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2013届高考数学一轮复习讲义 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式


一轮复习讲义

同角三角函数的基 本关系及诱导公式

要点梳理

忆一忆知识要点

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1 .
sin α =tan α (2)商数关系: cos α

.

2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α

图示

要点梳理
与角 α 终边 的关系 角

忆一忆知识要点

2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系

相同
π-α

关于原 点对称
π -α 2

关于x 轴对称
π +α 2

图示

与角 α 终边 的关系

关于y轴 对称

关于直线y =x对称

要点梳理
3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z)
-sin α cos α

忆一忆知识要点

二 -α
sin α -cos α

三 π-α
-sin α cos α -tan α

四 π+α
sin α -cos α

五 π -α 2
cos α sin α

六 π +α 2
cos α -sin α

tan α

tan α

-tan α

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

[难点正本

疑点清源]

1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的.例 x2+y2 y x 如:∵sin α=r ,cos α= r ,∴sin2α+cos2α= 2 =1. r (2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符 号,需要根据角 α 的范围进行确定. (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角 函数之间的必然联系,它为三角函数的化简、求值、证明 等又提供了一种重要的方法.

?k ? 2.三角函数诱导公式 f?2π+α? (k∈Z)的本质 ? ? ?k ? 三角函数诱导公式 f?2π+α? (k∈Z)的本质:奇变偶不变, ? ?

符号看象限. 对诱导公式口诀“奇变偶不变, 符号看象限”含义的理解: π 即诱导公式的左边为 · k+α (k∈Z)的正弦或余弦函数,当 2 k 为奇数时,右边的函数名称正余互变;当 k 为偶数时, 右边的函数名称不改变,这就是“奇变偶不变”的含义,

再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角,也可能是大于锐角 π 也可能小于锐角还有可能是任意角),然后分析 · k+α (k∈Z)为 2 第几象限角,再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限 是正还是负,也就是公式右边的符号. 诱导公式的应用是:求任意角的三角函数值,其一般步骤: ①负角变正角,再写成 2kπ+α,0≤α<2π;②转化为锐角.

同角三角函数的基本关 系式的应用
1 例 1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α
1 (1)由 sin α+cos α= 及 sin2α+cos2α=1,可求 sin α,cos α 5 的值; (2)1=sin2α+cos2α,分子、分母同除以 cos2α 即可.



(1)方法一

1 ? ?sin α+cos α= ① 5 联立方程? ?sin2α+cos2α=1 ② ?

1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②, 5 整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
∵α 是三角形内角,∴sin α>0, 4 ? ?sin α=5 ∴? ?cos α=-3 5 ? 4 ,∴tan α=- . 3

?1? 1 2 方法二 ∵sin α+cos α= ,∴(sin α+cos α) =?5?2, 5 ? ? 1 24 即 1+2sin αcos α= ,∴2sin αcos α=- , 25 25 24 49 2 ∴(sin α-cos α) =1-2sin αcos α=1+ = . 25 25 12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25

∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α= , 5 1 4 ? ? ?sin α+cos α=5 ?sin α=5 由? ,得? , 7 3 ?sin α-cos α= ?cos α=- 5 5 ? ? 4 ∴tan α=- . 3

sin2α+cos2α 1 (2) 2 = cos α-sin2α cos2α-sin2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α = 2 2 = 2 , cos α-sin α 1-tan α cos2α 4 ∵tan α=- , 3
? 4? ?- ?2+1 2 tan α+1 ? 3? 1 25 ∴ 2 = = ? 4? =- 7 . cos α-sin2α 1-tan2α 1-?-3?2 ? ?

探究提高
(1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子, 已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为 (sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α;(2)关于 sin α,cos α 的齐次式, 往往化为关于 tan α 的式子.

