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1.4.1、2全称量词、存在量词


1.4

全称量词与存在量词

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第一章 常用逻辑用语

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1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

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第一章 常用逻辑用语

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第一章 常用逻辑用语

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1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词 的意义. 2.会判定全称命题和特称命题的真假.

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第一章 常用逻辑用语

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1.全称量词和存在量词的含义.(难点)
2.全称命题和特称命题真假的判定.(重点)

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你能判断下列语句是否为命题吗?若是命题,请判断真 假.

(1)2x-1是整数;
(2)x2+2x-3>0;

(3)存在x∈R,使x2+2x-3>0;
(4)对任意x∈R,x2+2x+3>0. 对于(3),(4)中的词语“存在”、“任意”你理解了吗?

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1.全称量词和全称命题 全称量词 所有的 、 任意一个、 一切 任给 . 、

符号
全称命题 形式

?
含有 全称量词 的命题

“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可简 记为 “?x∈M,p(x)” .

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2.存在量词和特称命题

存在量词
符号表示 特称命题

存在一个 、 至少有一个 、 有些 、 有的 . ? 含有

存在量词

的命题

形式

“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”,可用符号 记为 “?x0∈M;p(x0)” .

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1.将“x2 +y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是

(

)
A.?x,y∈R,都有x2+y2≥2xy B.?x0,y0∈R,使x+y≥2x0y0 C.?x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy D.?x0<0,y0<0,使x+y≤2x0y0 解析: 这是一个全称命题,且x,y∈R,故选A. 答案: A

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2.下列全称命题中假命题的个数是(
①2x+1是整数(x∈R)

)
③对任意

②对所有的x∈R,x>3

一个x∈Z,2x2+1为奇数
A.0 C.2 B.1 D.3

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1 3 解析: 对于①,当 x=4时,2x+1=2不是整数,假命 题.对于②,当 x=0 时,0<3,假命题.对于③,当 x∈Z 时,2x2 是偶数,进而 2x2+1 是奇数,所以①②是假命题, 故选 C.

答案: C

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3.下列命题,是全称命题的是________;是特称命题的是
________. ①正方形的四条边相等; ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数. 解析: ①③是全称命题,②④是特称命题. 答案: ①③ ②④

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4.指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,
并判断真假: (1)当a>1时,则对任意x,曲线y=ax 与曲线y=logax有交 点. (2)?x∈R,使得x2-x+1≤0. (3)被5整除的整数的末位数字都是0. (4)有的四边形没有外接圆.

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解析:

(1)、(3)是全称命题,(2)、(4)是特称命题,对

(1)当 a>1 时,y=ax 与 y=logax 都是增函数且两函数是互为 反函数;图象关于直线 y=x 对称故没有交点. ∴(1)是假命题. 对于(2),∵x
2

? 1?2 3 3 -x+1=?x-2? + ≥ 恒成立, 4 4 ? ?

∴(2)是假命题. 对于(3),∵末位数字是 5 的整数也能被 5 整除. ∴(3)是假命题.

对于(4),∵只有对角互补的四边形才有外接圆,
∴(4)是真命题.
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判断下列语句是全称命题还是特称命题,并判断真假. (1)有一个实数α,tan α无意义; (2)任何一条直线都有斜率吗? (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径; (4)圆内接四边形,其对角互补; (5)指数函数都是单调函数.

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[解题过程]

π (1)特称命题. 2时, α 不存在, α= tan 所以,

特称命题“有一个实数 α,tan α 无意义”是真命题. (2)不是命题. (3)含有全称量词,所以该命题是全称命题,又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径, 所以,全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题.

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(4)“圆内接四边形,其对角互补”的实质是“所有的圆内
接四边形,其对角都互补”, 所以该命题是全称命题且为真命题. (5)虽然不含逻辑联结词,其实“指数函数都是单调函数” 中省略了“所有的”, 所以该命题是全称命题且为真命题.

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[题后感悟]
个步骤:

判定一个语句是全称命题还是特称命题可分三

(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全 称命题或特称命题. (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的 命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题. (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.

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第一章 常用逻辑用语

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1.判断下列语句是全称命题还是特称命题: (1)没有一个实数α,tan α无意义. (2)存在一条直线其斜率不存在. (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗? (4)圆外切四边形,其对角互补.

(5)有的指数函数不是单调函数.

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第一章 常用逻辑用语

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解析: (1)为全称命题.
(2)为特称命题.

(3)不是命题.
(4)为全称命题. (5)为特称命题.

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将下列命题用量词符号“?”或“?”表示,并判断 真假. (1)实数的平方是非负数; (2)整数中1最小; (3)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根; (4)对于某些实数x,有2x+1>0;

(5)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.

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第一章 常用逻辑用语

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首先判断是全称命题还是特称命题,然后用符号表示, 并判断真假.

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[解题过程] 题号 (1) (2) (3) 符号表示 ?x∈R,x2≥0 ?x∈Z,x≥1 ?x<0,有ax2+2x+1=0(a<1) 真假判断

(4)
(5)

?x∈R,有2x+1>0
若?a?α,l⊥a,则l⊥α

真 假 真 真


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第一章 常用逻辑用语

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[题后感悟]

同一个全称命题或特称命题,可能有不同的表

述方法,现列表总结如下,在实际应用中可以灵活选择: 命题 全称命题“?x∈A,p(x)” 特称命题“?x∈A,p(x)”

①所有的x∈A,p(x)成立 ②对一切x∈A,p(x)成立 表述 ③对每一个x∈A,p(x)成立 方法 ④任意一个x∈A,p(x)成立 ⑤凡x∈A,都有p(x)成立

①存在x∈A,使p(x)成立 ②至少有一个x∈A,使 p(x)成立 ③对有些x∈A,p(x)成立 ④对某个x∈A,p(x)成立 ⑤有一个x∈A,使p(x)成 立

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2.(1)用“量词”表述下列命题,并判断真假: ①存在实数对(x,y),使 2x+3y+2<0 成立; ②有些三角形不是等腰三角形; ③至少有一个实数使不等式 x2-3x+6<0 成立; ④对所有正实数 t, t为正且 t<t. (2)用文字语言表述下列命题: ①?x∈R,x2≥0;②?α∈R,sin α=cos α.

