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数学:第二章《圆锥曲线与方程》测试(1)(新人教A版选修1-1)


圆锥曲线与方程 单元测试
A 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1.已知椭圆 (
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x2 y2 + = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

) A 2 B 3 C 5 D 7 2 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,一个焦点的坐标是(3,0) ,则椭 圆的标准方程为( )
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A

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x2 y2 + =1 9 16

B

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x2 y2 + =1 25 16

C

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x2 y2 + =1 D 16 25

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x2 y2 + =1 16 9


3

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动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )

4 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于
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3 ,则椭圆的方程是( 5
x2 y2 D. + =1 25 9

x2 y2 A. + =1 100 36

x2 y2 B. + =1 100 64

x2 y2 C. + =1 25 16


5

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抛物线 y 2 = 10 x 的焦点到准线的距离是( A
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5 2

B

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5

C

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15 2

D

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10

二.填空(每题 6 分) 6. 抛物线 y 2 = 6 x 的准线方程为_____
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7.双曲线的渐近线方程为 x ± 2 y = 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________

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8. 若曲线

x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 k 1+ k

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9.若椭圆 x 2 + my 2 = 1 的离心率为 三.解答题(13+14+14)

3 ,则它的半长轴长为_______________ 2

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10. k 为何值时,直线 y = kx + 2 和曲线 2 x 2 + 3 y 2 = 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点? 11. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y = 2 x + 1 交于 P、Q 两点,|PQ|= 15 , 求抛物线的方程
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-1-

12.椭圆的焦点为 F1 (0, ?5), F2 (0, 5) ,点 P (3, 4) 是椭圆上的一个点,求椭圆的方程

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B 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1
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以椭圆

x2 y2 + = 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16
B



A

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x2 y2 ? =1 16 48 x2 y2 x2 y2 ? = 1或 ? =1 16 48 9 27

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x2 y2 ? =1 9 27
以上都不对

C

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D

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2

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过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P、Q, F1 是另一焦点,若

∠ PF1Q = A
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π
2

,则双曲线的离心率 e 等于( B

) C

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2 ?1

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2

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2 +1

D

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2+2

3

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F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 + = 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 = 45 0 ,则 9 7


Δ AF1 F2 的面积为(

A

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7

B

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7 4

C

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7 2

D

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7 5 2

4

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以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 6 y + 9 = 0 的圆心的抛物线的方 )

程是( A C 5
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t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

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y = 3 x 2 或 y = ?3 x 2 y 2 = ?9 x 或 y = 3 x 2

B

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y = 3x 2
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D

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y = ?3 x 2 或 y 2 = 9 x


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过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则 AB 的最小值为( A
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

p 2

B

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p

C

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2p

D

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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

无法确定

二.填空: (每题 6 分) 6.椭圆 5 x 2 + ky 2 = 5 的一个焦点坐标是 (0,2) ,那么 k = ________
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

-2-

7.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率 . 为 8.若直线 x ? y = 2 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是_______
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h /: w .x y .c /w x t w p k t o j g m /c

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9. 椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的面 49 24

积为________________________. 三.解答题(13+14+14)

x2 y 2 10.已知点 P ( x, y ) 在曲线 + 2 = 1(b > 0) 上,求 x 2 + 2 y 的最大值. 4 b

11 双曲线与椭圆
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t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

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x2 y2 + = 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程 27 36

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t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

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12. k 代表实数,讨论方程 kx 2 + 2 y 2 ? 8 = 0 所表示的曲线.

