当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学选修2-2导数部分复习题模板教师版王斌


………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

高中数学选修 2-2 导数部分复习题汇编
一、选择题 1、如果质点 A 按照规律 s=3t2 运动,则在 t0=3 时的瞬时速度为( A.6 C.54 [答案] B 2、函数 y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c 为常数)在 x=2 时的瞬时变化率等于( A.4a C.b [答案] D 3、 一物体作直线运动, 其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2, 则物体的初速度为( A.0 C.-2 [答案] B f(x)-f(a) 1 4、设 f(x)= ,则 li m 等于( →a x x x-a 1 A.- a 1 C.- 2 a [答案] C 5、如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 [答案] B 3 1 6、曲线 y= x2-2 在点?1,-2?处切线的倾斜角为( ? ? 2 A.1 5 C. π 4 π B. 4 π D.- 4
高二数学 第 1 页(共 24 页)

[答案] B 7、曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 B.y=-3x+2 D.y=4x-5 )

)

C.y=-4x+3 [答案] B

B.18 D.81

学号_____________

8、设 f(x)为可导函数, 且满足lim →
x 0

f(1)-f(1-2x) =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1)) 2x

2013 年 3 月

处的切线斜率为( ) A.2 C.1 [答案] B )

) B.-1 D.-2

B.2a+b D.4a+b

天津市高二年级试卷

9、 已知曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8, f(5)及 f′(5)分别为( 则 A.3,3 C.-1,3 [答案] B 10、 曲线 f(x)=x3+x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1, P 点的坐标为( 则 B.3,-1 D.-1,-1

)

B.3 D.3-2t

)

)

A.(1,0)或(-1,-4) C.(-1,0) [答案] A

B.(0,1) D.(1,4)

姓名

2 B. a 1 D. 2 a

2 11、设点 P 是曲线 y=x3- 3x+ 上的任意一点,P 点处的切线倾斜角为 α,则 α 的 3 取值范围为( ) ) π 5 B.?0,2?∪?6π,π? ? ? ? ? π 5 D.?2,6π? ? ?

B.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在

π 2 A.?0,2?∪?3π,π? ? ? ? ? 2 C.?3π,π? ? ? [答案] A

班级

)

12、设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范 π 围为[0, ],则点 P 横坐标的取值范围为( 4 1 A.[-1,- ] 2 )

B.[-1,0]

高二数学 第 2 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

C.[0,1] [答案] A [解析] 考查导数的几何意义.

1 D.[ ,1] 2

3

A.

36 6
[答案]A

3

B.-

36 6

C.

2 3

D.

2 或0 3

π ∵y′=2x+2,且切线倾斜角 θ∈[0, ], 4 ∴切线的斜率 k 满足 0≤k≤1,即 0≤2x+2≤1, 1 ∴-1≤x≤- . 2 13、已知 f(x)=f′(1)x2,则 f′(0)等于( A.0 C.2 [答案] A π π 14、曲线 y=xsinx 在点?-2,2?处的切线与 x 轴、直线 x=π 所围成的三角形的面积 ? ? 为 ( π A. 2
2

18、函数 y=sin2x-cos2x 的导数是( π A.2 2cos?2x-4? ? ? C.sin2x+cos2x ) [答案] A

)

学号_____________

B.cos2x-sin2x π D.2 2cos?2x+4? ? ?

2013 年 3 月

B.1 D.3

19、函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D B.(0,3) D.(2,+∞)

)

天津市高二年级试卷

20、已知函数 y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率 k=(x0-2)(x0+1)2,则 ) 该函数的单调递减区间为( A.[-1,+∞) C.(-∞,-1)和(1,2) [答案] B 21、已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四 个图象中,y=f(x)的图象大致是( ) ) B.(-∞,2] D.[2,+∞)

B.π2 1 D. (2+π)2 2

C.2π2 [答案] A

姓名

15、 f0(x)=sinx,1(x)=f0′(x),2(x)=f1′(x), fn+1(x)=fn′(x), 设 f f ?, n∈N, f2011(x) 则 等于( ) B.-sinx D.-cosx

