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2012年新高一数学竞赛15


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 15

──

塞瓦定理及其逆定理
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成

例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 定理:设 M 是 ΔABC 内任一点,连接 AM,BM,CM 并延长,分别交对边于 P,Q,R;则有:
BP PC ? CQ QA ? AR RB

(提示:用面积法,逆命题用“同一法”证明) ? 1 ;其逆命题也成立.

证明:
A

R Q M B

P

C

二、重要例题 例 1.如图,在 ΔABC 中,D、E 分别在边 AB、AC 上,且 DE∥BC,设 BE 与 CD 交于 S, 求证:AS 通过 BC 边的中点 M. (提示:直接使用定理) 证明:
A

D S B M

E

C

1

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教练员 凌彬

例 2.如图,设 ΔABC 的内切圆与三边 BC,CA,AB 分别切于 R,S,T;试证:AR,BS,CT 交于一 点. (提示:直接使用定理) 证明:
A

T S

B

R

C

例 3.如图,以 ΔABC 的边 BC,CA,AB 为边向外作正方形;A1,B1,C1 是正方形的边 BC,CA, AB 的对边的中点;试证明:AA1,BB1,CC1 相交于一点.
(提示:用面积转化比,三角形的面积公式可用 S ? ABC ?
1 2 ab sin ? C ? 1 2 bc sin ? A ? 1 2 ac sin ? B



证明:
C1 A B1 C

B

A1

2

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教练员 凌彬

三、巩固练习 15

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.如图 1,已知 ΔABC 中,M 是 BC 的中点,AD 平分∠BAC,B 在 AD 上的射影为 E,BE 交 AM 于 N,求证:DN∥AB
A

M B

D

C

N E 图1

2.如图 2,设 P 是 ΔABC 内一点,AP,BP,CP 分别与 BC,CA,AB 交于 D,E,F;过 D,E,F 三点作圆与三边又交于 D1,E1,F1;求证:AD1,BE1,CF1 三线交于一点.
A

F1 F P

E

E1 B D
图2

D1 C

3.在 ΔABC 中,D,D1 在 BC 边上;E,E1 在 AC 边上;F,F1 在 AB 边上;且直线 AD 与 AD1,BE 与 BE1,CF 与 CF1 分别关于∠A,∠B,∠C 的角平分线对称;若 AD,BE,CF 三线共点时, 则 AD1,BE1,CF1 三线也共点.
A E F F1 E1 B D D1 C

图3

3


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