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四川省南充高中2013届高三上学期第三次月考 数学理


南充高中 2010 级高三(上)第三次月考

数学试题(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 ? 1.若 tan ? ? ,则 tan(? ? ) 等于(
2 4

) C.
3 2

A. 3 A. ?1, 2, 4?

B. ?3 B. ?2, 3, 4?

D. ?

2.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 (CU A) U B 为( C. ?0, 2, 4? D. ?0, 2, 3, 4? ) 3.若纯虚数 z 满足 (2 ? i ) z ? 4 ? bi , i 是虚数单位, b 是实数) ( ,则 b ? ( A.8 B. ? 8
a b

3 2



C. 2 )

D. ? 2

4. log3 a ? log3 b ”是“ ? “ A.充分不必要条件 C.充要条件

?1? ?1? ? ? ? ? ”的( ?2? ?2?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 5.命题 p : ?x ? R ,函数 f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 3 ,则( 2 A. p 是假命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 3 2 B. p 是假命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 3 2 C. p 是真命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 3 2 D. p 是真命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 3

6.已知数列 {an }满足an ?1 ? an ? 1(n ? N ? ), 且a2 ? a4 ? a6 ? 18, 则 log3 (a5 ? a7 ? a9 ) 的 值为( A.-3 ) B.3 C.2 D.-2 )

7.已知函数 f ( x) ? e|ln x| ? | x ?

1 | ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的大致图象为( x

8.已知向量 a 、 b ,其中| a | ? 2 ,| b | ? 2 ,且( a - b )⊥ a ,则向量 a 和 b 的夹角 是( A. ) B.

? 4

? 2

C.

3? 4

D. ?

π 5π 9. 右图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间?-6, 6 ?上的图象, 为了得到这个函数的图象, ? ?

第 1 页 共 7 页

只要将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点(



π A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩 6 1 短到原来的 ,纵坐标不变 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 10.已知函数 f ( x) ? ax ? ( b ? 1) x ? b ? 1,且 a ? (0, 4),则对于任意的 b ? R ,函数
2

F ( x) ? f ( x)? x总有两个不同的零点的概率是(
A.



1 3

B.

1 4

C.

2 3

D.

3 4

11. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)( c ?0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E , a 2 b2 ??? 1 ???? ??? ? ? 延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P ,O 为坐标原点,若 OE ? (OF ? OP) ,则双曲线的离心 2 率为( )
3? 3 2

A.

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

1? 3 2

2 2 2 2 2 2 12. 设函数 f ( x) ? ( x ? 12 x ? c1 )(x ? 12 x ? c 2 )(x ? 12 x ? c3 )(x ? 12 x ? c 4 )(x ? 12x ? c5 )(x ? 12x ? c6 ) ,

* 设集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x 2 , ? , x9 , x10 , x11} ? N ,

设 c1 ? c 2 ? c3 ? c 4 ? c5 ? c6 ,则 c1 ? c 6 ? ( A.27 B.26

) D.24

C.25

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

? 2x ( x ? 3) 13.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f (2012) =____________. ? f ( x ? 3) ( x ? 3)
14.曲线 C : f ( x) ? sin x ? e ? 2 在 x ? 0 处的切线方程为
x
? ?

.

15.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km, B 船在灯塔 C 北偏 西 40 处, A 、 B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为____________km. 16.设函数 f (x ) 是定义域为 R 的函数,有下列命题: ①对任意 x ? R , f ( x) ? f (2 ? x) 成立,那么函数 f (x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称; ②对任意 x ? R , f ( x) ? f (1 ? x) ? 0 成立,那么函数 f (x ) 的图像关于点(1,0)对称; ③对任意 x ? R , f (3x) ? f (3x ? 1) 成立,那么函数 f (x ) 是周期为 1 的周期函数; ④对任意 x ? R , f (1 - x) ? f ( x ? 1) ? 0 成立,那么函数 f (x ) 是奇函数. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)
第 2 页 共 7 页

三、解答题(74 分) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x . ?4 ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)当 x ? ? , ? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值. 4 2

?π π? ? ?