A.sinx C.cosx [答案] D

班级

16、f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) C.f(x)=g(x)=0 [答案] B 17、若曲线 y=x2-1 与 y=1-x3 在 x=x0 处的切线互相垂直,则 x0 等于(
高二数学 第 3 页(共 24 页)

) B.f(x)-g(x)为常数 D.f(x)+g(x)为常数

)
高二数学 第 4 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

C.f(0)+f(2)≥2f(1) [答案] C

D.f(0)+f(2)>2f(1)

[解析] 由(x-1)f′(x)≥0 得 f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或 f(x)恒为常数, 故 f(0)+f(2)≥2f(1).故应选 C. [答案] C 22、函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π π A.?-π,-2?和?0,2? ? ? ? ? π π B.?-2,0?和?0,2? ? ? ? ? π π C.?-π,-2?和?2,π? ? ? ? ? π π D.?-2,0?和?2,π? ? ? ? ? [答案] A 23、已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,g′ (x)>0,则 x<0 时( ) B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 A.1 个 C.3 个 [答案] A 28、已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( B.bf(b)≤f(a) D.bf(a)≤af(b) A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D 1 [解析] ∵y′=1- (x2+1)′ 1+x2 ) =1- (x-1)2 2x = 2 x +1 x +1
2

学号_____________

26、函数 y=1+3x-x3 有( ) A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 [答案] D

)

天津市高二年级试卷

2013 年 3 月

27、函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 [答案] B

姓名

B.2 个 D.4 个

24、f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、b,若 a<b,则必有( A.af(a)≤f(b) C.af(b)≤bf(a) [答案] C [解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且 x>0,f(x)≥0, f(x) ∴f′(x)≤- ,即 f(x)在(0,+∞)上是减函数, x 又 0<a<b,∴af(b)≤bf(a). 25、对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
高二数学 第 5 页(共 24 页)

)

)

班级

高二数学 第 6 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值,故应选 D. 29、 已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点, 则函数 f(x)的极值是( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 C.极大值为 0,极小值为- 27 4 D.极大值为- ,极小值为 0 27 [答案] A 30、函数 y=x +x -x+1 在区间[-2,1]上的最小值为( 22 A. 27 C.-1 [答案] C 31、若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围 是 ( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由 y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k- 1<-2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. 32、函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞) C.(-3,+∞) B.[-3,+∞) D.(-∞,-3)
高二数学 第 7 页(共 24 页)
3 2 3 2

[答案] B [解析] ∵f(x)=x3+ax-2 在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0 在[1,+∞) 上恒成立 ) 即 a≥-3x2 在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3 ∴a≥-3,故应选 B. 33、已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 1 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C ) [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算. ∵x>0,y′=-x2+81=(9-x)(9+x), 令 y′=0,解得 x=9,所以 x∈(0,9)时,y′>0, x∈(9,+∞)时,y′<0,y 先增后减. ∴x=9 时函数取最大值 34、某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x)=1200+ ) 2 3 x ,又产品单价的平方与产品 75 ) B.11 万件 D.7 万件 )

天津市高二年级试卷

学号_____________

2013 年 3 月

B.2 D.-4

姓名

件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为( A.25 件 C.15 件 [答案] A B.20 件 D.30 件

[解析] 设产品单价为 a 元,又产品单价的平方与产品件数 x 成反比,即 a2x=k,由 500 题知 k=250000,则 a2x=250000,所以 a= . x 2 总利润 y=500 x- x3-1200(x>0), 75 y′= 250 2 2 - x, x 25

班级

)

由 y′=0,得 x=25,当 x∈(0,25)时,y′>0, x∈(25,+∞)时,y′<0,所以 x=25 时,y 取最大值.
高二数学 第 8 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

