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2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.9.2 最值、范围、证明问题课件 理


第八章 平面解析几何

第九节 圆锥曲线的综合问题

第二课时

最值、范围、证明问题

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

R

热点命题

深度剖析

考点一 最值问题
x

2 2 【例 1】 (2015· 浙江)已知椭圆 2 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直 1 线 y=mx+2对称。

(1)求实数 m 的取值范围;

【解】
2

1 由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为 y=-mx+b。由

?x +y2=1, ?2 ? 1 ?y=-m x+b, ?
1 1? 2b 2 2 消去 y,得 2+m2? x - x + b -1=0。 ? m ?
? ? ? ?

1 x2 2 因为直线 y=-mx+b 与椭圆 2 +y =1 有两个不同的交点, 所以 Δ=- 4 2b2+2+m2>0,① mb ? ? 2mb 1 将 AB 中点 M?m2+2,m2+2?代入直线方程 y=mx+2,解得 b=- ? ? m2+2 2m2 。② 6 6 由①②得 m<- 3 或 m> 3 。
2

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)。
【 解 】
4


2

? ? ? 1 6 6? ? ? ? t = m ∈ - ,0 ∪ 0, ? , 则 |AB| = 2? ? 2 ? ?

3 -2t +2t +2 t2+1· , 1 t2+2 1 t +2 且点 O 到直线 AB 的距离为 d= 2 。 t +1
2

1 1 设△AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)=2|AB|· d=2 1 当且仅当 t2=2时,取等号。 2 故△AOB 面积的最大值为 2 。

1? 2 2 -2 t -2? + 2 ≤ ? 2, ?

? ? 2 ? ?

【规律方法】

圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种:一是几

何法,用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法, 常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利

用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。

变式训练 1 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1)。

(1)求抛物线 C 的方程;

p 解 由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),则2=1,所以抛物 线 C 的方程为 x2=4y。

(2) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A , B 两点。若直线 AO , BO 分别交直线 l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值。
解 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 AB 的方程为 y=kx+1。
?y=kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, ?x =4y,

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4。 从而|x1-x2|=4 k2+1。 y ? ?y=x1x, 2x1 2x1 8 1 由? 解得点 M 的横坐标 xM= = = 。 2 x x - y 4 - x 1 1 1 1 ? x1- 4 ?y=x-2,

同理点 N 的横坐标 xN=

8 。 4-x2

8 ? ? 8 所以|MN|= 2|xM-xN|= 2?4-x -4-x ? ? 1 2?
? ? 8 2 k2+1 x1-x2 ?= =8 2? 。 x x - 4 ? x + x ? + 16 |4k-3| ? 1 2 ? 1 2

t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= 4 。 当 t>0 时,|MN|=2 2 当 t<0 时,|MN|=2 2 25 6 t2 + t +1>2 2。
? ? ? ?

5 3? 16 8 ?2 + + t 5? 25≥5 2。 ?

25 4 8 综上所述,当 t=- 3 ,即 k=-3时,|MN|的最小值是5 2。

考点二 范围问题
x2 y2 【例 2】 已知圆 G:x +y -2x- 2y=0 经过椭圆a2+b2=1(a>b>0)
2 2

5 的右焦点 F 及上顶点 B。过椭圆外一点 M(m,0)(m>a)作倾斜角为6π 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点。 (1)求椭圆的方程;
【解】 ∵圆 G:x2+y2-2x- 2y=0 经过点 F,B, ∴F(2,0),B(0, 2)。∴c=2,b= 2。
2 2 x y ∴a2=b2+c2=6,故椭圆的方程为 6 + 2 =1。

(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求实数m的取值范围。
3 【解】 由题意知直线 l 的方程为 y=- 3 (x-m),m> 6,

?x +y =1, ?6 2 由? ?y=- 3?x-m?, 3 ?
消去 y,得 2x2-2mx+(m2-6)=0。 由 Δ=4m2-8(m2-6)>0,解得-2 3<m<2 3。 ∵m> 6,∴ 6<m<2 3。设 C(x1,y1),D(x2,y2), m2-6 则 x1+x2=m,x1x2= 2 ,

2

2

? ?? ? 1 m m2 3 3 ?- ?x2-m??= x1x2- (x1+x2)+ 。 ∴y1y2=?- ?x1-m??· 3 3 3 ? ?? 3 ? 3

→ =(x -2,y ),FD → =(x -2,y ), ∵FC 1 1 2 2 m+6 4 m2 → → ∴ FC · FD = (x1 - 2)(x2 - 2) + y1y2 = 3 x1x2 - 3 (x1 + x2) + 3 + 4 = 2m?m-3? 。 3 →· → <0, ∵点 F 在圆 E 的内部,∴FC FD 2m?m-3? 即 <0,解得 0<m<3。 3 又 6<m<2 3,∴ 6<m<3, 故 m 的取值范围是( 6,3)。