18. (本小题满分 12 分)在 △ABC 中,内角 A B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 , c ? 2,C ? ? . 3 (Ⅰ)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意

n ? N * ,满足关系 S n ? 2a n ? 2 .
(Ⅰ)证明: ?a n ? 是等比数列; (Ⅱ)令 bn

? log 2 a n , 求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

20. (本小题满分 12 分) 如图 PDCE 为矩形,ABCD 为梯形, 平面 PDCE ^ 平面 ABCD ,

? BAD

? ADC

90 , AB = AD =

1 CD = a , PD = 2a . 2

(Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC // 平面 MDE ; (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值.

P

E

M
D A B
C

21. (本小题满分 12 分)已知 M 是以点 C 为圆心的圆 ( x ? 1) ? y ? 8 上的动点,定点
2 2

???? ? ??? ??? ???? ? ? ? D (1, 0). P 在 DM 上, N 在 CM 上, 点 点 且满足 DM ? 2 DP, NP ? DM ? 0 . 动点 N
的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)线段 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积 S 的取值范围.
第 3 页 共 7 页

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? 直线 y ? 2 x ? 1 平行. (Ⅰ)求 a , b 满足的关系式;

b ? 2 ? 2a(a ? 0) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与 x

(Ⅱ)若 f ( x) ? 2 ln x在[1,+?) 上恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)证明: 1 ? ?

1 1 1 1 n ? ???? ? ? ln(2n ? 1) ? (n ? N * ) . 3 5 2n ? 1 2 2n ? 1

南充高中 2010 级高三(上)第三次月考 数学参考答案(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B 11 B 12 C 二、 填空 题

(每小题 4 分,共 16 分) 13. 4 14. y ? 2 x ? 3 15. 6 ? 1 16. ①③④ 三. 解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?

? π? ? ? 1 ? 2 s i?n x 2 ? ? 3? ?

?π ?? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

………………………………4 分 ………………………………5 分

所以最小正周期 T ? ?

π π 3π 由 +2k? ≤ 2 x ? ≤ ? 2k?,k ? Z 2 3 2 5π 11π 得 +k? ≤ x ≤ ? k?,k ? Z 12 12 11 ? ? 5? ? ? 单调递减区间为 ? +k? , +? ? ,k Z k ? ………………………8 分 12 ?1 2 ?

第 4 页 共 7 页

(2)∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)m a x? , f ( x )m ?n .………………………………12 分 3 2 i
18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 .………………4 分 2

解得 a ? 2 , b ? 2 .………………………6 分 ? ab ? 4, (Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,…………………………………8 分 4 3 2 3 ? ? 当 cos A ? 0 时, A ? , B ? , a ? ,b ? , 3 3 2 6 当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , ? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a, 所以 △ABC 的面积 S ?

? a 2 ? b 2 ? ab ? 4,

1 2 3 ab sin C ? .……………………………………12 分 2 3
① ∴ S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2(n ? N *) ②

19.(本小题满分 12 分) 证明:∵ S n ? 2a n ? 2(n ? N *)

②-①,得 a n ?1 ? 2a n ?1 ? 2a n (n ? N *) ∵ a n ? 0,

?

a n ?1 ? 2 (n ? N *) an
…………………………………6 分

故:数列{an}是等比数列 (2)? S n ? 2a n ? 2,? a1 ? 2a1 ? 2,? a1 ? 2 由(1) a n ? a1 2 n ?1 ? 2 n , bn

? log2 a n ? n, ?

1 1 ? bn bn ?1 n(n ? 1)

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ??????+ = + + + ?????? + b1b 2 b 2 b3 b3 b 4 bn bn ?1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ( n ? 1)

=1?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) ? 1? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

……………12 分

20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN , ?PAC 中,

M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点

∴ MN // AC …………2 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE …………4 分 (Ⅱ) 设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原点,分别以

DA, DC , DP 所
在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则 P(0, 0, 2a), B(a, a, 0), C (0, 2a, 0)

??? ? ??? ? PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a, 0) ……6 分
第 5 页 共 7 页

设平面 PAD 的单位法向量为 n1 , 则可设 n1 ? (0,1, 0) …………7 分 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有

??

??

?? ?

