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江苏省涟水中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


涟水中学 2014—2015 学年度第二学期高二期中测试 数 学 试 题

注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页, 包含填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题纸交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名

、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

V ?
参考公式:锥体体积公式为

1 Sh 3 ,柱体体积公式为 V ? Sh ,其中 S 为底面积,h 为高

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. ) 1.已知集合 A ? ?? 2,?1,0,1?,集合

B ? ? x | ?1,1, 2,3?

,则 A ? B =





y?
2.抛物线

1 2 x 4 的准线方程是





3. 已知复数

z?

3?i 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为





4.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? x 2 ?

1 x ,则 f (?1) ?

▲ ▲

. .

5.已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为 2 6.已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2, 2 ),则 f(x)= ▲ .

7.设 a∈R , 则 “a=1” 是 “直线 l1: ax+2y=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行的 ▲ “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要”) 8. 某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目: “在平面直角坐标系

条件. (填

xoy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 1 的左顶点为 A ,过点 A 作两条斜

率之积为 2 的射线与椭圆交于 B , C ,??”

1 ? 2k 2 2k 5 B( , ) D(? ,0) 2 2 3 ,?? ②解:设 AB 的斜率为 k ,??点 1 ? 2k 1 ? 2k ,
据此,请你写出直线 CD 的斜率为 ▲ . (用 k 表示)
-1-

9. 已知 A(3,1), B(-1,2), 若∠ACB 的平分线方程为 y=x+1, 则 AC 所在的直线方程为 10.设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β. 其中真命题的序号是 ▲ . x2 y2 11.如图,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆a2+b2=1 b>0)的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也过焦点 F, 该椭圆的离心率为 ▲ . O y F x





(a> 则

? (3a ? 1)x ? 4a , x ? 1 f ( x) ? ? x ? a (a ? 0且a ? 1), x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, 12.已知 么 a 的取值范围是 ▲ .



13.若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(-1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N 坐标为 (3,3),则线段 MN 长度的最小值是 ▲ . 14. 已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(ex)<0 的 x 的取值范围 为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已 知 命 题 P: 函 数
2 (a ? 2 ) x ? 2a(?

y ? l o ag x (? 2 2 x? )

在 定 义 域 上 单 调 递 增 ; 命 题 Q: 不 等 式

1)

? 4 0 x 恒成立,若 P、Q 都是真命题,求实数 a 的取值范围. 对任意实数

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P‐ABCD 中, 四边形 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. 求证: (1)PB∥平面 AEC; P (2)平面 PCD⊥平面 PAD. E A B C
-2-

D

17. (本小题满分 15 分) 已知圆 M 的方程为 x2+(y-2)2=1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA、PB,切点为 A、B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C、D 两点,当 CD= 2时,求直线 CD 的方程; (3)经过 A、P、M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若 不经过,请说明理由.

18.(本小题满分 15 分) 现有一个以 OA、OB 为半径的扇形池塘,在 OA、OB 上分别取点 C、D,作 DE∥OA、CF∥OB 交弧 AB 于点 E、F,且 BD = AC,现用渔网沿着 DE、EO、OF、FC 将池塘分成如图所示的三种
?AOB ? π ?EOF ? ? (0 ? ? ? π ) 2, 2 . 的养殖区域.若 OA=1km,

(1)求区域Ⅱ的总面积; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是 15 万元、20 万元、10 万元,记 年总收入为 y 万元. 试问当 ? 为多少时,年总收入最大? B D Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ

E

F

19. (本小题满分 16 分)

O C A x2 y 2 6 1 , + = 1( a > b > 0) ( 第 18 题 ) 2 2 ,其左右焦点分别 b2 在平面直角坐标系 xOy ,已知椭圆 E : a 过点

?

?

2 为 F1 , F2 ,离心率为 2 .

-3-

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 A , B 分别是椭圆 E 的左右顶点,动点 M 满足 MB ? AB ,且 MA 交椭圆 E 于点 P . ??? ? ???? ? ①求证: OP ? OM 为定值; ②设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q ,问直线 MQ 是否过定点,并说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数

f ( x) ? a ln x ? ( x ? c) x ? c

,a ? 0 ,c ? 0 .

(1)当

a??

1 3 c? 4 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4,

(2)当

c?

a 1 ?1 f ( x) ≥ 2 时,若 4 对 x ? (c, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

( 3 )设函 数 f ( x) 的图 象在点 P ( x1 , f ( x1 )) 、 Q( x2 , f ( x2 )) 两 处的 切线分别 为 l1 、 l2 . 若

x1 ? ?

a 2 , x2 ? c ,且 l1 ? l2 ,求实数 c 的最小值.