? 2 ?x 35、设 f(x)=? ? ?2-x

(0≤x<1) (1≤x≤2)

,则?2f(x)dx 等于(

39、一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 ) 运动到 x=3 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为( A.8J C.12J [答案] D [解析] 由变力做功公式有:W=?3(4x-1)dx=(2x2-x)|1 =14(J),故应选 D.
3

?0

)

3 A. 4 5 C. 6 [答案] C 36、?3|x2-4|dx=(

4 B. 5 D.不存在

B.10J D.14J

学号_____________

?1

2013 年 3 月

?0

) 40、曲线 y= e?2x +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 22 B. 3 25 D. 3 (A)

21 A. 3 23 C. 3 [答案] C

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1

[答案] A 二、填空题 ) 1、曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程为________. [答案] 3x-y-11=0 2、已知函数 f(x)=ax+bex 图象上在点 P(-1,2)处的切线与直线 y=-3x 平行,则函 数 f(x)的解析式是____________. 5 1 + [答案] f(x)=- x- ex 1 2 2

天津市高二年级试卷

37、如图所示,阴影部分的面积是(

姓名

A.2 3 32 C. 3 [答案] C

B.2- 3 35 D. 3

1 3、已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. 3 [答案] b<-1 或 b>2 4、已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值范围 ) 为________. [答案] a≥1 5、若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) 2x 6、函数 y= 2 的极大值为______,极小值为______. x +1 [答案] 1 -1 7、已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. [答案] (-2,2)

38、)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 C. 3 [答案] A [解析]
?y=x2 ? 由? 3 得交点为(0,0),(1,1). ? ?y=x

1 B. 4 7 D. 12

班级

1 3 1 4 1 ∴S=?1(x2-x3)dx= ?3x -4x ??1= . ? ??0 12 ?
0

高二数学 第 9 页(共 24 页)

高二数学 第 10 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

x 3 8、若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为________. 3 x +a [答案] 3-1

【解析】因为 ?

?y ? x ?y ? x ? 2

的解为 ?
3

?x ? 4 , 所 以 两 图 像 交 点 为 (4,2) , 于 是 面 积 ?y ? 2

x2+a-2x2 a-x2 [解析] f′(x)= 2 = 2 (x +a)2 (x +a)2 令 f′(x)=0,解得 x= a或 x=- a(舍去) 当 x> a时,f′(x)<0;当 0<x< a时,f′(x)>0; 当 x= a时,f(x)= ∴f(x)max=f(1)=
2

S ??

4

0

xdx ? ? ( x ? 2)dx ?
0

4

4 2 24 1 16 x ? ( x 2 ? 2x ) ? 3 2 3 0 0

学号_____________

三、解答题 1、已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于点 P 的直线方程 y=g(x). [解析] (1)y′=3x2-3. 则过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 k1=f′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2. (2)设切点坐标为(x0,x3-3x0), 0 则直线 l 的斜率 k2=f′(x0)=3x2-3, 0 ∴直线 l 的方程为 y-(x3-3x0)=(3x2-3)(x-x0) 0 0 又直线 l 过点 P(1,-2), ∴-2-(x3-3x0)=(3x2-3)(1-x0), 0 0 ∴x3-3x0+2=(3x2-3)(x0-1), 0 0 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- . 2 9 故所求直线斜率 k=3x2-3=- , 0 4

2013 年 3 月

a 3 3 = , a= <1,不合题意. 2a 3 2

1 3 = ,解得 a= 3-1. 1+a 3

天津市高二年级试卷

9、由曲线 y =2x,y=x-4 所围图形的面积是________. [答案] 18 [解析] 如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组

?y2=2x ? ? 得交点坐标为(2,-2),(8,4). ? ?y=x-4

y2 因此所求图形的面积 S=?4-2(y+4- )dy 2 ?