?? ??? ? ? ?n2 ?PB ? ( x, y,1)? a, a, ? 2a) ? 0 ( ? ? ? ??? ??? ( ?n2 ?BC ? ( x, y,1)? ?a, a, 0) ? 0 ?
?? ? ?ax ? ay ? 2a ? 0 ?x ? ? 2 ,所以 n2 ? ( 2 , 2 ,1) …………10 分 即: ? ,解得: ? ? 2 2 ??ax ? ay ? 0 ? 2 ?
?y ? 2 ? ? 2

?? ?? ? 2 n1 ? n2 1 ? ∴ cos ? ? ??? ?? ? 2 ? | n1 || n2 | 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值为 21.(本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ)? DM

…………11 分

1 2

…………12 分

??? ??? ???? ? ? ? ? 2 DP, NP ? DM ? 0. ∴ NP 为 DM 的垂直平分线,∴ | ND |?| NM | ,
…………2 分 ∴动点 N 的轨迹是以点 C (?1, 0), D(1, 0) 为焦点的长轴为 2 2 的椭圆. ∴轨迹 E 的方程为

???? ?

| | 又? CN | ? | NM |? 2 2,? CN | ? | DN |? 2 2 ? 2.

x2 ? y 2 ? 1. 2

…………4 分

(Ⅱ)∵线段 AB 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A、O、B 能构成三角形, 则弦 AB 不能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,

? y ? kx ? b, ? 由 ? x2 ,消去 y ,并整理,得 2 ? ? y ? 1. ?2 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

2(b 2 ? 1) 4kb , x1 x2 ? 。 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

…………6 分

?| AB |? 2, ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? 2. ? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 , ? ?
2 ?? 4kb ? 8(b 2 ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) ?? ? ? ? ? 4, 2 ? 1 ? 2k 2 ? ?? 1 ? 2k ? ? ? 1 1 ? ? 2(1 ? b 2 ) ,?1 ? k 2 ? 1 ,? ? b 2 ? 1 . 2 1? k 2 |b| 又点 O 到直线 AB 的距离 h ? , 1? k 2

…………8 分

第 6 页 共 7 页

?S ?

1 1 1 | AB | ?h ? h ,? S 2 ? h2 ? 2b 2 (1 ? b 2 ) ? ?2(b 2 ? ) 2 ? …………10 分 2 2 2 2 1 ? 0 ? S 2 ? ,? 0 ? S ? . …………12 分 2 2
b ,根据题意 f ?(1) ? a ? b ? 2 ,即 b ? a ? 2 ……………3 分 x2 a?2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ax ? ? 2 ? 2a , x a?2 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln x ? ax ? ? 2 ? 2a ? 2 ln x , x ? ?1, ?? ? x 2?a a ( x ? 1)( x ? ) a?2 2 a ? = 则 g (1) ? 0 , g ?( x) ? a ? x x2 x2 2?a ?1 , ①当 0 ? a ? 1 时, a
若1 ? x ?

22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? a ?

2?a ? 2?a ? ' ,则 g ( x ) ? 0 , g ( x) 在 ?1, ? 是减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , a ? a ?

即 f ( x) ? 2 ln x 在 [1, ?? ) 上不恒成立. ② a ? 1 时,

2?a ? 1 , x ? 1 时,g ' ( x ) ? 0 ,g ( x) 在 [1, ??) 是增函数, g (1) ? 0 , 当 又 a

所以 f ( x) ? 2 ln x . 综上所述,所求 a 的取值范围是 [1, ?? ) ………………………8 分

(Ⅲ) (Ⅱ) 有 知当 a ? 1 时,f ( x) ? 2 ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立. a ? 1 得 x ? 取

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 , n ? N *得 , ? ? 2 ln 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2n ? 1 即1 ? ? (1 ? ) ? 2 ln 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 所以 ? ln ? ( ? ) 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2 n ? 1
令x ? 上式中 n=1,2,3,…,n,然后 n 个不等式相加得到

1 ? 2 ln x x

1 1 1 1 n ……………………14 分 1? ? ? … ? ? l n (n2 ? ) ? 1 3 5 2? 1 2 n n2 ? 1

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