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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.1直线的方程教案 理 新人教A版


§9.1
2014 高考会这样考

直线的方程

1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等;考查过两

点的斜率公式;2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等);3.在直线与圆锥 曲线的关系问题中考查直线. 复习备考要这样做 1.理解数形结合的思想, 掌握直线方程的几种形式, 会根据已知条件求

直线方程;2.会根据直线的特征量画直线,研究直线性质.

1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为[0°,180°). (2)直线的斜率 ①定义: 一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示, 即 k=tan_α ,倾斜角是 90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 2. 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线

y2-y1 . x2-x1

y-y0=k(x-x0) y=kx+b

1

两点式

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0
(A +B ≠0)
2 2

不含直线 x=x1 (x1≠x2) 和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 平面直角坐标系内的直 线都适用

截距式

一般式

3. 过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1; (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为 x=0; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0. 4. 线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则

x +x ? ?x= 2 ? y +y ? ?y= 2
1 1

2

,此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

2

[难点正本 疑点清源] (1)直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α ≠90°时,k=tan α .直线都有倾斜角,但并不是每条 直线都存在斜率,倾斜角为 90°的直线无斜率. (2)①求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨 论.②在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论.

1. 若直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为___________. 答案 45°或 135° 解析 由|k|=|tan α |=1,知:k=tan α =1 或 k=tan α =-1.又倾斜角 α ∈[0°, 180°),∴α =45°或 135°. 2. 若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为__________. 答案 4

a-3 5-3 解析 由 = =1,得 a=4. 5-4 6-4
3. 过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案 x+y+1=0 或 4x+3y=0
2

4 解析 ①若直线过原点,则 k=- , 3 4 ∴y=- x,即 4x+3y=0. 3 ②若直线不过原点.设 + =1,即 x+y=a. ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0. 4. 直线 l 经过 A(2,1), B(1, m )(m∈R)两点. 则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________.
2

x y a a

? π ? ?π ? 答案 ?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?
解析 直线 l 的斜率 k=

m2-1
1-2

=1-m ≤1.

2

若 l 的倾斜角为 α ,则 tan α ≤1.

? π ? ?π ? 又∵α ∈[0,π ),∴α ∈?0, ?∪? ,π ?. 4? ?2 ? ?
5. 如果 A?C<0,且 B?C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过 A.第一象限 C.第三象限 答案 C 解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距- >0, 在 y 轴上的截距- >0, 故直 线经过一、二、四象限,不经过第三象限. B.第二象限 D.第四象限 ( )

C A

C B

题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 (1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为 ( A. 1 3 ) 1 B.- 3 D. 2 3

3 C.- 2

(2)直线 xcos α + 3y+2=0 的倾斜角的范围是 ( A.? )

?π ,π ?∪?π ,5π ? ? ? 6 ? ?6 2? ?2 ?

? π ? ?5π ,π ? B.?0, ?∪? ? 6? ? 6 ? ?
3

? 5π ? C.?0, ? 6 ? ?
答案 (1)B (2)B

D.?

?π ,5π ? 6 ? ?6 ?

思维启迪:斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础,范围可结合图形考虑.

解析 (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b), 则有?
?a+7=2 ? ?b+1=-2 ?

,解得 a=-5,b=-3,

-3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =- . 7+5 3 (2)由 xcos α + 3y+2=0 得直线斜率 k=- ∵-1≤cos α ≤1,∴- 3 3 ≤k≤ . 3 3 3 3 ≤tan θ ≤ . 3 3 3 cos α . 3

设直线的倾斜角为 θ ,则-

? π ? ?π ? 结合正切函数在?0, ?∪? ,π ?上的图象可知, 2? ?2 ? ?
π 5π 0≤θ ≤ 或 ≤θ <π . 6 6 探究提高 直线倾斜角的范围是[0,π ),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根

? π ? ?π ? 据斜率求倾斜角的范围时,要分?0, ?与? ,π ?两种情况讨论.由正切函数图象可以 2? ?2 ? ?
π ? π? ?π ? 看出当 α ∈?0, ?时, 斜率 k∈[0, +∞); 当 α = 时, 斜率不存在; 当 α ∈? ,π ? 2? 2 ? ?2 ? 时,斜率 k∈(-∞,0). 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直线 l:x+my+m =0 与线段 PQ 有交点,求实数 m 的取值范围. 解 如图所示,直线 l:x+my+m=0 过定点 A(0,-1),

3 当 m≠0 时,kQA= ,kPA=-2, 2

kl=- . m
1 1 3 ∴- ≤-2 或- ≥ , m m 2 1 2 解得 0<m≤ 或- ≤m<0; 2 3 当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点,

1

4

2 1 所以,实数 m 的取值范围为- ≤m≤ . 3 2 题型二 求直线的方程 例2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. 思维启迪:选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可. 解 (1)方法一 设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),

2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1,

x y a a

a a

∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 方法二 由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k,

k

2 2 由已知 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , k 3 ∴直线 l 的方程为

y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3),
即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)设所求直线的斜率为 k,依题意

2 3

k=- ?3=- .
又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1.