姓名

1 y3 y2 取 F(y)= y2+4y- ,则 F′(y)=y+4- ,从而 S=F(4)-F(-2)=18. 2 6 2 10、由曲线 y ? (A)

9 9 1 于是:y-(-2)=- (x-1),即 y=- x+ . 4 4 4 2、已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2.直线 l 与 C1、 2 都相切, C 求直线 l 的方程.

班级

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(B)4 (C)

[解析] 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x2),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2)2). 1 对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x2=2x1(x-x1),即 y=2x1x 1 -x2.① 1 对于 C2:y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x -x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2-4. 2 ②

10 3

16 3

(D)6

【答案】

16 3

高二数学 第 11 页(共 24 页)

高二数学 第 12 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x2=x2-4, 1 2 解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0. ∴直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4. 3、设函数 f(x)=x -3ax +3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f′(1)= -12,
? ?1-3a+3b=-11 即? , ? ?3-6a+3b=-12
3 2

若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0,lna) 时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1]. 5、已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 处取得极值. 1 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

天津市高二年级试卷

学号_____________

2013 年 3 月

解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x -6ax+3b=3(x -2x-3) =3(x+1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f′(x)<0,解得-1<x<3. 所以当 x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 4、设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a= 时,f(x)=x(ex-1)- x2, 2 2 f′(x)=e -1+xe -x=(e -1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′ (x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(e -1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a.
高二数学 第 13 页(共 24 页)
x x x x 2 2

f′(1)=f′(-1)=0,即 解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上是增函数. 若 x∈(-1,1),则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数. ∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x3-3x0. 0
2 ∵f′(x0)=3(x0-1),故切线的方程为

班级

姓名

y-y0=3(x2-1)(x-x0). 0 注意到点 A(0,16)在切线上,有
2 16-(x3-3x0)=3(x0-1)(0-x0). 0

化简得 x3=-8,解得 x0=-2. 0 ∴切点为 M(-2,-2), 切线方程为 9x-y+16=0.
高二数学 第 14 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

a 6、设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. a 由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.

1 当-1<x<- 时,f′(x)<0; 2 1 当 x>- 时,f′(x)>0, 2 3 1 所以 f(x)在?-4,4?上的最小值为 ? ? 1 1 f?-2?=ln2+ . ? ? 4 3 1 49 3 9 7 1 3 1 1 又 f?-4?-f?4?=ln + -ln - =ln + = ?1-ln 9 ?<0, ? ? ? ? ? 2 16 2 16 7 2 2? 3 1 1 7 1 所以 f(x)在区间?-4,4?上的最大值为 f?4?=ln + . ? ? ? ? 2 16 8、设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

天津市高二年级试卷

学号_____________

2013 年 3 月

(1)当 a=3 时,由(*)式得 解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x.



(1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. [分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明 函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不 等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明. [解析] (1)解:由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) (-∞,ln2) - 单调递减 f(x) ? 2(1-ln2+a) ? ln2 0 (ln2,+∞) + 单调递增

a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f ′ 3 (x)=ax +2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b) -4ac=9(a-1)(a-9)
2 2

姓名

解 即 a 的取值范围[1,9].

得 a∈[1,9],

3 1 7、设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2.求 f(x)在区间?-4,4?上的最大值和最小值. ? ? 3 [解析] f(x)的定义域为?-2,+∞?. ? ? 4x2+6x+2 2 f′(x)=2x+ = 2x+3 2x+3 2(2x+1)(x+1) = . 2x+3 3 当- <x<-1 时,f′(x)>0; 2
高二数学 第 15 页(共 24 页)

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0.
高二数学 第 16 页(共 24 页)

班级

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. 4x2-7 9、已知函数 f(x)= ,x∈[0,1]. 2-x (1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x∈[0,1]. 若对于任意 x1∈[0,1], 总存在 x0∈[0,1], 使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取值范围. [解析] (1)对函数 f(x)求导,得 -4x2+16x-7 (2x-1)(2x-7) f′(x)= =- (2-x)2 (2-x)2 1 7 令 f′(x)=0 解得 x= 或 x= . 2 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) - 7 2 0 1 (0, ) 2 - ? 1 2 0 -4 1 ( ,1) 2 + ? -3 1

