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第六章 6.2一元二次不等式及其解法


第六章 不等式

§6.2 一元二次不等式及其解法

内容 索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.“三个二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac
二次函数

Δ>0

Δ=0

Δ<0

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根x1,
x2(x1<x2)

b -2a 有两相等实根x1=x2=

没有实数根

ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

{x|x<x1或x>x2}

b -2a } {x|x≠

{x|x∈R}

{x|x1< x<x2}

?

?

答案

2.常用结论

(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法
不等式 (x-a)· (x-b)>0 (x-a)· (x-b)<0 解集 a<b {x|x<a 或x>b} {x|a<x<b} a =b {x|x≠a} a>b {x|x<b或 x>a}

?

{x|b<x<a}

口诀:大于取两边,小于取中间.
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ ) x-2 (2)不等式 ≤0 的解集是[ -1,2].( × ) x+1 (3)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+ bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ ) (4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解 集为R.( × ) (5) 不 等 式 ax2 + bx + c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ = b2 - 4ac≤0.( × )
答案

2

考点自测
1.不等式x2-3x-10>0的解集是( D )

A.(-2,5)
C.(-∞,-2)

B.(5,+∞)
D.(-∞,-2)∪(5,+∞)

解析

解方程x2-3x-10=0得x1=-2,x2=5,

由y=x2-3x-10的开口向上,所以x2-3x-10>0的解集为(-∞,

-2)∪(5,+∞).

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解析答案

2.设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于( B )

A.(0,4]
C.[-1,0)

B.[0,4)
D.(-1,0]

解析

∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},

∴M∩N=[0,4).

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解析答案

3.已知不等式 ax -bx-1≥0
2

? 1 1? ? ? - ,- 的解集是? 2 ?,则不等式 3 ? ?

x -bx-
2

a<0 的解集是( A.(2,3)
?1 1? ? ? , C.?3 2? ? ?

) B.(-∞,2)∪(3,+∞)
? ?1 ? 1? ? ? ? ? - ∞ , ,+ ∞ D.? ?∪? ? 3 2 ? ? ? ?

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解析答案

4. 若关于 x 的不等式 m(x - 1)>x2 - x 的解集为 {x|1<x<2} ,则实数 m 的值 为________. 2 解析 因为m(x-1)>x2-x的解集为{x|1<x<2}. 所以1,2一定是m(x-1)=x2-x的解,∴m=2.

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解析答案

5.若关于x的方程x2 +ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围 (-1,1) 为________. 解析 由题意可知,Δ>0且x1x2=a2-1<0,故-1<a<1.

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解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

一元二次不等式的求解

命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式-2x2+x+3<0的解集. 解 化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,
2

3 解方程 2x -x-3=0 得 x1=-1,x2=2,
3 ∴不等式 2x -x-3>0 的解集为(-∞, -1)∪(2, +∞),
2

3 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
解析答案

命题点2 含参不等式 例2 解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0. 解 由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0, ∴x1=a,x2=1,

①当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1<x<a},
②当a=1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为?,

③当a<1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|a<x<1}.

解析答案

引申探究
将原不等式改为ax2-(a+1)x+1<0,求不等式的解集.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.

解析答案

题型二

一元二次不等式恒成立问题
在 R 上恒成立
2

命题点 1 例3

3 (1)若一元二次不等式 2kx +kx-8<0 对一切实数 x 都成立,则 k 的 ) B.[-3,0) D.(-3,0)

取值范围为( A.(-3,0] C.[ -3,0]

解析答案

(2)设a为常数,任意x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是( B ) A.(0,4) C.(0,+∞)
解析

B.[0,4) D.(-∞,4)

? ?a>0, 2 任意 x∈R,ax +ax+1>0,则必有? 或 a 2 ? ?Δ=a -4a<0

=0,∴0≤a<4.

解析答案

命题点2 在给定区间上恒成立 例4 设函数f(x) = mx2 - mx- 1.若对于x∈[1,3] , f(x)<- m+ 5 恒成立, 求m的取值范围.

解析答案

命题点3 给定参数范围的恒成立问题 例5 对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于 x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立, {x|x<1或x>3} 零,则x的取值范围是____________. 解析 即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0, 在k∈[-1,1]时恒成立.
2 ? x ? -5x+6>0, 只需 g(-1)>0 且 g(1)>0,即? 2 ? ?x -3x+2>0,

解之得x<1或x>3.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
(1) 若不等式 x2 - 2x + 5≥a2 - 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值 范围为( A ) A.[-1,4] C.(-∞,-1]∪[4,+∞) 解析 B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5]

x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,

所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立, 只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.

解析答案

(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0 2 (- 2 ,0) 成立,则实数m的取值范围是___________. 解析 作出二次函数 f(x) 的草图,对于任意 x∈[m , m + 1] ,都有
f(x)<0,
? ?f?m?<0, 则有? ? ?f?m+1?<0,
2 2 ? m + m -1<0, ? 2 ? 即 解得- 2 <m<0. 2 ? ??m+1? +m?m+1?-1<0,

解析答案

题型三

一元二次不等式的应用



? ? 8 ? x? ? ? ? ? 由题意得,y=100?1-10?· 100?1+50x?. ? ? ? ?
? x? ? ? 1 - 100? ?-80≥0. 10 ? ?

因为售价不能低于成本价,所以

所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为x∈[0,2].
解析答案

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
解 由题意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,
2

1 13 化简得 8x -30x+13≤0.解得2≤x≤ 4 .
所以 x
?1 ? ? , 2 的取值范围是? ? ?. 2 ? ?

