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天津市耀华中学2015届高三下学期第一次校模拟考试数学(理)试题


天津市耀华中学 2015 届高三第一次校模拟考试 理科 数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟. 共 40 分) 一.选择题:共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合 题目要求的,将答案 涂在答题卡上 . ... ...... 1.复数 ? i ?

/>
第 I 卷(选择题

2 ? 1? i
(B) 1 ?

(A) 1 ? 2i

1 i 2

(C)1

(D) 1 ? 2i

?1 ? 3? x , x ? 0, ? 2.函数 f ( x ) ? ? x ,则该函数为 ? ?3 ? 1, x ? 0.
(A)单调递减函数,奇函数 (C)单调递增函数,奇函数 (B)单调递增函数,偶函数 (D)单调递减函数,偶函数 开始 k =0 S =0 S <100? 是 S=S+2S k =k+1 输出 k 结束


3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a ? b
3 3

(B) a ? b ? 1

(C) a ? b
2

2

(D) a ? b ? 1

4.某程序框图如图所示,运行相应该程序,那么输出 k 的值是 (A) 4 (C) 6 5.若 sin 2? ? (A) (B) 5 (D) 7

5 10 ? 3? , sin( ? ? ? ) ? ,且 ? ? [ , ? ] , ? ? [? , ] ,则 ? ? ? 的值是 5 10 4 2
(B)

7? 4

5 ? 4

(C)

5? 7? 或 4 4

(D)

7 9? ?或 4 4

6.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y2 y 2 x2 ? =1 ? ? 1 , C1 与 C2 ,双曲线 的方程为 C 2 a 2 b2 a 2 b2

的离心率之积为

3 ,则双曲线 C2 的渐近线方程为 2
(BB ) . 2x ? y ? 0
ln x

(AA ) . x ? 2y ? 0

C . x ? 2y ? 0 (C )

. 2x ? y ? 0 (DD )

7.当直线 (2a ? 1) x ? y ? 0 与曲线 y ? e

? x ? 2 有 3 个公共点时,实数 a 的取值范围是

(A) ?1, ?? ?

(B) ?1, ?? ?

(C) ? 0,1?

(D) ? 0,1?

FB ?1:2 , P 为 EF 上 8.在 ?ABC 中, E 、 F 分别为 AB 、 AC 上的点,且 AE :EB ?AF :
任一点,实数 x 、 y 满足 PA ? xPB ? yPC ? 0 ,设 ?ABC 、 ?PBC 、 ?PCA 、 ?PAB 的面积 分别为 S 、 S1 、 S2 、 S3 ,记 值为 (A)

S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则当 ?2 ? ?3 取最大值时, 2 x ? y 的 S S S

1 2

(B)

3 4

(C) 1

(D)

3 2

第 II 卷(非选择题

共 110 分)

二.填空题:共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案 填 写在 后 面 的 答题 卡 上 . ... . .. . . . .. . . 9.已知圆的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则该圆的圆心到直线 ? sin ? ? 2 ? cos ? ? 1 的距离是 ▲ . 10.右图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ▲ .

11.二项式 ( x ? ) 的展开式中含 x 的一次项的系数为 ▲ .
2 5

2 x

12.如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切,A 为切点,过点 P 的割线 交圆于 B 、 C 两点,弦 CD ∥ AP , AD 、 BC 相交于点 E ,
A P

F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? CE ,若 CE : BE ? 3 : 2 , DE ? 3 , EF ? 2 ,则 PA 的长为 ▲ .
C O F D E B

13.已知 4 男 3 女排队,每名男生至多与一名女生相邻,共有 ▲ 种不同的排法.
2 2 14.已知集合 A ? ( x, y ) | (1 ? a ) x ? 2 xy ? ay ? 0 , B ? {( x, y) | 3x ? 5 y ? 0, x, y ? 0} ,

?

?

且 B ? A ,则实数 a 的最小值为 ▲ . 三.解答题:共 6 个小题,总计 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

设函数 f ( x) ?

?

3 sin ? x ? cos ? x cos ? x ?

?

1 ?? ? 0 ? 的最小正周期为 4? . 2

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ ) 已知 a 、 b 、 c 分别 ? ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求角 B 的值,并求函数 f ( A) 的值域.

16.(本小题满分 13 分) 大量统计数据表明,某班一周内(周一到周五)各天语文、数学、外语三科有作业的概率 如下表: 周一 语文 数学 周二 周三 周四 周五

1 4 1 2

1 4 1 2

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2

1 2 2 3

外语

1 3

1 3

[来源:学优高考网]

1 3

2 3

根据上表: (Ⅰ )求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率; (Ⅱ )设一周内有数学作业的天数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

E 、 F 分别为 PA , BD 中点, PA ? PD ? AD ? 2 .
(Ⅰ )求证: EF ∥ 平面 PBC ; (Ⅱ )求二面角 E ? DF ? A 的余弦值; (Ⅲ )在棱 PC 上是否存在一点 G ,使 GF ? 平面 EDF ? 若存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

P E A D F B C

18.(本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 S n ?