10、在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 1 ,试求: 12 (1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程. [解析] 如图所示, 设切点 A(x0, 0), y′=2x, A 点的切线方程为 y-y0=2x0(x y 由 过 -x0), 即 y=2x0x-x2. 0 x0 x0 令 y=0 得 x= ,即 C? 2 ,0?. ? ? 2 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S, S=S 曲边△AOB-S△ABC. 1 S 曲边△AOB=∫x00x2dx= x3, 3 0 1 S△ABC= |BC|· |AB| 2 x0 1 1 = ?x0- 2 ?·2= x3, ? x0 4 0 2? 1 1 1 1 即 S= x3- x3= x3= . 3 0 4 0 12 0 12 所以 x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1. 11、已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x)=3[(x-2+ 3)(x-2- 3)] 当 x∈(-∞,2- 3)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)单调递增; 当 x∈(2- 3,2+ 3)时,f′(x)<0,f(x)在(2- 3,2+ 3)单调递减; 当 x∈(2+ 3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞)单调递增. 综上,f(x)的单调递增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞), f(x)的单调递减区间是(2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3[(x-a)2+1-a2]
高二数学 第 18 页(共 24 页)

天津市高二年级试卷

学号_____________

2013 年 3 月

1 所以,当 x∈(0, )时,f(x)是减函数; 2 1 当 x∈?2,1?时,f(x)是增函数. ? ? 当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x2-a2). 因为 a≥1,当 x∈(0,1)时,g′(x)<0. 因此当 x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[g(1),g(0)]. 又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即 x∈[0,1]时有 g(x)∈[1-2a-3a2,-2a]. 任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a ,-2a]?[-4,-3].
?1-2a-3a ≤-4,① ? 即? ? ?-2a≥-3.②
2 2

班级

姓名

5 3 解①式得 a≥1 或 a≤- ;解②式得 a≤ . 3 2 3 又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤ . 2
高二数学 第 17 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

当 1-a2≥0 时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,故 f(x)无极值点. 当 1-a <0 时,f′(x)=0 有两个根. x1=a- a2-1,x2=a+ a2-1 由题意知,2<a- a2-1<3① 或 2<a+ a2-1<3② 5 5 由①②解之得 a∈?4,3?, ? ?
2

因为对于任意的 x ?

3 ? 0,? ,有 f ( x) ? c2 恒成立,

所以 解得

9 ? 8c ? c2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) . ? ?

学号_____________

13、设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a ? -1,求 f(x)的单调区间. 【解析】由已知得函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,且 f ' ( x) ? ax ? 1 (a ? ?1),
x ?1

2013 年 3 月

?5 5? 综上,a 的取值范围为? , ?. ?4 3?
12、设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ,都有 3]
2

(1)当 ?1 ? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递减, (2)当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0, 解得 x ? 1 .
a

天津市高二年级试卷

f ( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表
'

f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围.

x
f ' ( x)
f ( x)

1 (?1, ) a

1 a

1 ( , ??) a

【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
因为函数



0 极小值

+

f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

?

?

从上表可知
即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

当 x ? (?1, 1 ) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 (?1, 1 ) 上单调递减.
a a

姓名

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
2

当 x ? ( 1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 在 ( 1 , ??) 上单调递增.
a a

f ( x) ? 2 x3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 8c ,

综上所述:当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递减. 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, 1 ) 上单调递减,函数 f ( x) 在 ( 1 , ??) 上单调递增.
a

f ?( x) ? 6 x ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 时, 1) 当 x ? (1 2) 时, , 当 x ? (2, 时, 3) 所以,当 x 则当 x ?

a

f ?( x) ? 0 ; f ?( x) ? 0 ; f ?( x) ? 0 .