-3-

C 组题(共 50 分)
1.已知抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛物 1
2

线上,且 2 x2 = x1 + x3 , 则有( A. FP + FP2 = FP3 1 C. 2 FP2 = FP + FP3 1


2 2

B. FP + FP2 1 D. FP2
2

= FP3

2

= FP·FP3 1

2. 抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部 分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是________________. 3. 已知定点 A( ?2, 3) , F 是椭圆

x2 y 2 + = 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12
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t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

使 AM + 2 MF 取得最小值时 M 点的坐标

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

4. 设动点 P 到点 A( ?1, 和 B (1, 的距离分别为 d1 和 d 2 , ∠APB = 2θ ,且存在常数 0) 0)

λ (0 < λ < 1) ,使得 d1d 2 sin 2 θ = λ

h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋
新·新·疆奎7 屯 疆奎7 屯 200· · 新·新·2 0 0 · 疆奎疆奎7 屯 屯 2 0 0 ·0 70 2

(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M ,N 两点,试 确定 λ 的范围,使 OM ? ON = 0 ,其中点 O 为坐标原点
h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

y
d1 2θ d2 A

P

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0

o

B

x

-4-

圆锥曲线与方程
A 组题(共 100 分)
一.选择题: 1.D 2.B 二.填空: 6. x = ? 3.D 4.C 5.B

3 2

7.

x2 y 2 ? = ±1 20 5

8. k > 0

9. 1, 或2

三.解答题:

10

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

解:由 ?

? y = kx + 2
2 2 ?2 x + 3 y = 6

,得 2 x + 3(kx + 2) = 6 ,即 (2 + 3k ) x + 12kx + 6 = 0
2 2 2 2

? = 144k 2 ? 24(2 + 3k 2 ) = 72k 2 ? 48
当 ? = 72k ? 48 > 0 ,即 k >
2

6 6 , 或k < ? 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 , 或k = ? 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 ? = 72k ? 48 = 0 ,即 k =
2

当 ? = 72k ? 48 < 0 ,即 ?
2

6 6 <k< 时,直线和曲线没有公共点 3 3

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

11

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

? y 2 = 2 px 解:设抛物线的方程为 y = 2 px ,则 ? , 消去 y 得 ? y = 2x +1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x + 1 = 0, x1 + x2 =

p?2 1 , x1 x2 = 2 4

AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = 5 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 × = 15 , 2 4

p2 ? p = 3, p 2 ? 4 p ? 12 = 0, p = ?2, 或6 4

∴ y 2 = ?4 x,或y 2 = 12 x
12 解:Q 焦点为 F1 (0, ?5), F2 (0, 5) ,可设椭圆方程为

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

y2 x2 + 2 = 1; a 2 a ? 25

16 9 y 2 x2 2 点 P (3, 4) 在椭圆上, 2 + 2 = 1, a = 40 ,所以椭圆方程为 + = 1. a a ? 25 40 15

B 组题(共 100 分)
-5-

一.选择题: 1.B 2.C 二.填空: 6.1 7.3 三.解答题: 10.

3.C

4.D

5.C 9.24

8. (4, 2)

解:法一:设点 P (2 cos θ , b sin θ ) , x + 2 y = 4 cos
2 2 2

2

θ + 2b sin θ = ?4sin 2 θ + 2b sin θ + 4
b 4

令 T = x + 2 y,sin θ = t , ( ?1 ≤ t ≤ 1) , T = ?4t + 2bt + 4, (b > 0) ,对称轴 t = 当

b b > 1, 即b > 4 时, Tmax = T |t =1 = 2b ;当 0 < ≤ 1, 即0 < b ≤ 4 时, 4 4 Tmax b2 =T | b= +4 t= 4 4

∴ ( x 2 + 2 y )max

? b2 ? + 4, 0 < b ≤ 4 =? 4 ?2b, b > 4 ?

法 二 : 由

x2 y 2 y2 4 y2 + 2 = 1 得 x 2 = 4(1 ? 2 ) 令 T = x 2 + 2 y 代 入 得 T = 4 ? 2 + 2 y 即 4 b b b

4 b2 2 b2 b2 b2 b2 T = ? 2 (y ? ) + 4 + ( 1 ) 当 ≤ b即0 < b ≤ 4时 x = ymax = 4 + ( 2 ) b 4 4 4 4 4 b2 当 > b时即b > 4时 x = b 4 ymax = 2b ∴ ( x 2 + 2 y )max ? b2 ? + 4, 0 < b ≤ 4 =? 4 ?2b, b > 4 ? y2 x2 ? = 1, a2 9 ? a2

