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湖南省常德市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


(时量:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题目要求) 1.集合 A ? ?1.2? 的所有子集个数为 ( A.1
3 4

) D.4

B.2
1

C.3 )

? 64 ? 2 2.计算 16 -8 ? ? ? 的结果是( ? 49 ?
A. 1 B. ?2

C. 15

D. ?

8 7
) D. ? y|y ? 0?

3.若集合 M ? y|y=3 A. ? y | y ? 1?

?

x

?, N =?y | y ?

x ? 1 ,则 M ? N ? (
C. ? y|y ? 0?

?

B. ? y|y ? 1?

4.函数 y ?

log3 ? x ? 2? x ?1

的定义域为(

) C. ? ?1,1? ? ?1, ??? D. ? ?2, ?1?

A. ? ?2,1? ? ?1, ???

B. ? ?1,1? ? ?1, ???

5.设 a ? 30.5 , b ? 0.53 , c ? log0.5 3 ,则 a、b、c 的大小关系( ) A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. b ? c ? a
2

D. c ? b ? a )

6.使函数 f ? x ? ? x 与 g ? x ? ? ?x ? 2x 都是增函数的区间可以是( A. ?0,1? B. ? ??,1? C. ? ??,0?
x

D. ? 0, 2?

7.已知函数 g ? x ? 与 f ? x ? ? a 的值为( ) A.4

? a ? 0, a ? 1? 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g ? 2 ? ? g ? ?
C.1 D.0

1? ? ?2?

B.2

x 8.设 f ? x ? 为 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? x ? a( a 为常数) , 则 f ? ?1? ? (



A.2

B. -2

C.

3 2

D. ?

3 2

9.若函数 f ? x ? 是偶函数,且在 ?0, ??? 上是减函数,则满足 f ? lg x ? ? f ?1? 的 x 的取值范围 是( ) A. ?

? 1 ? , 1? ? 10 ?

B. ?

?1 ? , 10 ? ? 10 ?

C. ? 0, ? ? ?1 , +? ?

? 1? ? 10 ?

D. ? 0,1? ? ?10, +??

10.已知函数 f ? x ? ?

3 ? mx ? m ? 2 ? 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 m 的取值范围是() m?2
B. ? 0, 2 ? C. ? 2,3? D. ? ??,0? ? ? 2,3?

A. ? ??,0? ? ? 0,2?

11. 设集合 A ? ?1,2,3?, B ? ??1,0,1? ,则从 A 到 B 所建立的映射 f :A ? B 中,满足

f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? 的个数是(
A.2 12.已知函数 f ? x ? ? log 2 A. ? B.6

) C.7 D.27 )

1? x 1 ? a +b ? ,若 f ? ?b ? ? , f ? ? ? 1,则 f ? a ? 的值为( 1? x 2 ? 1 ? ab ?
B. 0 C.

1 2

1 2

D.

3 2

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题共 5 分,共 20 分)
2 ? ? x ? 1 ? x ? 0? 13.已知函数 f ? x ? ? ? , 则满足 f ? x ? =5 的 x 的取值是____________. ? ? ?2 x ? x ? 0 ?

14.已知 lg 2 ? a,10 b ? 3 ,用 a、 b 表示 log12 5 =____________. 15.若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? +2 f ? 16.已知函数 y ? e
ln x

?1? ? ? 3x ,则 f ? 2? ? ___________. ? x?

? x ? 2 与 y ? ax 的图像有 3 个不同的公共点(其中 e 为自然对数的底

数) ,则实数 a 的取值范围是_______________. 三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分,要求写出解答过程) 17.(共 10 分) (1)若 a ? a
?1

1

? 4 ,求 a 2 ? a 2 的值;

?

1

lg a ?lg b ? (2)已知 lg a ? lg b ? 2,

1 ? a? ,求 ? lg ? 的值. 2 ? b?

2

18.(共 12 分)设集合 A=?x | a ? 3 ? x ? a ? 3? , B ? x | x ? ?1或x ? 3 . (1)若 a ? 3 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B =R ,求实数 a 的范围.

?

?

19.(共 12 分)已知函数 f ? x ? ? a

3 x ?1

?1? , g ? x? ? ? ? ?a?

5 x ?2

,且a ? 1 . ,其中 a ? 01

(1)若 0 ? a ? 1 ,求满足 f ? x ? ? 1的 x 的取值范围; (2)求关于 x 的不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集. 20.(共 12 分)已知全集

U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ? x | x 2 ? 5 x ? q ? 0? , B ? ? x | x 2 ? px ? 12 ? 0? .
(1)若 q ? 4 ,试求全集 U 中的集合 A 的补集 Cu A ; (2) 若 ?CA u

B ??

?? 5 4 3 ,1

2 求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 2 ? p ? q ? , x ? ??5, ??? 的最小值. ?,

21.(共 12 分)已知幂函数 f ? x ? 的图像经过 函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? . (1)分析函数 f ? x ? 的奇偶性;

?

2015, 2015 ,函数 g ? x ? ?

?

m ( m 为常数) , x

(2)若 h ? x ? 在区间 ?1 , +?? 上递增,试求 m 的取值范围. 22.(共 12 分)设 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? log a 的定义域分别为集合 A,B,若将 A ? B ? D . (1)试求函数 f ? x ? 在 D 上的单调性; (2) 若 ? m,n ? ?D , 函数 f ? x ? 在 求 a 的取值范围. ?m, n? 上的值域恰好为 ? ? g ? n ? , g ? m ?? ?,

x?3 ,g ? x ? ? 1 ? log a ? x ?1 ? ,两函数 x?3

常德一中 2015 下学期高一段考试卷 数学(参考答案) 一、选择题(本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题目要求) 1.D 7.D 2.A 8.B 3.C 9.B 4.C 10.D 5.D 11.C 6.A 12.D

12 题.解析: 易知 f ? x ? 为奇函数, f ? b ? ? ? , f ?