14、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

班级

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (II)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2 2 ? 1, x ? (0,??), x

? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

【解析】解: (Ⅰ) 当 a ? ?1时,f ( x) ? ln x ? x ? 所以

3 ? 0,? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .

f ' ( x)

因此, f(2) 1 ? ,
高二数学 第 19 页(共 24 页) 高二数学 第 20 页(共 24 页)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 . ?????? 即 曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线斜率为 ,


f (2) ? ln 2 ? 2,

2ax ? a 2 ? 1 15、已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . x2 ? 1
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间;

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,
所以曲线

学号_____________

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(Ⅱ)因为

(Ⅲ)若 f (x) 在 [0, ??) 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围.

2013 年 3 月

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x
x ? (0,??) ,

所以

天津市高二年级试卷

ax 2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x2 x



g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1) 当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞) , 所以 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递减 (2) 当 a≠0 时,由 f(x)=0, 即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 ① 当 a=1/2 时,x1= x2, g(x)≥0 恒成立,此 x ( ??, x1 ) 时 f(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; ② 当 0<a<1/2 时,1/2-1>1>0 ? f ?( x) x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递 减 f ( x) ↘ x∈(1,1/a-1)时,g(x)>0,此时 f(x)<o,函数 f(x)单 调递减 x∈(1/a-1,+∞)时,g(x)>0,此时 f(x)<o,函数 f(x)单调递减

x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ? ?)
?

② 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , x1 ? ? a , 2 ? 令 得 x 与 f ?( x) 的情况如下:

1 ,f ( x) a

?


姓名

f ( x1 )

f ( x2 )



故 f (x) 的单调减区间是 ( ??, ? a ) , ( , ??) ;单调增区间是 ( ? a , ) . ???7 分 ③ 当 a ? 0 时, f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:

1 a

1 a

班级

x
f ?( x) f ( x)

( ??, x2 )

x2
0

( x2 , x1 )
?

x1
0

( x1 , ? ?)

?


?


f ( x2 )



f ( x1 )

高二数学 第 21 页(共 24 页)

高二数学 第 22 页(共 24 页)

天津市高二年级试卷
2013 年 3 月

班级

姓名

学号_____________

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 分

1 a

所以 f ( x) 的单调增区间是 ( ??, ) ;单调减区间是 ( ?

高二数学 第 23 页(共 24 页)

1 , ?a ) , ( ?a, ??) . a
??????9

高二数学 第 24 页(共 24 页)


赞助商链接
相关文章:
选修2-2《导数》复习专题
选修2-2《导数复习专题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学选修 2-2导数的概念及运算》复习课 一、复习教材:复习选修 2-2 课本第 32 页至第 ...
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题_数学_高中教育_教育专区。《数学选修 2-2》导数及其应用(一) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 ...
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高二数学选修 2-2 导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共...
高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案) - 导数复习 一.选择题 (1) 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2...
选修2-2 《导数及其应用》题型总结
选修2-2导数及其应用》题型总结_数学_高中教育_教育专区。《导数及其应用》题型总结 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构导数的概念 导数的几何意义...
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。对高二选修2-2导数部分题型的归纳总结,共分12种题型,难度中等,辅助学生进行知识...
选修2-2导数单元测试题(含答案)
选修2-2导数单元测试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。选修2-2导数单元测试题(含答案)2014—2015 学年下学期第 1 次周练数学试题 (理科) 2015、3、15 ...
选修2-2复习题《复数》、《导数及其应用》、《推理与证...
选修2-2复习题《复数》、《导数及其应用》、《推理与证明》_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修2-2复习题《复数》、《导数及其应用》、《推理与证明》 ...
【精品】人教版高中数学选修2-2同步章节训练题及答案全...
【精品】人教版高中数学选修2-2同步章节训练题及答案全册汇编 - 人教 A 版高中数学选修 1-2 同步训练 目 1.1.1 变化率问题 同步练习 1.1.2 导数的概念 ...
2da新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五)
2da新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五) - 导数复习 一.选择题 (1) 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??...
更多相关标签: