 ? x ? a ? x ? 1? ? ? a ??1 ? a ? x ? a ? ? (a ? 1) ? ?1 ? a ? x ? 1 ? ? x x x
a a 2a ? 1 ?1 ? . 且 1? a 1? a 1? a
10

………5 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ?

……………7 分

1 a ? 1 ,在 ?1, ?? ? 上, f ? x ? 为增函数, 时, 2 1? a a ?a ? 1 ?1 ? , ? f ? x ? ?min ? f ?1? ? 1 ? 2 2 ?a ? 1 a 2 ? 令 ,即 a ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 . ……………9 分 2 a ?1 1 a ? 1, ② 当 ? a ? 1 时, 2 1? a a a a x (1, ) ( , ? ?) 1? a 1? a 1? a
① 当a ?

f ? ? x?

?


0
极小值

?


f ? x?

? f ? x ??

min

a a2 a a ? a ? ?f? ? a ln ? ? ? ? 1 ? a 2 ?1 ? a ? a ?1 a ?1 ? 1? a ?
……………11 分

不合题意,无解. ③ 当 a ? 1 时,在 ?1, ?? ? 上, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数,

? f ? x ??
f ?1? ?

max

? f ?1? ?

1? a ?a ? 1 ?1 ? 2 2
……………13 分 ……………14 分

?a ? 1 a ? 恒成立,则符合题意. 2 a ?1

综上, a 的取值范围是 ? 2 ? 1, 2 ? 1

?

?

?1, ?? ? .

11


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