1 2

? a?b ? ? 1? 3 ? ? f ? a ? ? f ?b ? , f ? a ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ab ? ? 2? 2

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题共 5 分,共 20 分) 13. ?2 16 题.解析:

14.

1? a 2a ? b

15. ?1

16. ? 0,1?

? ln x ? 0 ? x ? 1,? y ? e

ln x

? eln x ? x ? 2 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2 ? ?eln x ? x ? 2 ?1 ? x ? 2 ? , ? e? ln x ? x ? 2 ? x ? 1? ?

? ? 2 ? x ? 2? ? 即 y ? ? 2 x ? 2 ?1 ? x ? 2 ? , 作图分析可知, a ? ? 0,1? ? 1 ? ? x ? 2 ? x ? 1? ? x

三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分,要求写出解答过程)

17.解析:

1 ? ? ? 1 (1)? a 2 ? a 2 ? =a ? a ?1 ? 2 ? 6,? a ? a ?1 ? 6 --------------------------------4 分 ? ?

2

(2) ? lg

? ?

a? 2 2 lg b ? ? ? lg a ? lg b ? ? ? lg a ? lg b ? ? 4lg a? b?

2

1 =4-4 ? =2 2
---------------------------------------------------------------------------------------10 分 18.解析: (1)若 a ? 3 ,则 A ? ?x | 0 ? x ? 6? , 故 ------------------------------------------6 分 (2)若 A ? B ? R ,则

A ? B ? ?x | x ? ?1或x ? 0?

?a ? 3 ? ?1 , ? ? a?3?3







0?a?2

-------------------------------------------12 分 19.解析: (1) f ? x ? ? 1 ? a 而
3 x?1

? 1 ? a0
, 故

0 ? a ?1

3x ? 1 ? 0, 得x ? -

1 3

------------------------------------------5 分 ( 2 )

f ? x? ? g ? x? ? a

3 x ?1

?1? ?? ? ?a?

5 x ?2

? a 2 ?5 x .

------------------------------------------8 分 当 0 ? a ? 1 时,有 3x ? 1 ? 5 x ? 2 ? x ? 故当 0 ? a ? 1 时,解集为 ? x|x ?

3 3 ,当 a ? 1 时,有 3x ? 1 ? 5 x ? 2 ? x ? 2 2

? ?

3? 3? ? ? ;故当 a ? 1 时,解集为 ? x | x ? ? .------------12 分 2? 2? ?

20.解析: (1)若 q ? 4, 则 A ? ?1,4? , Cu A ? ?2,3,4?; ----------------------------4 分 (2)由已知 2 ? B, 2 ? A ,故 2 -5 ? 2+q=0, ? q=6 ------------------------------6 分
2

A ? ?2,3?, Cu A ? ?1.,4,5? ,故 3 ? B,?32 ? 3 p ? 12 ? 0 ? p ? ?7 ? p ? q ? ?1 ---8 分

? f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2, x ? ??5, ??? ,其图像为抛物线,对称轴为直线 x ? ?a
当 ? a ? ?5 ,即 a ? 5 时, f ? x ? 在 ? ?5, ?? ? 上递增, f ? x ?min ? f ? ?5? ? 27 ? 10a;
2 当 ? a ? ?5 ,即 a ? 5 时, f ? x ?min ? f ? ?a ? ? 2 ? a ,
2 综上,当 a ? 5 时, f ? x ?min ? 27 ? 10a; 当 a ? 5 时, f ? x ?min ? 2 ? a ------------12 分

21.解析: (1) f ? x ? ? x ,? 为常数,则有
?

?

2015

?

?

=2015,? =2

? f ? x ? ? x2 , h ? x ? ? x2 ?

m ----------------------------------------------3 分 x

当 m ? 0 时, h ? x ? 为偶函数; 当 m ? 0 时, h ? x ? 为非奇非偶函数;---------------------------------------6 分
2 (2) h ? x ? ? x ?

m ,任取 1 ? x1 ? xz , 则 x

h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? x12 ?

x ?x m ? 2 m? ? ? x1 ? ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? m? 2 1 x1 ? x2 ? x1 x2

? ? x1 ? x2 ??x1 x2 ? m -----------------------8 m ? ? ? x1 ? x2 ? ?? x1 +x 2 ? ? ?*? ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 x2 ? x1 x2 ?
分 由已知,应 ?*? ? 0 恒成立,又 x1 ? x2 ? 0 ,故有

? x1 ? x2 ??x1 x2 ? m ? 0 ? m ? ? x1 ? x2 ??x1 x2 ? m
--------------------------10 分 而在区间 ?1 , +?? 上, ? x1 ? x2 ??x1 x2 ? ?1 ? 1? ?1?1 ? 2 , 故 m ? 2 为所求.--------------------------12 分







.

22.解析: (1) A ? x | x ? ?3或x>3 , B ? ?x | x ? 3? ,故 D ? ? 3, ??? -------------3 分 令t ?

?

?

x?3 6 ? 1? ,任取 3 ? x1 ? x2 ,则 x?3 x?3

t1 ? t2 ?

? x1 ? 3?? x2 ? 3?

6 ? x1 ? x2 ?

? 0 ,故 t 在 ? 3, ??? 上递增,

? 当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 D 上递增;



0 ? a ?1









f ? x?



D









---------------------------------------------------------------6 分


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