思维升华

解析答案

跟踪训练3
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/ 辆,出厂价为 12万元 /

辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,
适度增加投入成本 . 若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1) ,则出厂

价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知
年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
解 y=[(1+0.75x)×12-(1+x)×10]×(1+0.6x)×10 000

=-6 000x2+2 000x+20 000,
即y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1).
解析答案

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 解 上年利润为(12-10)×10 000=20 000. ∴y-20 000>0,即-6 000x2+2 000x>0,
1 1 ∴0<x<3,即 x 的范围为(0,3).

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

12.转化与化归思想在不等式中的应用

典例

(1)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于

x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

思维点拨

考虑“三个二次”间的关系;

思维点拨

解析答案

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x2+2x+a (2)已知函数 f(x)= ,若对任意 x ∈ [1 ,+ ∞ ) , f ( x )>0 恒成立,则 x 实数 a 的取值范围是________.

思维点拨

将恒成立问题转化为最值问题求解.

温馨提醒

思维点拨

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.“ 三个二次 ” 的关系是解一元二次不等式的理论基础,一般可把

a<0时的情形转化为a>0时的情形.
2.f(x)>0的解集即为函数y=f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合,

充分利用数形结合思想.
3. 简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行

求解.

失误与防范

1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形. 2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集为R还是?,要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.

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练出高分

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1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( A ) A.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x<2} 解析 B.{x|x≤1或x≥2} D.{x|x<1或x>2}

由(x-1)(2-x)≥0可知(x-2)(x-1)≤0,

所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.

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? ?x+2, 2.已知函数 f(x)=? ? ?-x+2,

x≤0, x>0,

则不等式 f(x)≥x2 的解集为(

)

A.[-1,1] C.[-2,1]

B.[-2,2] D.[-1,2]

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3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的取值范围是( D ) A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 解析 B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

由题意知a=0时,满足条件.

? ?a>0, a≠0 时,由? 2 ? ?Δ=a -4a≤0,

得0<a≤4,所以0≤a≤4.

解析答案

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4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不 等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( A ) A.-3 解析 B.1 C.-1 D.3 由题意,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2},

则不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2}. 由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2, 所以a+b=-3,故选A.

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5.设a>0,不等式-c<ax+b<c的解集是{x|-2<x<1},则a∶b∶c等于( A.1∶2∶3 C.3∶1∶2 B.2∶1∶3 D.3∶2∶1

)

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6.已知一元二次不等式 f(x)<0

? ? ? 1 ? ?,则 x | x < - 1 或 x > 的解集为? ? 2? ? ?

f(10x)>0 的解

{x|x<-lg 2} 集为________________.
解析 1 由已知条件 0<10 <2,
x

1 解得 x<lg 2=-lg 2.

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1 1 7.若不等式 ax +bx+2>0 的解集为{x|-2<x<3},则不等式 2x2+bx+a<0

{x|-2<x<3} 的解集是____________.
解析 1 1 由题意,知-2和3是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两根且 a<0,
? ?a=-12, 解得? ? ?b=-2.

? ?-1+1=-b, a ? 2 3 所以? ? 1 1 2 -2×3=a, ? ?

则不等式2x2+bx+a<0,即2x2-2x-12<0,
其解集为{x|-2<x<3}.
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? ? ax-1 ? 1 ? ? 8.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是?x|x<-1或x>-2? ,则实数 a= ? ? ? x+1

-2 ________.

解析

ax-1 <0?(x+1)(ax-1)<0, x+1

1 1 依题意,得 a<0,且a=-2.∴a=-2.

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2a-3 9.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= , a+1 2 (-1,3) 则实数 a 的取值范围是__________.

解析

∵f(x+3)=f(x),

∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1.
2a-3 3a-2 ∴ <-1? <0?(3a-2)(a+1)<0, a+1 a+1
2 ∴-1<a<3.
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10. 设二次函数 f(x) = ax2 + bx + c ,函数 F(x) = f(x) - x 的两个零点为 m ,
n(m<n).

(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
解 由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n).

当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,
即a(x+1)(x-2)>0.

当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};
当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.
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1 (2)若 a>0, 且 0<x<m<n<a, 比较 f(x)与 m 的大小.



f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),

1 ∵a>0,且 0<x<m<n<a,

∴x-m<0,1-an+ax>0.
∴f(x)-m<0,即f(x)<m.

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11.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),

则不等式f(-2x)<0的解集是(
3 1 A.(-∞,-2)∪(2,+∞) 3 1 B.(-2,2) 1 3 C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 1 3 D.(-2,2)

)

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12.若关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1= 15,则 a 等于( 5 A.2 15 C. 4 ) 7 B.2 15 D. 2

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13.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有 f(1 - x) = f(1 + x) 成立,当 x∈[ - 1,1] 时, f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围 C 是( ) B.b>2 D.不能确定 A.-1<b<0 C.b<-1或b>2 解析

由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,

a 则有2=1,故 a=2. 由f(x)的图象可知f(x)在[-1,1]上为增函数.

∴x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,

令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
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3 x 14.设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈[2,+∞),f(m)-4m2· f(x)≤f(x-1)+
2

4f(m)恒成立,则实数 m 的取值范围是________________.

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x+b 15.已知函数 f(x)= 2为奇函数. 1+x

(1)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; x+b 证明 ∵函数 f(x)= 2为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,即 b=0, 1+x
x ∴f(x)= 2 (经检验满足题意), x +1
?x2+1?-x· 2x 1-x2 ∴f′(x)= = 2 2 2 2. ? x +1 ? ?x +1?

当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
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(2)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0. 解 由f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0, 得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4). ∵f(x)是奇函数,∴f(1+2x2)>f(x2-2x+4). 又∵1+2x2>1,x2-2x+4=(x-1)2+3>1,且f(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴1+2x2<x2-2x+4,即x2+2x-3<0, 解得-3<x<1. ∴不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0的解集为{x|-3<x<1}.

解析答案

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