-4-

涟水中学高二第二学期期中数学(选修历史)参考答案 一、填空题: 1. { -1,1 } 2. y=-1 3. -1 4.-2. 5. 3 39 6. x
? 1 2

7.充分不必要条件

3k 2 8. 2k ? 4

9. x-2y-1=0

10.④

11. 2-1

1 1 [ , ) 12. 6 3

13. 5 -

2

14.(0,1)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.解∵命题 P 函数

y ? loga (2 x ? 1) 在定义域上单调递增;
2

∴a>1??????????????????????????4 分 又∵命题 Q 不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立; ∴ a ? 2 ???????????????????????????6 分
a?2?0 ? ? 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0



, ???????????????10 分

即 ?2 ? a ? 2 ???????????????????????12 分 ∵P、Q 都是真命题, ∴ a 的取值范围是 1<a ? 2 ? ??????? ????????14 分 P E A B
(第 16 题图)

16.(1)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO .

? 四边形 ABCD 为正方形, O 为 BD AC 交点 ? O 为 BD 中点,……………………………………………2 分
又 E 为 PD 中点,

D C

? EO ? PB ,…………………………………………………4 分
又? EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,

? PB ? 平面 AEC .………………………………7 分
(2)证明:因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD .………9 分 因为在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A ,AD、PA 在平面 PAD内

-5-

所以 CD ? 平面 PAD . ……………………………………………………………12 分 又因为 CD ? 平面 PCD ,所以平面 PCD ? 平面 PAD.………………………14 分 17.解:(1)设 P(2m,m), 由题可知 MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4, 4 解之得:m=0 或 m=5, 8 4 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P(5,5).………………………………………………5 分 (2)设直线 CD 的方程为:y-1=k(x-2),易知 k 存在, 2 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 2 , 2 |-2k-1| 所以 2 = ,( 7 分) 1+k2 1 解得,k=-1 或 k=-7, 故所求直线 CD 的方程为:x+y-3=0 或 x+7y-9=0.…………………………10 分 m (3)设 P(2m,m),MP 的中点 Q(m, +1),因为 PA 是圆 M 的切线 2 所以经过 A、P、M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, m m 故其方程为:(x-m)2+(y- -1)2=m2+( -1)2 2 2 化简得:x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于 m 的恒等式,
?x2+y2-2y=0, ?x=0 故? 解得? 或 2x + y - 2 = 0 ? ?y=2

?x=5 ? 2. ?y=5
4

4 2 所以经过 A、P、M 三点的圆必过异于点 M 的定点(5,5).………………………15 分 18. 解:(1)因为 BD ? AC,OB ? OA ,所以 OD ? OC .

因为

?EOF ?

π 2 ,DE∥OA,CF∥OB,

所以 DE ? OB,CF ? OA . 又因为 OE ? OF ,所以 Rt ?ODE ≌ Rt ?OCF .

1 π ?DOE ? ?COF,?COF ? ( ? ? ) 2 2 所以 . 1 π OC ? OF ? cos ?COF ? cos[ ( ? ? )] 2 2 所以 .

………………………………2 分

-6-

所以

S?COF ? 1 ? OC ? OF ? sin ?COF ? 1 cos ? 2 4 ,

1 π S区域II = cos? (0 ? ? ? ) 2 2 . 所以 ,

…………………………………6 分 1 π 1 1 S区域I ? ? S区域III ? S总 ? S区域I ? S区域II ? ? ? ? cos? 2 ,所以 4 2 2 (2)因为 . 1 1 π 1 1 y ? 15 ? ? ? 20 ? cos? ? 10 ? ( ? ? ? cos? ) 2 2 4 2 2 所以

5 5 π ? π ? ? ? 5cos? , (0 ? ? ? ) 2 2 2 , …………………………………10 分 5 π y? ? (1 ? 2sin ? ) ?= ? y =0 2 6 . …………………………………12 分 所以 ,令 ,则


0 ?? ?

π π π ?? ? ? y ? 0 6 时, 2 时, y ? ? 0 . ,当 6

π 6 时,y 有最大值. 故当 π ? 答:当 为 6 时,年总收入最大.

?=

…………………………………15 分

3 ? ? 1 ? 2 ? 1, ? 2 b2 ?a 2 ? ?a ? 4, ?c 2 ? 2 ? ? 2 , 2 2 2 ?b ? 2, 19. 解: (1)易得 ? a 且 c ? a ? b ,解得 ?

x2 y 2 + =1 2 所以椭圆 E 的方程为 4 ;
y0 ) , P( x1, y1 ) , (2)设 M (2,

…………………………4 分

①易得直线 MA 的方程为:

y?

y0 y x? 0 4 2 ,

y2 y2 y2 x2 y 2 1 ? 0 x2 ? 0 x ? 0 ? 4 ? 0 + =1 8 2 2 2 代入椭圆 4 得, ,

?

