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江西省南昌市二校(南昌一中、南昌十中)2013届高三11月联考数学理试题


南昌市二校联考(南昌一中、南昌十中)高三试卷 数
命题:南昌一中高三数学备课组 考试时间:120 分钟 一、选择题(50 分) 1.已知集合 M ? {x | 3 ? 2x ? x 2 ? 0}, N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围 是( A. [3,??) ) B. (3,?? ) C. (??,?1] D. (??,?1)

r />
学(理)
审题:南昌一中高三数学备课组 考试分数:150 分

2、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin A.
3 2

? ) 的值( 6
C. ?
1 2

) D. (
1 2

B. ? lg|x|

3 2

3.函数 y=

x

的图象大致是

)

4.由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项( ) 3an+1 34 1 1 A. B.100 C. D. 103 100 104 5.已知集合 M ={a|a =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R}, N ={a|a =(-2,-2)+ λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项, 则数列{bn}的公比为( ) 1 A. 2 B.4 C.2 D. 2 7. f(x)、 (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, ′(x)·g(x) 设 g 当 f +f(x)·g′(x)>0,且 f(-3)·g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解 集是( ) B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)

an

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

8.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( ) 3 3 A. B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R且x ? k? ?
f ( x) ? f ( x ? ,当 x ? (? ? )

?
2

(k ? Z} , 函 数 f ( x) 满 足

? ?

, ) 时, f ( x) ? 2 x ? sin x .设 a ? f (1) , b ? f (2) , 2 2

c ? f (3) ,则(



A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 10. 已知定义在 [0, ??) 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( x? 2),当 x ? [0, 2)时, ,且 {an } f ( x) ? ? 2 x2 ? 4 x.设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an ( n ? N * ) 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? ( ) 1 1 1 1 A. 2 ? n?1 B. 4 ? n? 2 C. 2 ? n D. 4 ? n?1 2 2 2 2 二、填空题 11. 已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? a5 ? a9 ? ? , cos(a2 ? a8 ) 的值为 若 则 12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 10 9 … 则第 7 行中的第 5 个数是 . n+1 * 13. 已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P, 若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 的值为
?



2 5 8 6 7

xn,则 log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010



14.

? ? (1 ? cos x)dx =________.
2 ? 2

15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称;

④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根
其中正确命题为 .

三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 , cos C ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。 18. (12 分)已知等比数列 {an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中项; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求使不等式 Sn ? 2n?1 ? 47 ? 0 成 立的 n 的最小值; 19. (12 分)已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且→·→=6,设→与→的夹角 AB BC AB BC 为θ . (1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin2θ +2sin θ ·cos θ +3cos2θ 的最小值. 1 1 1 x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间 4 4 2 (0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式.
3 . 4

20. (13 分)将函数 f(x)=sin

21. (14 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g ( x) ? xe1? x .(a ?R) (1)当 a ? 1时, 求f ( x) 的单调区间;
1 (2)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; 2

(3)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e?, 在? 0, e?上总存在两个不同的xi (i ? 1,2) ,使得

f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。

高三联考数学(理)答案 一、选择题(50 分) 1.已知集合 M ? {x | 3 ? 2x ? x 2 ? 0}, N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围 是(C) A. [3,??) B. (3,?? ) C. (??,?1] D. (??,?1) ) D. ( D)
1 2

2、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin A.
3 2

? ) 的值( C 6
C. ?
1 2

B. ? lg|x|

3 2

3.函数 y=

x

的图象大致是

4.由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项( C ) 3an+1 34 1 1 A. B.100 C. D. 103 100 104 5.已知集合 M ={a|a =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R}, N ={a|a =(-2,-2)+ λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( C ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项, 则数列{bn}的公比为( c ) A. 2 B.4 1 C.2 D. 2 7. f(x)、 (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, ′(x)·g(x) 设 g 当 f +f(x)·g′(x)>0,且 f(-3)·g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解集 是( D ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 8.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则

an

sin C 的值为( 3 A. 3 C. 6 3

D

) B. D. 3 6 6 6

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R且x ? k? ?
f ( x) ? f ( x ? ,当 x ? (? ? )

?
2

(k ? Z} , 函 数 f ( x) 满 足

? ?

, ) 时, f ( x) ? 2 x ? sin x .设 a ? f (1) , b ? f (2) , 2 2

c ? f (3) ,则( B

) B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

A. a ? c ? b

10. 已知定义在 [0, ??) 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( x? 2),当 x ? [0, 2)时, ,且 {an } 的前 f ( x) ? ? 2 x2 ? 4 x.设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an ( n ? N * )

n 项和为 Sn ,则 Sn ? ( B )
A. 2 ? 二、填空题 11 . 已 知 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? , 则 cos(a2 ? a8 ) 的 值 ? 为 .答案: 1 2
1 2n?1

B. 4 ?

1 2
n? 2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n?1

12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 10 9 5 8 2 6 7

… 则第 7 行中的第 5 个数是 .答案:26 n+1 * 13. 已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010 的值为 .答案-1 14.

? ? (1 ? cos x)dx =________.答案.π +2
2 ? 2

?

15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称; ④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根 其中正确命题为 .答案_①②③ 三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解: 设 A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 2 (6 分) 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B,

?a≤1, ∴? 2 ?a+1≥1.

(10 分)

1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ].(12 分) 2 17、 (12 分)在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 , cos C ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。 17、解: (1)在 ?ABC中 , cosC= 由
3 7 ,得 sinC= 4 4
3 . 4

又由正弦定理

AB BC 14 ? ,得 sinA= si nC si n A 8

(2)由余弦定理: AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cosC

即 AC=b 得: 2 ? b 2 ? 1 ? 2b ?