1 4

3 4

5

?x=1 ? 解方程组? ?2x+y-6=0 ?



求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为

y+1=k(x-1),
?2x+y-6=0 ? 解方程组? ?y+1=k? x-1? ?



k+7 ? ?x=k+2 得两直线交点为? 4k-2 ?y= k+2 ?

.

(k≠-2,否则与已知直线平行). 则 B 点坐标为? 由已知?

?k+7,4k-2?. ? ?k+2 k+2 ?

?k+7-1?2+?4k-2+1?2=52, ? ? ? ?k+2 ? ? k+2 ?

3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 探究提高 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用 条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的 直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式, 应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. △ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程. 解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 的方程为

y- 1
3- 1



x-2 ,即 x+2y-4=0. -2-2
(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y), 2-2 1+3 则 x= =0,y= =2. 2 2
6

BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线方程为
即 2x-3y+6=0.

+ =1, -3 2

x

y

1 (3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由点斜式得直线 DE 的方程 2 为 y-2=2(x-0), 即 2x-y+2=0. 题型三 直线方程的综合应用

例3

已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点), 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. 思维启迪:抓住直线过定点这个特征,找直线不经过第四象限的条件,表示△AOB 的面 积,然后求最值. (1)证明 直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
? ?x+2=0 令? ?1-y=0 ?

,解得?

? ?x=-2 ?y=1 ?



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)解 由方程知, 当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- , 在 y 轴上的截距为 1+2k,

k

1+2k ? ?- ≤-2 k 要使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1 解之得 k>0; 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.



? 1+2k,0?,B(0,1+2k). (3)解 由 l 的方程,得 A?- ? ?
k

?

1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ?1+2k? ∵S= ?|OA|?|OB|= ?? ??|1+2k| 2 2 ? k ?

7

1 ? 1+2k? = ? 2 k

2

1 ? 1? = ?4k+ +4? k ? 2?

1 ≥ ?(2?2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时 l 的方程为:x-2y+4=0. 探究提高 利用直线方程解决问题,要灵活选用直线方程的形式:一般地,已知一点通 常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.

8

已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分 别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直 线 l 的方程. 解 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), 6 ,得 ab≥24,

x y a b

3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2

a b

ab

1 3 2 b 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号成立,这时 k=- =- ,从而所求直线方程 2 a b a 3 为 2x+3y-12=0. 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0),

? 2 ? 且有 A?3- ,0?,B(0,2-3k), ?
k

?

1 ? 2? ∴S△ABO= (2-3k)?3- ? 2 ? k? 4 ? 1? = ?12+? -9k? + ? ? -k? ? 2? 1? ≥ ?12+2 2? ? 4 ? -9k? ? ? ? -k? ?

1 = ?(12+12)=12. 2 当且仅当-9k= 4 2 时,即 k=- 时,等号成立. -k 3

即△ABO 面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.

分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 x 轴、

y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合.将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所
在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程. 审题视角 (1)题目已告诉直线斜率为 k, 即斜率存在. (2)从题意上看, 斜率 k 可以为 0, 也可以不为 0,所以要分类讨论. 规范解答

9



1 (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y= .[2 分] 2

(2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为

G(a,1),[4 分]
所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kAG?k=-1, k=-1? a=-k.[6 分]

a

故 G 点坐标为 G(-k,1),从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标(线段 AG 的中点)为

? k 1? M?- , ?.[8 分] ? 2 2?
1 ? k? 折痕所在的直线方程为 y- =k?x+ ?, 2 ? 2? 即 y=kx+ + .[10 分] 2 2 1 k 1 ∴k=0 时,y= ;k≠0 时,y=kx+ + .[12 分] 2 2 2 温馨提醒 (1)求直线方程时, 要考虑对斜率是否存在、 截距相等时是否为零以及相关位 置关系进行分类讨论. (2)本题对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论.易错点是忽略 k=0 的情况.
2

k2 1

方法与技巧 1. 要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k=

y2-y1 ,该公式 x2-x1

与两点顺序无关,已知两点坐标 (x1≠x2) 时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜 率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90°. 2. 求斜率可用 k=tan α (α ≠90°),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系 不可分割, 牢记: “斜率变化分两段, 90°是分界, 遇到斜率要谨记, 存在与否需讨论”. 3. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫 待定系数法. 失误与防范 1. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线 都存在斜率. 2. 根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3. 利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为(-B,A)不可记错,但同时注意方向向
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量是不唯一的.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 3 1. 已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为 4 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 答案 A 3 解析 由 y-5=- (x+2),得: 4 3x+4y-14=0,故选 A. 2. 如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 答案 D 解析 直线 l1 的斜率角 α 1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角, 且 α 2>α 3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D. 3. 已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A.1 C.-2 或-1 答案 D 解析 由题意得 a+2= B.-1 D.-2 或 1 ( ) ( ) B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 ( )

a+2 ,∴a=-2 或 a=1. a

4. 过两点(-1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为 ( ) 3 B. 2 C.3 D.-3