?

?2 x1 ?
由 所以

4 ? y0 2 ? 8? y0 ? 8
2

x1 ?
得,

?2 ? y0 2 ? 8? y0 ? 8
2

y1 ?

,从而

8 y0 y0 2 ? 8



??? ? ???? ? ? ?2 ? y02 ? 8? 8 y0 ? ?4 ? y02 ? 8? 8 y02 OP ? OM ? ? , ? (2 , y ) ? ? ?4 0 2 y02 ? 8 ? y02 ? 8 y02 ? 8 ? y0 ? 8 ? ,………………10 分

0) ②直线 MQ 过定点 O(0, ,理由如下:

-7-

k PB
依题意,

8 y0 2 y0 ?8 2 ? ?? 2 ?( 2 y0 ? 8) y0 ?2 2 y0 ? 8



y kMQ ? 0 MQ ? PB 2 , 由 得, y y y ? y0 ? 0 ( x ? 2) y? 0 x MQ 2 2 , 则 的方程为: ,即
0) . ……………………………………………………16 分 所以直线 MQ 过定点 O(0,

? 2 x 2 ? 2cx ? a , x ≥ c, ? ? x f '( x ) ? 2 ? ? 2 ?a ln x ? ( x ? c) , x ≥ c, ? ?2 x ? 2cx ? a , x ? c f ( x) ? ? 2 ? ? x ?a ln x ? ( x ? c) , x ? c ,求导得 ? 20.解:函数 . ?8x2 ? 2 x ? 3 1 , x≥ , ? ? 4x 4 f '( x) ? ? 2 1 3 ? ?8 x ? 2 x ? 3 , x ? 1 c? a?? ? 4x 4, ? 4 时, 4, (1)当



x?

1 1 ?8 x 2 ? 2 x ? 3 (0, ) f '( x) ? ?0 f ( x ) 4 ,则 4x 恒成立,所以 在 4 上单调减;



x≥

1 (2 x ? 1)(4 x ? 3) 3 1 f '( x) ? x? x?? f '( x ) ? 0 4 ,则 4x 4或 2 (舍) ,令 ,解得 ,

1 3 1 3 ≤x? [ , ) 4 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 4 4 上单调减; 当4 x? 3 3 ( , ??) f '( x ) ? 0 f ( x ) 4 时, , 在 4 上单调增. 3 3 (0, ) ( , ??) 4 ,单调增区间是 4 . ??????4 分



所以函数 f ( x) 的单调减区间是

(2)当 x ? c ,

c?

a a ( x ? 1)(2 x ? a) ?1 c ? ?1?1 f '( x) ? 2 时, 2 x ,而 ,所以

当 c ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (c,1) 上单调减; 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调增.

-8-

所以函数 f ( x) 在 (c, ??) 上的最小值为

f (1) ?

a2 4 ,

a2 1 ≥ 4 恒成立,解得 a ? ?1 或 a ? 1 , 所以 4

又由

c?

a ?1 ? 0 2 ,得 a ? ?2 ,所以实数 a 的取值范围是 (?2, ?1] . ?????9 分

a a c a f '( ? ) f '(c) ? ?1 f '( ? ) ? ? f '(c) ? 2 2 a, c ,则 (3)由 l1 ? l2 知, ,而
a a 2(? ) ? 2c ? ? a a 2 2 f '( ? ) ? ? ?2c 2 a a c ? ?c ? ?2c ? ? 2 2 a, 若 ,则 ,所以

解得

a?

1 2 ,不符合题意;

???????????11 分

?


a ?c 2 ,则
c?

a f '( ? ) ? 2

a a ?2(? ) ? 2c ? ? a c 2 2 ? ? ?8a ? 2c ? ? a a ? 2 ,

整理得,

1 a ?8a a?? 2, 2a ? 1 ,由 c ? 0 得,
?

??????????13 分

t2 ?t t3 8 c ? ? t2 t2 2t 2 ? 8 a?? ? ?1 8 , t ? 2 ,所以 4 令 ?8a ? t ,则 ,

2t 2 (t 2 ? 12) t3 g '( t ) ? g (t ) ? 2 (2t 2 ? 8) 2 , 2t ? 8 ,则 设
当 2 ? t ? 2 3 时, g '(t ) ? 0 , g (t ) 在 (2, 2 3) 上单调减; 当 t ? 2 3 时, g '(t ) ? 0 , g (t ) 在 (2 3, ??) 上单调增.

所以,函数 g (t ) 的最小值为

g (2 3) ?

3 3 3 3 2 ,故实数 c 的最小值为 2 . ??16 分

-9-


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