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4.1.1 圆的标准方程


课题 课型 教 学 目 标 重点 难点
新授课

4.1.1 圆的标准方程
课时
1

备课时间

知识与技能 过程与方法 情感态度 与价值观
圆的标准方程

1、 掌握圆的标准方程, 能根据圆心、 半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 进

一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形 结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培 养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习 数学的热情和兴趣。

会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程

教学方法
教学过程: (一)、情境设置: 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确 定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二 元一次方程来表示,那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什 么特征呢? 探索研究: (二)、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、 r 都是常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自 己 列 出 ) P={M||MA|=r}, 由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点 M 适 合 的 条 件
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r
2


2 2

化简可得: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r



引导学生自己证明 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 (三)、知识应用与解题研究 例 1. (课本例 1)写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长等于 5 的圆的方程,并判断点

M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。
分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:

(1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 解:

例 2. (课本例 2) ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆 的方程. 师生共同分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接 圆.从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 确定 a、b、r 三个参数. 解: 可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法

例 3. (课本例 3)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 【分析】 如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和
B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等, 所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上,

又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 解:

4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例 2、例 3 可得出圆的标准方程 的两种求法: ①、 根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 的值,写出圆 的标准方程. ②﹑根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆 的标准方程. (四)、课堂练习(课本 P120 练习 1,2,3,4) 归纳小结: 1、圆的标准方程。 2、点与圆的位置关系的判断方法。 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。 作业布置:课本 p124 习题 4.1A 组第 2,3,4 题.

教 学 反 思


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