3 A.- 2

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答案 A

y-1 x-? -1? 解析 过两点(-1,1)和(0,3)的直线方程为 = ,即 y=2x+3,令 y=0 3-1 0-? -1?
3 得 x=- ,即为所求. 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为________. 答案 1

m-4 解析 ∵kMN= =1,∴m=1. -2-m
6. 直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________. 2 答案 - 3 解析 设 P(m,1),则 Q(2-m,-3), ∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1), 1+1 2 ∴k= =- . -2-1 3 7. 已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. 答案 3 解析 直线 AB 的方程为 + =1, 3 4 3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4 3 2 3 2 ∴xy=3y- y = (-y +4y) 4 4 3 2 = [-(y-2) +4]≤3. 4

x y

?3 ? 即当 P 点坐标为? ,2?时,xy 取最大值 3. ?2 ?
三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 解 4 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k

k

12

+4,

?4 ? 由已知,得(3k+4)? +3?=±6, ?k ?
2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是

y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b,
由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 9. (12 分)经过 P(0, -1)作直线 l, 若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共点, 求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的范围. 解 方法一 如图所示, -2-? -1? =-1, 1-0 1-? -1? =1, 2-0

1 6

kPA= kPB=

由图可观察出:直线 l 倾斜角 α 的范围是[135°,180°)∪[0°,45°]; 直线 l 的斜率 k 的范围是[-1,1]. 方法二 设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y+1=kx, 即 kx-y-1=0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上. ∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0. ∴-1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135°,180°)∪[0°,45°]; 直线 l 的斜率 k 的范围是[-1,1].

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点 ( )

? 1 ? A.?- ,3? ? 2 ?

?1 ? B.? ,3? ?2 ?

13

?1 ? C.? ,-3? ?2 ?
答案 D

? 1 ? D.?- ,-3? ? 2 ?

解析 ∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立, 1 ∴2x+1=0,y+3=0,∴x=- ,y=-3. 2 2. 设直线 l 的方程为 x+ycos θ +3=0 (θ ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是 ( ) B.? D.?

A.[0,π ) C.?

?π ,π ? ? ?4 2? ?π ,π ?∪?π ,3π ? ? ? 4 ? ?4 2? ?2 ?

?π ,3π ? 4 ? ?4 ?

答案 C π 解析 当 cos θ =0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ; 2 1 当 cos θ ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=- . cos θ ∵cos θ ∈[-1,1]且 cos θ ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即 tan α ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 α ∈[0,π ), ∴α ∈?

?π ,π ?∪?π ,3π ?. ? ? ? 4 ? ?4 2? ?2 ?π ,3π ?,故选 C. 4 ? ?4 ?
( )

由上知,倾斜角的范围是?

3. 经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为

A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案 B

B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

解析 方法一 直线过 P(1,4),代入,排除 A、D,又在两坐标轴上的截距为正,排除 C, 故选 B.

x y 1 4 ?1 4? ?b 4a? 方法二 设方程为 + =1, 将 P(1,4)代入得 + =1, a+b=(a+b)? + ?=5+? + ? a b a b

?a b?

?a

b?

≥9, 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小, ∴直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0. 3 6 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
14

x y

4. 已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的两倍,则直线 l 的斜率是________. 答案 24 7

-2+5 3 解析 因为 A(-1, -5), B(3,-2),所以 kAB= = .若设直线 AB 的倾斜角为 θ , 3+1 4 3 2tan θ 则 tan θ = .这时直线 l 的倾斜角为 2θ ,其斜率为 tan 2θ = = 2 4 1-tan θ 3 2? 4 24 = . ?3?2 7 1-? ? ?4?

5. 一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程 为________________. 答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 解析 设所求直线的方程为 + =1, 2 2 ∵A(-2,2)在直线上,∴- + =1.①

x y a b a b

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 1 ∴ |a|?|b|=1.② 2 由①②可得(1)?
? ?a-b=1 ?ab=2 ?

或(2)?

? ?a-b=-1 ?ab=-2 ?

.

由(1)解得?

?a=2 ? ?b=1 ?

或?

?a=-1 ? ?b=-2 ?

,方程组(2)无解.

故所求的直线方程为 + =1 或 + =1, 2 1 -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求直线的方程. 6. 若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 答案 16 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上, 故 -2 -2 + =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0.

x y

x

y

x y a b

a

b

根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当 且仅当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 三、解答题 7. (13 分)如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过
15

点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点

C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程.
解 由题意可得 kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=- 3 x. 3 3 , 3

1 2

所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n? , ?, 2 ? ? 2

1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2

m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2? 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,
又 P(1,0),所以 kAB=kAP=

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

3 3-1



3+ 3 , 2

3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.

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