4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? , n ? N * . 3 3 3

(Ⅰ )求证数列 {an ? 2n} 是等比数列,并数列 {an } 的通项 an ;
n 3 2n (Ⅱ )设 T (n) ? , n ? N * ,证明: ? T (i ) ? ; 2 Sn i ?1

(Ⅲ )设 R(n) ?

? i , n ≥ 2 ,证明: 2 ? R( 2
i ?1

n

1

n

an
n

) ? n.

19.(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 x ? 4 3 y 的焦点重合, F1 与 F2 分 a 2 b2

别是该椭圆的左右焦点,离心率 e ? 点. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

1 ,且过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两 2

(Ⅱ )若 OM ? ON ? ?2 ,其中 O 为坐标原点,求直线 l 的方程; (Ⅲ )若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN ∥ AB ,判断 请求出,若不是定值,请说明理由.

| AB |2 是否为定值?若是定值, | MN |

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (Ⅰ )求函数 g ( x) 的极值; (Ⅱ )设 m ? 1 , a ? 0 ,若对任意的 x1 、 x2 ?[3, 4] ( x1 ? x2 ) ,
[来源:学优高考网]

x e
x ?1

,其中 m, a 均为实数.

| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?

1 1 ? 恒成立,求实数 a 的最小值; g ( x2 ) g ? x1 ?

(Ⅲ )设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0, e] ,在区间 (0, e] 上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t2 ) , 使得 f (t1 ) ? f ?t2 ? ? g ( x0 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

天津市耀华中学 2015 届高三第一次校模拟考试 理科数学
一.选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 10. 5 A 6 B 11. ?80 ; 14. 7 C 8 B

参考答案

二.填空题: 9. 5 ; 5 12. 三.解答题:

4 ?; 3

15 3; 4

13.2016

55 . 34

15.解: (Ⅰ) f ( x) ? ( 3 sin ? x ? cos ? x) cos ? x ?

1 ? ? sin(2? x ? ) , 2 6

∵ T ? 4? ,∴ ?

?

1 4



1 ? f ( x) ? sin( x ? ) , 2 6
4? 2? , 4 k? ? ](k ? Z ) ; 3 3

∴ f ( x ) 的单调递增区间 [4k? ? (Ⅱ)? (2a ? c) cos B

? b cosC ,∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ,

2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A ,
∴ cos B ? ∵0 ? A ?

? 1 ? 1 , B ? ,? f ( A) ? sin( A ? ) , 3 2 6 2

? A ? ? 2? ,∴ ? ? ? , 6 2 6 2 3
1 2

∴函数 f ( x ) 的值域为 f ( A) ? ( ,1) . 16.解: (Ⅰ)设周五有语文、数学、外语三科作业分别为事件 A1、A2、A3 周五没有语文、数 学、外语三科作业为事件 A,则由已知表格得:

P ? A1 ? ?

1 2 2 、 P ? A2 ? ? 、 P ? A3 ? ? , 2 3 3

? 1 ?? 2 ?? 2 ? 1 P ? A? ? P A1 A2 A3 ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? ? ; ? 2 ?? 3 ?? 3 ? 18
(Ⅱ)设一周内有数学作业的天数为 ? ,则 ? 的所有可能取值为 0、1、2、3、4、5,

?

?

∴P (? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?

1 4 2 1 ; 2 3 48 1 2 1 2 1 1 1 P(? ? 1) ? C 4 ? ? (1 ? ) 3 ? (1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? ; 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C 4 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? C 4 ? ? (1 ? ) 3 ? ? ; 2 2 3 2 2 3 24 1 1 2 1 1 2 1 3 2 P(? ? 3) ? C 4 ? ( ) 3 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C 4 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? ? ; 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 1 2 3 4 3 P ?? ? 4 ? ? C4 ( ) 4 (1 ? ) ? C4 ( )3 (1 ? ) ? , 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P ?? ? 5 ? ? ( ) 4 ? ? , 2 3 24

所以随机变量 ? 的概率分布列如下:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 48 8 24 3 16 24 3 17. (Ⅰ)如图,连结 AC ,底面 ABCD 是正方形,∴ AC 与 BD 互相平分,
∴E? ? 0 ? 又∵F 是 BD 中点,∴F 是 AC 中点, 在△ PAC 中, E 是 PA 中点, F 是 AC 中点,∴EF ∥ PC , 又∵EF ? 平面 PBC , PC ? 平面 PBC ,∴EF ∥ 平面 PBC ; (Ⅱ )取 AD 中点 O .在△ PAD 中,因为 PA ? PD , ∴PO ? AD , ∵ 面 PAD ? 底面 ABCD ,且面 PAD 面 ABCD =AD ,∴PO ? 面 ABCD ,