【规律方法】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的

取值范围。
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立 两个参数之间的等量关系。

(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围。
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围。 (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值

域,从而确定参数的取值范围。

变式训练 2 已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0) 1 → =4AB →。 相交于 B,C 两点。当直线 l 的斜率是2时,AC (1)求抛物线 G 的方程;

1 1 解 设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,l 的方程为 y=2(x +4),即 x=2y-4。
?x2=2py, 由? 得 2y2-(8+p)y+8=0, ?x=2y-4,

y y =4, ? ?12 所以? 8+p ? ?y1+y2= 2 ,

① ②

→ =4AB → ,所以 y =4y 。③ 又因为AC 2 1 由①②③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2, 得抛物线 G 的方程为 x2=4y。

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求实数b的取值范围。
解 设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),
?x2=4y, 由? 得 x2-4kx-16k=0,④ ?y=k?x+4?,

xC+xB 所以 x0= 2 =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k。 1 所以线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=-k(x-2k), 所以线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程④,由 Δ=16k2+64k>0,得 k>0 或 k<-4。 从而实数 b 的取值范围是(2,+∞)。

考点三

证明问题
x2 y2 如图,设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只

【例 3】

有一个公共点 P,且点 P 在第一象限。

(1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标;

【解】 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0), kx+m, ? ?y= 由? x2 y2 消去 y,得 + = 1 , ? ?a2 b2 (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0。 由于 l 与椭圆 C 只有一个公共点,故 Δ=0, 即 b2-m2+a2k2=0, a km bm ? ? - , 解得点 P 的坐标为? b2+a2k2 b2+a2k2?。 ? ? 又点 P 在第一象限,
? -a2k ? b2 故点 P 的坐标为? 2 2 2, 2 2 2?。 b + a k b + a k? ?
2 2

(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a -b 。
【解】 由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky =0, 所以点 P 到直线 l1 的距离
? -a2k b2k ? ? 2 2 2+ 2 2 2? b +a k ? ? b +a k

d=

1+k2 a2-b2

, ,

整理得 d=

2 b b2+a2+a2k2+k2

2 b 因为 a2k2+k2≥2ab,

所以

a2-b2 =a-b, 2≤ 2 2 b b + a + 2 ab b2+a2+a2k2+k2

a2-b2

b 当且仅当 k2=a时取等号。 所以点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b。

【规律方法】
法。

圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线

上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反证

变式训练 3 (2015· 吉林长春质监)在△ABC 中,顶点 B(-1,0),C(1,0), →∥BC →。 G,I 分别是△ABC 的重心和内心,且IG (1)求顶点 A 的轨迹 M 的方程;
1 1 解 由题意知 S△ABC=2(|AB|+|AC|+|BC|)· r=2|BC|· |yA|,且|BC|=2,|yA| =3r,其中 r 为内切圆半径,化简得|AB|+|AC|=4,顶点 A 的轨迹是以 B, C 为焦点,4 为长轴长的椭圆(去掉长轴端点),其中 a=2,c=1,b= 3, x2 y2 所以轨迹 M 的方程为 4 + 3 =1(y≠0)。

(2)过点C的直线交曲线M于P,Q 两点,H 是直线x=4上一点,设直线
CH,PH,QH的斜率分别为k1,k2,k3,试比较2k1与k2+k3的大小,并加以 证明。
解 2k1=k2+k3,以下进行证明:

当直线 PQ 的斜率存在时, 设直线 PQ:y=k(x-1),且 P(x1,y1),Q(x2, y2),H(4,m),
2 2 x y ? ? 4 + 3 =1, 联立? 消元得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, Δ=(-8k2)2 ? ?y=k?x-1?,

-4(3+4k2)(4k2-12)>0, 4k2-12 8k2 可得 x1+x2= ,x x = 。 3+4k2 1 2 3+4k2

y1-m y2-m m 由题意:k1= 3 ,k2= ,k3= 。 x1-4 x2-4 ?y1-m??x2-4?+?y2-m??x1-4? k2+k3= ?x1-4??x2-4? 8m+8k+2kx1x2-?m+5k??x1+x2? = x1x2-4?x1+x2?+16 24mk2+24m = 36k2+36 2m = 3 =2k1。
? 3? 3? ? ? 当直线 PQ 的斜率不存在时,不妨取 P 1,2?,Q?1,-2? ?,则 k2+k3= ? ? ? 3 3 m-2 m+2 2m + = 3 3 3 =2k1。 综上可得 2k1=k2+k3。 ? ? ? ?

S

思想方法

感悟提升

⊙1个方法——求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个
函数的值域,确定目标的范围。在建立函数的过程中要根据题目的其他已 知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在

建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结
为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围。

⊙2类问题及解法——圆锥曲线中常见最值问题及解题方法

(1) 两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问
题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之 相关的一些问题。

(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特
征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论 能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最

值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解。


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