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《方程的根与函数的零点》教学设计


人教社·普通高中课程标准实验教科书 必修1 · 第三章 函数的应用

方程的根与函数的零点

单位:xxxxx中学 姓名:xxx

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《方程的根与函数的零点》教学设计
英德中学 徐贵玉
一、教材、学情分析 1、从近几年高考试题看,函数的零点与方程的根的问题是高考的热点,题型 以客观题为主。本节内容体现了“等价转化思想”、“函数与方程思想”、“数 形结合思想”,揭示了方程与函数之间的本质联系,起着承上启下的作用。 2、 学生已有的认知基础是初中学习过的解方程和一、二次函数的图像与性质, 初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系。在高中阶段,学生已经学习了 函数的概念与性质,研究并掌握了部分基本初等函数的图象与性质。 二、教学目标 知识与技能:
1.结合一次、 二次函数的图像理解函数零点的定义, 会判断方程根的存在性及根的个数; 2.了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系; 3.知道判定函数的零点存在的条件,能找到零点所在的区间.

过程与方法:
1. 体验二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系, 探究方 程的根与函数的零点的联系; 2.经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程,提高发现、提出、解决问题的能力; 3. 在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想,并能用该思想主动来 研究问题.

情感态度与价值观:
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.

三、教学重难点
重点:了解函数零点与方程根之间的联系,掌握零点的概念。 难点:通过探究函数的零点问题,掌握求函数零点的方法。

四、教法学法
以问题为载体,学生活动为主线,以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法,构建学 生自主探究、合作交流的平台

五、教学程序与环节设计:
创设情境 结合一次、二次方程与二次函数引入课题.

新课讲授

组织探究,构建函数零点的概念.

尝试练习

求根法为练习重点.

探索研究

进一步探索图像法求函数零点.

交流小结

2 总结求函数零点的方法.

教学过程与操作设计:
环 节 教学内容设置 一、提出问题:求下列方程的实数根,画出对应函数的简图。 (1). 3x ? 3 ? 0 (2). x ? 4 ? 0
2

师生 双边 互动 师:引导学 生画图

y ? 3x ? 3

y ? x2 ? 4
y? 1 x

(3).

1 ?o x

二、引入新知

生:交流讨 论,完成解 答;观察、 探究、 总结、 概括得出结 论。 师:由特殊 到一般,引 出零点的概 念。

创 设 情 境 师:对定义 进行认知巩固-小结, 进一步理解 函数零点的 意义。 生:仔细体 会感悟函数 零点的概 念,完成判 断题。

一、判断对错 1.函数 f ( x) ?

1 有零点。 x

2、函数 f ( x) ? x ? 1(2 ? x ? 10) 有零点 x ? 1 3、函数 f ( x) ? x ? 1 的零点是(1,0) 。

3

二、完成表格,并观察一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根与相
2

应二函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 图象与
2

x

轴交点的关系?

师:掌握二 次函数零点 分布情况。 生:熟悉二 次函数图 像,用数形 结合的思想 得结论。

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像 图象与 x 轴的交点
例 1.求函数的零点 1、 f ? x ? ? x( x ?1)( x ? 3) 2、 f ? x ? ? 2x ? 2 组 用求根法求零点步骤为: (1)令 f(x)=0; (2)解方程 f(x)=0; (3)写出零点。 问题探究二 现在有两组镜头(如图) ,哪一组能说明她的行程一定有过河? 究 进一步理解 函数零点的 意义,并完 成例题。 师生讨论 小结: 师:创设情 景,提出问 题。 生:自主探 究,得出零 点存在定理 所需的条 件。





例 分析:把小河抽象成平面直角坐标系的的 x 轴,让学生思考、画出过河 可能的路线图。
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零点存在性定理 如果函数 y = f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a)·f (b)<0 那么,函数 y = f (x)在区间[a,b]内有零点, 即存在 c∈(a,b),使得 f (c) = 0 这个 c 也就是方程 f (x) = 0 的根 抢答二:判断对错 1、若函数 y ? f ( x) 满足 f (a) f (b) ? 0 ,则函数在区间 ( a, b) 上至少有 一个零点。 2.若函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且函 数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点,则 f (a) ? f (b) ? 0 师:强化零 点存在定理 的条件。 生:对定理 应用的的每 个条件都 分析到位。 师:求零点 还有其它方 法吗?引导 学生回顾三 个等价结论 生:思考讨 论 师:引导学 生探索图像 法判断函数 零点的个 数。 生:画出函 数的图象, 结合图象确 定零点所在 的区间.为 下节课“二 分法”的教 学埋下伏 笔。



例2

求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数。 方案一:用零点存在定理; 方案二:画出函数图像,判断其图像与 x 轴交点的个数。 解析一:先画表可知: f(2)<0,f(3)>0,即 f(2)· f(3)<0,且图象连续, 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数 f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数,所以它仅有一个零点。 解析二:函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数

? 方程 lnx+2x-6=0 根的个数 ? 函数 h(x)=lnx 与 g(x)=-2x+6 图像交点的个数
函数 h(x)=lnx 和 g(x)=-2x+6 的交点只有一个, 所以 f(x)=lnx+2x- 6 的 零点只有一个。

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请同学们谈谈你的收获: 生:讨论小 结,共同反 思,优化学 生的认知结 构,培养学 生自觉独立 学习习惯, 提升在学习 中反思小结 的能力。 师:对学生 的小结给予 肯定并补充 完善。

小结: ? ? ? ? 收 获 与 体 会 作业: 必做:

一个定义 三个等价关系 一个定理 三个数学思想:函数与方程、数形结合的思想、转化思想

1.若函数 f ? x ? ? 2x ? a 的零点为 2,则实数 a 的值为______ 2.若函数 f ? x ? ? 2x ? a 的零点为正数,求实数 a 的取值范围。 9 3.函数 f(x)=lg x- 的零点所在的大致区间是( x A.(6,7) 选做: B.(7,8) C.(8,9) )

D.(9,10)

1.讨论函数 f ( x) ?| x2 ? 2 x | ?a 零点的个数 教学反思: 新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式,本节课在概念的形成和深化、定理的概括 和应用方面,都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会.教师主要起引导作 用, 充分信任学生、 依靠学生. 只有充分激活了学生的思维, 这节课的各环节才能顺利推进, 内容才会丰富充实,方法才会异彩纷呈.所以这节课总的设计理念是以学生为主体. 新课标注重提高学生的数学思维能力,本节课让学生直观感知概念,观察发现规律,归 纳概括定理,对思维能力有一定的要求。 . 概念与定理的建立是一个感知、探究的过程,不仅关注知识的掌握,也关注学生的学习 过程,把体验、尝试、发现的机会交给学生. 教法与学法归纳为: 紧扣教材、重组教材;信任学生、依靠学生; 学生主体、教师主导;注重思维、注重过程

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