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解析: (1)①?x∈R,y∈R,2x+3y+2<0.真命题; ②?x∈{三角形},x 不是等腰三角形,真命题; ③?x∈R,x2-3x+6<0.假命题; ④?t 为正实数, t>0 且 t<t.假命题. (2)①a.对任意实数 x,都有 x2≥0; b.对所有实数 x,都有 x2≥0; c.对每一个实数 x,都有 x2≥0.
②a.存在角α∈R,使sin α=cos α成立; b.至少有一个角α,使sin α=cos α成立; c.对于有些角α,满足sin α=cos α.
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第一章 常用逻辑用语

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判断下列命题的真假: (1)?x∈R,x2+2x+1>0; (2)?x0∈R,|x0|≤0; (3)?x∈N*,log2x>0; π (4)?x0∈R,sin x0=2.

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解答本题可根据命题中所含量词的含义进行判断.

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第一章 常用逻辑用语

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[规范作答] (1)∵当x=-1时,x2+2x+1=0,
∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 3分

(2)∵当x=0时,|x|≤0成立,
∴原命题是真命题. … … … … … … … … … … … 6分 (3)∵当x=1时,log2x=0, ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 9分

π (4)∵当 x∈R 时,sin x∈[-1,1],而2>1, π ∴不存在 x0∈R,使 sin x0=2, ∴原命题是假命题. ………………………………12 分
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第一章 常用逻辑用语

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[题后感悟]

(1)要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,

必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命 题“?x∈M,p(x)”是假命题,只要能举出一个反例,即在集合 M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是 假命题. (2)要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需要找 到集合M中的一个元素x0使p(x0)成立即可.只有当对集合M中的

任意一个元素x,p(x)都不成立时,才说明这个特称命题是假命
题.

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第一章 常用逻辑用语

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3.本例(1)中“>”改为“≥”,(2)中“≤”改为“<”,两命题

的真假性如何?
解析: (1)?x∈R,x2+2x+1≥0是真命题.

(2)?x0∈R,|x0|<0是假命题.

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第一章 常用逻辑用语

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4.判断下列命题的真假: (1)?x∈R,sin x+cos x≤ 2. (2)?x∈{3,5,7},3x+1 是偶数;
2 (3)?x0∈Q,x0=3;

(4)?x0∈R,x2-x0+1=0. 0

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第一章 常用逻辑用语

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解析: (1)∵sin x+cos x=

? x? 2sin?x+4?≤ ? ?

2恒成立,

∴对任意的实数 x,sin x+cos x≤ 2都成立, 故该命题是真命题. (2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值, 都有 3x+1 是偶数, 所以“?x∈{3,5,7},3x+1 是偶数”是真命题. (3)由于使 x2=3 成立的实数只有± 3,且它们都不是有 理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于 3, 所以“?x0∈Q,x2=3”是假命题. 0
(4)因为对于x2-x+1=0,Δ<0,所以方程x2-x+1=0无实 数根,所以“?x0∈R,x-x0+1=0”是假命题.
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1.如何理解全称命题和特称命题?
全称命题是陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性 质的命题,无一例外,强调“整体、全部”. 特称命题是陈述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某 种性质的命题,强调“个别、部分”的特殊性.

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第一章 常用逻辑用语

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[特别提醒]
个变量.

全称命题与特称命题中可能存在多个量词,多

如:?x∈R,y∈R,(x+y)(x-y)>0, ?α0,β0∈R,使sin(α0+β0)=sin α0+sin β0.

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2.如何判定全称命题和特称命题的真假?
对全称命题,若要判定为真命题,需对每一个x都验证使p(x)

成立;若要判定为假命题,只需举一个反例.
对特称命题,若要判定为真命题,只需找一个元素x0使p(x0) 成立;若要判定为假命题,需证明对每一个x,p(x)不成立.

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◎?x∈[-1,2],使4x -2x+1 +2-a<0恒成立,求实数a的取

值范围.
【错解】 2t+2-a<0,① 由已知①式有解. ∴Δ≥0, 即(-2)2-4(2-a)≥0,解得a≥1. 令t=2x,则不等式4x-2x+1+2-a<0化为:t2-

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第一章 常用逻辑用语

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【错因】
不等式不是在 R 内有解,而是在[-1,2]内恒成立. 换元后,没有求解 t 的取值范围,缺少了约束条件.

用 t 替换 2 后,据 x∈[1,2],求出

x

?1 ? t∈?2,4?,确定原来命题 ? ?

?1 ? 的等价命题:?t∈?2,4?,a>t2-2t+2 ? ?

恒成立,进而求解.

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【正解】 令 t=2
x

已知不等式化为:22x-2·x+2-a<0① 2

?1 ? ,∵x∈[-1,2],∴t∈?2,4?, ? ?

则不等式①化为:t2-2t+2-a<0, 即 a>t2-2t+2,
?1 ? 原命题等价于:?t∈?2,4?,a>t2-2t+2 ? ?

恒成立,

令 y=t2-2t+2=(t-1)2+1, 当
?1 ? t∈?2,4?时,ymax=10. ? ?

所以只需a>10即可. 即所求实数a的取值范围是(10,+∞).
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练考题、验能力、轻巧夺冠
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