3 4

解得 b=2 或 b= ?

1 (舍去),所以 AC=2 2

所以, CB ? CA ? CB ? CA ? cos ? CB, CA ?? CB ? CA ? cosC =1 ? 2 ?
3 3 ? 4 2

,即 CB ? CA ?

3 2

18(12 分).已知等比数列 {an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中 项; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,

求使不等式 Sn ? 2n?1 ? 47 ? 0 成立的 n 的最小值;

18.解: (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q , 则有 a1 (2 ? q2 ) ? 3a1q ①

a1 (q ? q3 ) ? 2a1q2 ? 4



由①得: q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? 1 (不合题意舍去) 当 q ? 2 时,代入②得: a1 ? 2 ; 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n …6 分

(2) bn ? an ? log2 an ? 2n ? n ,所以

Sn ? 2 ?1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ?? 2n ? n
? 2(1 ? 2n ) n(n ? 1) 1 1 ? ? 2n ?1 ? 2 ? n ? n2 1? 2 2 2 2

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? n)
…9 分

因为 Sn ? 2n?1 ? 47 ? 0

代入得 n2 ? n ? 90 ? 0 , …12 分

解得 n ? 9 或 n ? ?10 (舍去) 所以所求 n 的最小值为 10

19(12 分) 、已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且→·→=6,设→与→的夹 AB BC AB BC 角为θ .

(1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin2θ +2sin θ ·cos θ +3cos2θ 的最小值. 19 解:(1)∵→·→=6,∴|→|·|→|·cos θ =6.∴|→|·|→|= AB BC AB BC AB BC 1 又∵S= |→|·|→|·sin(π -θ )=3tan θ , AB BC 2 3 ≤tan θ ≤1. 3 π π 又∵θ ∈(0,π ),∴ ≤θ ≤ . 6 4 2 (2)f(θ )=1+2cos θ +sin 2θ =cos 2θ +sin 2θ +2 π? ? = 2sin?2θ + ?+2, 4? ? 3 ? π ?7 ?π π ? ?π π ? 由θ ∈? , ?,得 2θ ∈? , ?,∴2θ + ∈? π , π ?. 4? 4 ? 4 ?12 ?6 ?3 2? ∴ 3≤3tan θ ≤3,即 ∴当 2θ + π 3 π = π 即θ = 时,f(θ )min=3. 4 4 4 6 . cos θ

1 1 1 x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间(0, 4 4 2 +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 1 20 (13 分) 解: f(x)=sin x· 、 (1) sin (x+2π )· sin (x+3π )=- sin x. 其 4 4 2 4 π 极值点为 x=kπ + (k∈Z). 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 π 2n-1 ∴an= +(n-1)·π = π (n∈N*). 2 2 π (2)∵bn=2nan= (2n-1)·2n, 2 π ∴Tn= [1·2+3·22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n], 2 π 2Tn= [1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1], 2 两式相减,得 π -Tn= [1·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1], 2 20. (13 分)将函数 f(x)=sin

∴Tn=π [(2n-3)·2n+3]. 21. (14 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 2ln x, g ( x) ? xe1? x .(a ?R) (1)当 a ? 1时, 求f ( x) 的单调区间;
1 (2)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; 2

(3)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e?, 在? 0, e?上总存在两个不同的xi (i ? 1,2) ,使得

f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。
2 21.解: (1)当 a ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 ln x, 则f ?( x) ? 1 ? , x

由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. 故 f ( x)的单调减区间为? 0,2?, 单调增区间为?2, ???.
1 (2)因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能, 2 1 故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点, 2 1 只要对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立, 2 1 2 ln x 即对 x ? (0, ), a ? 2 ? 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 , x ? (0, ), 令 l ( x) ? 2 ? x ?1 2

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 x ? , 则 l ( x) ? ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2
2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m ?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ? 1 1 故m( x)在(0, )上为减函数, 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 1 从而,l ( x) ? 0, 于是l ( x)在(0, )上为增函数, 2

1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
1 综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 则a的最小值为2 ? 4ln 2. 2

(3) g ?( x) ? e1? x ? xe1? x ? (1 ? x)e1? x ,
当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g ( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,

所以,函数 g( x)在? 0, e? 上的值域为? 0,1?.

当a ? 2时, 不合题意;
2 (2 ? a) x ? 2 当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? ? ? x x 2 当x ? 时, f ?( x) ? 0. 2?a 由题意得, f ( x)在 ? 0, e ? 上不单调, (2 ? a)( x ? x 2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e

?

故0 ?

2 2 ? e, 即a ? 2 ? 2?a e



此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:
(0,
f ?( x)
f ( x)

2 ) 2?a

2 2?a

? 2 ? , e? ? ?2?a ?



0 最小值

+

又因为,当x ? 0时, f ( x) ? ??, 2 2 ) ? a ? 2ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 2?a 2?a 所以,对任意给定的x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), f( 使得f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 当且仅当a满足下列条件 :

2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2 ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1. ? ?
令h(a ) ? a ? 2 ln

② ③

2 2 , a ? ( ??, 2 ? ), 2?a e 2 a 则h ?(a ) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令h ?( a) ? 0, 2?a a?2 得a ? 0或a ? 2, 故当a ? (??, 0)时, h ?(a ) ? 0, 函数h(a )单调递增; 2 当a ? (0, 2 ? )时, h ?( a ) ? 0, 函数h( a )单调递减. e 2 所以, 对任意a ? (??, 2 ? ), 有h( a) ? h(0) ? 0, e 2 即②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 e 3 . 由③式解得: a ? 2 ? ④ e ?1
3 ? ? 综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1? ? ?

在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立。


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