变式训练 1
(1)已知 tan α=2,求 sin2α+sin αcos α-2cos2α; (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α.
解 (1)sin2α+sin αcos α-2cos2α sin2α+sin αcos α-2cos2α = sin2α+cos2α tan2α+tan α-2 4 = = . 2 5 tan α+1
(2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,
tan2α=9tan2β, 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,


② ③

由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β, ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 2 2 2 ∵cos α+sin α=1,∴cos α= , 8 6 即 cos α=± . 4



三角函数的诱导公式的应用
?5π ? 3 例 2 (1)已知 ,求 cos? 6 -α?的值; 3 ? ? ? 7 ? 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· ?α-2π? tan 5 ? ? ?π ? cos?6+α?= ? ?

的值.

π π 5π (1)将 +α 看作一个整体,观察 +α 与 -α 的关系. 6 6 6 (2)先化简已知,求出 cos α 的值,然后化简结论并代入求值.

?π ? ?5π ? 解 (1)∵?6 +α?+? 6 -α?=π, ? ? ? ? ?π ? 5π ∴ -α=π-?6+α?. 6 ? ? ?5π ? ? ?π ?? ∴cos? 6 -α?=cos?π-?6+α?? ? ? ? ? ?? ?π ? 3 ? +α?=- =-cos 6 , 3 ? ? ?5π ? 3 ? -α?=- 即 cos 6 . 3 ? ?

3 (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5 ? ? ?7 ?? 7 ? ?-tan? π-α?? ∴sin(3π+α)· ?α-2π?=sin(π+α)· tan ? ? ? ?2 ?? ?π ? sin?2-α? ?π ? ? ? ? -α?=sin α· =sin α· 2 tan ?π ? ? ? cos?2-α? ? ? cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5

探究提高
熟练运用诱导公式和基本关系式, 并确定相应三角函数值的符号 是解题成败的关键.另外,切化弦是常用的规律技巧.

变式训练 2
; cos?-α-3π?sin?-3π-α? ? 31π? sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? (2)已知 f(x)= , f?- 3 ?的值. 求 ? π ? ? ? ?- +x? cos 2 ? ? (1)化简:
tan αcos 解 (1)原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?] ?π ? tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α
? ? π ?? αsin?-2π+?α+2 ?? ? ? ??

? 3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ?

sin x· x· cos ?-tan x? (2)∵f(x)= sin x =-cos x· x=-sin x, tan ? 31π? ? 31π? 31π ?- ?=-sin?- ?=sin ∴f 3 ? 3 ? 3 ? ? ? π? π 3 =sin?10π+3?=sin = . 3 2 ? ?

三角函数式的化简与证明
例 3 求证:sin θ(1+tan θ)+cos
? 1 ?1+ θ tan ? ? 1 ?= θ? sin

1 + . θ cos θ

证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方法有: ①从一边开始证明等于另一边,即化简左边,使左边=右边; ②证明左、右等于同一个式子; ③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等转化成与原结论等 价的式子.

证明 左边=sin

sin2θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ ? cos2θ? ? sin2θ ? =?sin θ+ sin θ ?+?cos θ+cos θ? ? ? ? ? sin2θ+cos2θ cos2θ+sin2θ = + sin θ cos θ 1 1 = + =右边. sin θ cos θ

? sin θ ? θ?1+cos θ?+cos ? ?

? cos θ? θ?1+ sin θ ? ? ?

探究提高
证明三角恒等式离不开三角函数的变换.在变换过程中,把正 切函数化成正弦或余弦函数,减少函数种类,往往有利于发现 等式两边的关系或使式子简化.要细心观察等式两边的差异, 灵活运用学过的知识,使证明简便.

变式训练 3
证明下列恒等式: 1+2sin?360° +x?cos?360° +x? 1+tan x (1) = ; 2 2 cos ?360° +x?-sin ?360° +x? 1-tan x tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? (2) =-tan α. cos?α-π?sin?5π-α?
cos2x+sin2x+2sin xcos x 证明 (1)左边= cos2x-sin2x ?cos x+sin x?2 = ?cos x+sin x??cos x-sin x? cos x+sin x 1+tan x = = =右边. cos x-sin x 1-tan x ∴原式得证.