∵OF ? 平面 ABCD ,∴PO ? OF , 又 F 是 AC 中点,∴OF ? AD ,∴OA, OF , OP 两两垂直, 如图,以 O 为原点, OA, OF , OP 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系, ∵PA ? PD ? AD ? 2 ,∴OP ? 3 ,则 O(0,0,0) , A(1, 0, 0) , B(1, 2, 0) , C (?1, 2, 0) ,

D(?1, 0, 0) , P(0,0, 3) ,

z P E A O D F C y

1 3 E ( , 0, ) , F (0,1, 0) , 2 2
于是 AB ? (0, 2,0) , DE ? ( ,0,

3 2

3 ), 2

DF ? (1,1,0) ,
∵OP ? 面 ABCD ,∴OP ? (0,0, 3) 是平面 FAD 的一个法向量, 设平面 EFD 的一个法向量是 n = ( x0 , y0 , z0 ) ,

? x0 ? y0 ? 0, ? ? ? y0 ? ? x0 , ?n ? DF ? 0, ? ∵? ,∴? 3 ,即 ? , 3 z ? ? 3 x . x ? z ? 0, ? n ? DE ? 0, ? 0 ? 0 ? 0 0 ? 2 ?2
令 x0 ? 1 ,则 n = (1, ?1, ? 3) , ∴ cos ? OP, n ? ?

OP ? n OP ? n

?

?3 3? 5

?

15 , 5
15 ; 5

由图可知,二面角 E-DF-A 为锐角,∴ 二面角 E-DF-A 的余弦值为

(Ⅲ )假设在棱 PC 上存在一点 G ,使 GF ? 面 EDF ,设 G( x1 , y1 , z1 ) , 则 FG = ( x1, y1 ?1, z1 ) , 由(Ⅱ )可知平面 EDF 的一个法向量是 n = (1, ?1, ? 3) , ∵GF ? 面 EDF ,∴FG = ? n , 于是, x1 ? ?, y1 ?1 ? ??, z1 ? ? 3? ,即 x1 ? ?, y1 ? 1 ? ?, z1 ? ? 3? , 又∵ 点 G 在棱 PC 上,∴GC 与 PC 共线,
[来源:学优高考网 gkstk]

∵PC ? (?1, 2, ? 3) , CG ? ( x1 +1, y1 ? 2, z1 ) , ∴

x1 ? 1 y1 ? 2 z 1 ? ? ?? ? 1 ? 3? = = 1 ,∴ ,无解, = = ?1 2 ?1 2 ? 3 ? 3

故在棱 PC 上不存在点 G ,使 GF ? 面 EDF 成立. 18.解: (Ⅰ ) an ? 4n ? 2n ; (Ⅱ ) Sn ?

1 n ?1 2 (2 ? 1)(2n ?1 ? 2) ? (2n ?1 ? 1)(2n ? 1), 3 3

T (n) ?
n

2n 3 2n 3 1 1 ? ? n?1 ? ( n ? n?1 ), n Sn 2 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ?1 2 ?1

?T (i) ? 2 ( 2 ?1 ? 2
i ?1

3

1

1
n ?1

3 )? ; ?1 2

an 1 1 1 ) ? 1 ? ? ? ??? ? n n 2 2 3 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? n ) = 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ?1 ? n ?1 2 3 4 5 6 7 2 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ?1 ? n ?1 ? ??? ? n ?1 ) = n 2 2 4 4 4 4 2 2 2 an 1 1 1 R( n ) ? 1 ? ? ? ??? ? n , 2 2 3 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? n ) = 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ?1 ? n ?1 2 3 4 5 6 7 2 2 ?1 2 ?1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ? n ? ??? ? n ) ? , 2 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2 a n ) ? n. ∴ 当 n ? 2 时, ? R ( n 2 2n
(Ⅲ ) R( 19.解: (Ⅰ )∵x2 ? 4 3 y 的焦点为 (0, 3) ,∴ 椭圆 C 的一个顶点为 (0, 3) , ∴b ? 3,

c 1 x2 y 2 ? ? a ? 2 ,∴ ? ? 1; 椭圆 C 的方程为 a 2 4 3

(Ⅱ )当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? ?4 3
2 则 ? ? 144(k ? 1) ? 0 , x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
?
2 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 2 4k ? 12 , ? k ( ? ? 1) ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