11.解:由题意知双曲线焦点为F1 (0, ?3) F2 (0, 3) ,可设双曲线方程为 点 ( 15, 4) 在曲线上,代入得 a 2 = 4或a 2 = 36(舍)

∴ 双曲线的方程为

y 2 x2 ? =1 4 5
y 2 x2 ? = 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

12.解:当 k < 0 时,曲线

当 k = 0 时,曲线 2 y 2 ? 8 = 0 为两条平行于 x 轴的直线 y = 2或y = ?2 ;

x2 y 2 当 0 < k < 2 时,曲线 + = 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

-6-

当 k = 2 时,曲线 x + y = 4 为一个圆;
2 2

当 k > 2 时,曲线

y 2 x2 + = 1 为焦点在 y 轴的椭圆 8 4 k C 组题(共 50 分)

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

1.C 2. 4 3

3.显然椭圆

x2 y 2 1 + = 1 的 a = 4, c = 2, e = ,记点 M 到右准线的距离为 MN 16 12 2



1 = e = , MN = 2 MF ,即 AM + 2 MF = AM + MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM + 2 MF 取得最小值,

x2 y 2 此时 M y = Ay = 3 ,代入到 + = 1 得 M x = ±2 3 16 12
而点 M 在第一象限,∴ M (2 3, 3) 4.解: (1)在 △PAB 中, AB = 2 ,即 2 = d1 + d 2 ? 2d1d 2 cos 2θ ,
2 2 2

4 = (d1 ? d 2 )2 + 4d1d 2 sin 2 θ ,即 d1 ? d 2 = 4 ? 4d1d 2 sin 2 θ = 2 1 ? λ < 2 (常数) ,
点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,实轴长 2a = 2 1 ? λ 的双曲线
h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋
新·新·疆奎7 屯 疆奎7 屯 200· · 新·新·2 0 0 · 疆奎疆奎7 屯 屯 2 0 0 ·0 70 2

x2 y2 方程为: ? =1 1? λ λ

h t : wx 8 3 2 0 c m p/ / c. 0. o wc k 1 2 c o m x t @ 6 .

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆702 0·70 · 新疆 奎屯 奎屯 ·2 0 · 新疆270 0·70 · 新疆 奎屯 奎屯 ·2 0 ·

(2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x = 1 , M (11) , N (1, 1) 在双曲线上 , ?
h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0



1 1 ?1 ± 5 5 ?1 ? = 1 ? λ 2 + λ ?1 = 0 ? λ = ,因为 0 < λ < 1 ,所以 λ = 1? λ λ 2 2
h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0

①当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y = k ( x ? 1)

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0

? x2 y2 ? =1 ? 得: ? λ ? (1 ? λ ) k 2 ? x 2 + 2(1 ? λ ) k 2 x ? (1 ? λ )( k 2 + λ ) = 0 , 由 ?1 ? λ λ ? ? ? y = k ( x ? 1) ?
-7-

2 由题意知: ? λ ? (1 ? λ ) k ? ≠ 0 , ? ?

所以 x1 + x2 =

?2k 2 (1 ? λ ) ?(1 ? λ )(k 2 + λ ) , x1 x2 = λ ? (1 ? λ )k 2 λ ? (1 ? λ )k 2
2

h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋
新·新·疆奎7 屯 疆奎7 屯 200· · 新·新·2 0 0 · 疆奎疆奎7 屯 屯 2 0 0 ·0 70 2

k 2λ 2 于是: y1 y2 = k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = λ ? (1 ? λ )k 2

h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

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因为 OM ? ON = 0 ,且 M ,N 在双曲线右支上,所以

? x1 x2 + y1 y2 = 0 ?k 2 = λ2(1 ? λ ) λ ? λ (1 ? λ ) ? > 5 ?1 2 ? ? λ + λ ?1 ? ? 2 ?? <λ< ? x1 + x2 > 0 ? λ + λ ?1 1 ? λ ? 2 3 ? ?k 2 > λ ?λ 2 + λ ? 1 > 0 ? ? x1 x2 > 0 ? 1? λ ?
由①①知,

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5 ?1 2 ≤λ < 2 3

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