-tan αsin?-α?cos?-α? (2)左边= cos?π-α?sin?π-α? -tan α?-sin α?cos α = =-tan α=右边. -cos αsin α ∴原式得证.

思想与方法
分类讨论思想和整体、化归思 想在三角函数式化简中的应用
(14
?4n-1 ? ?4n+1 ? ? ? ? ? 分)(1)化简:sin? π-α?+cos? π-α? ? 4 ? ? 4 ?

(n∈Z);

sin?nπ-α?cos[?n-1?π-α] (2)化简: (n∈Z). sin[?n+1?π+α]cos?nπ+α?

审题视角
(1)角中含有变量 n,因而需对 n 的奇偶分类讨论. (2)利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要 将角中的某一部分作为一个整体来看.

规范解答 解 (1)当 n 为偶数时,设 n=2k (k∈Z),则 ?8k-1 ? ?8k+1 ? ? ? ? ? 原式=sin? π-α?+cos? π-α? ? 4 ? ? 4 ? ? ? π ?? ? ?π ?? =sin?2kπ+?-4-α??+cos?2kπ+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? ? π ? ?π ? =sin?-4-α?+cos?4-α? ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? ? =-sin?4+α?+cos? -?4+α?? ?? ? ? ?2 ? ? ?π ? ?π ? =-sin?4+α?+sin?4+α?=0. ? ? ? ?

[3 分]

当 n 为奇数时,设 n=2k+1 (k∈Z)时, ?8k+3 ? ?8k+5 ? ? ? ? ? 原式=sin? π-α?+cos? π-α? ? 4 ? ? 4 ? ? ?3π ?? ? ?5π ?? =sin?2kπ+? 4 -α??+cos?2kπ+? 4 -α?? ? ? ?? ? ? ?? ?3π ? ?5π ? =sin? 4 -α?+cos? 4 -α? ? ? ? ? ? ?π ?? ? ?π ?? =sin?π-?4+α??+cos?π+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ?π ? =sin?4+α?-cos?4-α? ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? ? =sin?4+α?-cos?2-?4+α?? ? ?? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =sin?4+α?-sin?4+α?=0. ? ? ? ? ?4n-1 ? ?4n+1 ? ? ? ? ? 故 sin? π-α?+cos? π-α?=0. ? 4 ? ? 4 ?

[6 分]
[7 分]

(2)当 n=2k (k∈Z)时, sin?2kπ-α?cos[?2k-1?π-α] 原式= sin[?2k+1?π+α]cos?2kπ+α? sin?-α?· cos?-π-α? = sin?π+α?· α cos -sin α?-cos α? = =-1; -sin α· α cos 当 n=2k+1 (k∈Z)时, sin[?2k+1?π-α]· cos[?2k+1-1?π-α] 原式= sin[?2k+1+1?π+α]· cos[?2k+1?π+α] sin?π-α?· α cos sin α· α cos = = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α?
综上,原式=-1.

[10 分]

[13 分]
[14 分]

批阅笔记

(1)本题的化简过程,突出体现了分类讨论的思想,当然除了运 用了分类讨论的思想将 n 分两类情况来讨论外,在解答过程中 还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中,考生缺乏整体意识,是出错的主要原因.

方法与技巧
同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础, 主要是变名、 变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根 据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用 sin x 的方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= 化成 cos x 正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2= 1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、 转化; (3)巧用“1”的变换: ? 1 ? 2 2 2 2 2 ? 1=sin θ+cos θ=cos θ(1+tan θ)=sin θ 1+tan2θ? ? ? π =tan =?. 4

方法与技巧
3.证明三角恒等式的主要思路有:(1)左右互推法:由较繁的 一边向简单一边化简;(2)左右归一法:使两端化异为同, 把左右式都化为第三个式子;(3)转化化归法:先将要证明 的结论恒等变形,再证明.

失误与防范
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角 函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判 断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.


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