?5k 2 ? 12 ? ?2 ? k ? ? 2 , ∵OM ? ON ? ?2 ,∴ 4k 2 ? 3
∴ 直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ?1) ,即 2x ? y ? 2 ? 0 ,或 2x ? y ? 2 ? 0 , 当直线 l 的斜率不存在时, M (1, ), N (1, ? ) , OM ? ON ? ?2 , 综上,直线 l 的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ,或 2x ? y ? 2 ? 0 ; (Ⅲ )当直线 l 的斜率存在时,设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,

3 2

3 2

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

144(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) , ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? y ? kx 48(1 ? k 2 ) 12 ? 2 2 2 2 2 2 | AB | ? (1 ? k )( x ? x ) ? , , ? x ? ?x y 3 4 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ?1 ? ? 3 ?4

48(1 ? k 2 ) 2 | AB | ? 4k 2? 3 ? 4 是定值; | MN | 12(k ? 1) 4k 2 ? 3
2

2 当直线 l 的斜率不存在时, | MN |? 3 , | AB | ? 12 ,

| AB |2 ? 4 是定值, | MN |

[来源:gkstk.Com]

综上所述:

| AB |2 为定值. | MN |
1? x ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,列表如下: e x ?1

20. (Ⅰ ) g '( x ) ?

x
g '( x )

(??,1)
? ↗

1

(1, ??)
? ↘

0
极大值

g ( x)

∴ 当 x ? 1 时, g ( x) 取得极大值 g (1) ? 1 ,无极小值; (Ⅱ )当 m ? 1 时, a ? 0 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 , x ? (0, ??) , ∵ f '( x) ? 设 h( x) ?
[来源:学优高考网 gkstk]

x?a ? 0 在 [3, 4] 恒成立,∴ f ( x) 在 [3, 4] 上为增函数, x

e x ?1 ( x ? 1) 1 e x ?1 ? 0 在 [3, 4] 上恒成立, ,∵h '( x) ? ? x2 g ( x) x

∴h( x) 在 [3, 4] 上为增函数, 不妨设 x2 ? x1 ,则 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?

1 1 ? 等价于: g ( x2 ) g ? x1 ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x1 ) ,
设 u( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? a ln x ? 1 ? ∴u '( x) ? 1 ? ∴a ? x ? e

e x ?1 ,则 u ( x) 在 [3, 4] 上为减函数, x

a e x ?1 ( x ? 1) ? ? 0 在 [3, 4] 上恒成立, x x2 ? e x ?1 e x ?1 x ?1 )max , x ? [3, 4] , 恒成立,∴a ? ( x ? e ? x x e x ?1 ? , x e x ?1 ( x ? 1) 1 1 3 ? ? 1 ? e x ?1[( ? )2 ? ] , x ? [3, 4] , 2 x x 2 4

x ?1

设 v( x) ? x ? e ∵v '( x) ? 1 ? e ∴e
x ?1

x ?1

x ?1

1 1 3 3 [( ? ) 2 ? ] ? e 2 ? 1 ,∴v '( x) ? 0 , v( x) 为减函数, x 2 4 4 2 2 e , 3

∴v( x) 在 [3, 4] 上的最大值 v (3) ? 3 ? ∴a ? 3 ?

2 2 2 e ,∴a 的最小值为 3 ? e 2 ; 3 3

(Ⅲ )由(1)知 g ( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] , ∵ f ( x) ? mx ? 2ln x ? m , x ? (0, ??) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2ln x 在 (0, e] 上为减函数,不合题意,

当 m ? 0 时, f '( x) ? 所以 0 ?

m( x ? x

2 ) m ,由题意知 f ( x) 在 (0, e] 上不单调,


2 2 ? e ,即 m ? , m e

此时 f ( x ) 在 (0,

2 2 ) 上递减,在 ( , e] 上递增, m m 3 , e ?1


∴ f (e) ? 1 ,即 f (e) ? me ? 2 ? m ? 1,解得 m ? 由① ② , 得m ?

3 , e ?1

∵1? (0, e] ,∴ f ( 下证存在 t ? (0,

2 ) ? f (1) ? 0 成立, m

2 2 ] ,使得 f (t ) ? 1 , 取 t ? e? m ,先证 e ? m ? ,即证 2em ? m ? 0 , ③ m m 3 , ?? ) 时恒成立, e ?1
∴③ 成立,

设 w( x) ? 2e x ? x ,则 w '( x) ? 2e x ?1 ? 0 在 [ ∴w( x) 在 [ 再证 f (e ∵ f (e
?m

3 3 , ?? ) 时为增函数,∴w( x) ? w( ) ?0, e ?1 e ?1

?m

) ? 1,
3 3 ? 1 ,∴m ? 时,命题成立, e ?1 e ?1 3 , ?? ) . e ?1

) ? me ? m ? m ?

综上所述,实数 m 的取值范围为 [


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