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第八章第一讲频率分布直方图


第一讲
课程目标

频率分布直方图

1. 掌握学会用频率分布表作频率直方图和频率折线图 2. 能够用频率直方图对总体分布规律进行估计。 3. 掌握茎叶图的意义及画法,并能在实际问题中用茎叶图进行数据统计。
课程重点 课程难点 教学方法建议 能够用样本的数字特征估计总体的数字特征。 利用频率分布直方图、茎叶图解决概率统计的综合问题 首先了解统计的相关定义,掌握解频率分布直方图和茎叶图的画法,利用样本的数 字特征估计总体的数字特征.然后通过历年真题对知识点进行细致梳理,对高考题 型和常用方法进行详细讲解, 最后利用不同层次的习题使学生得到有效强化巩固。 课堂精讲例题 A类 选材程度及数样 B类 C类 一:考纲解读、有的放矢 考纲解读、 统计部分要求不太高, 主要是考抽样方法与频率分布直方图和茎叶图有关的问题, 最多 一个小题(选择或填空)属样易题,但应充分注意以统计为载体、问题实质涉及期望与方差 计算的综合解答题. 核心梳理、 二:核心梳理、茅塞顿开 核心梳理 3. 作频率分布直方图的方法为: (1)把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距; (2) 以此线段为底作矩形,它的高等于该组的 ( 2)道 ( 1)道 (6)道 (1)道 ( 8)道 ( 2)道 ( 2)道 搭配课堂训练题 (2)道 课后作业 (6 )道

频率 ,这样得出一系列的矩形; (3)每个矩 组距

形的面积恰好是该组上的频率. 4. 频率折线图:如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起,就得 到一条折线,称这条折线为本组数据的频率折线图. 5. 作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者 共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从小到 大)的顺序同行列出.

1

三:例题诠释,举一反三 例题诠释, 知识点 1:利用频率分布直方图分析总体分布 : 例题1: ( 中山期末A) 例题 : 2011中山期末 )2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分 中山期末 布直方图如右图所示,时速在 [50 , 60) 的汽车大约有 ( ) A.30辆 C.300 辆 B.60辆 D.600 辆

变式: 变式:(2009 山东卷理 B)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是 A.90 B.75 C. 60 ( D.45 ). 96 98 100 102 104 106 克 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 频率/组距

变式: (2011 杭州质检 B)某初一年级有 500 名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制 变式: ( ) 成频率分布直方图(如图) ,若要从身高在 [120,130 ) , [130,140 ) , [140,150] 三组内 的学生中,用分层抽样的方法选取 30 人参加一项活动,则从身高在 [130,140 ) 内的学 生中选取的人数为 .
频率|组距

知识点 2:用样本分估计总体 : 安徽卷 ) 例题 2(2010 安徽卷 B)某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日 ( 对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒 物):

0.035

a

0.020

0.010

61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 0.005 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表; 100 110 120 130 140 150 (Ⅱ)作出频率分布直方图; (Ⅲ)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质样为优:在 51~100 之间时,为良; 在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质样给出一个简短评价.
2

身高

变式: 变式:(2009 湖北卷 B)下图是样本样样为 200 的频率分布直方图。 ) 根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落在 【6, 10】 内的频数为 10)内的概率约为 。 , 数据落在 (2,

变式: 变式:( 2009 广 东 卷 理 B ) 根据空气质样指数 API(为整数)的不同,可将空气质样分 级如下表:

对某城市一年(365 天)的空气质样进行监测,获得的 API 数据按 照区间 , , , , ,

进行分组,得到频率分布直方图如图 5. (1)求直方图中 的值; (2)计算一年中空气质样分别为良和轻微污染的天数; (3) 求该城市某一周至少有 2 天的空气质样为良或轻微污染的 概率.

3

知识点 3:用样本的数字特征估计总体的数字特征 : 例题 3(2011 华附月考 B)为了了解小学生的体能情况,抽取了某小学同年级部分学生进行 ( ) 跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右前三个 小组的频率分别是 0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为 5.

(1)求第四小组的频率; (2)参加这次测试的学生人数是多少? (3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第几小组内?

变式: (广东六校联考 ) :某校高一某班共有 64 名学生,下图是该班某次数学考试成绩的 变式: 广东六校联考 B) ( : 频率分布直方图,根据该图,估计该班同学数学成绩的平均数__________

知识点 4:茎叶图的应用 : 例题 4(2011·惠州三调 A)右图是 2010 年在惠州市举行的全省运动会上,七位评委为某跳水 惠州三调 比赛项目打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩 数据的平均数和方差分别为( A.84,4.84 C.85,1.6 ) B.84,1.6 D.85,4
4

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

变式: ( 变式: 2011 杭州质检 A)如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的茎叶图, ) 则得分的中位数与众数分别为 ( ) A. 3 与 3 B.23 与 3 C.3 与 23 D.23 与 23

变式:(2010 年高考天津卷 A)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示下图, 变式 中间一列的数字表示零件个数,两边的数字表示零件个数的位数。则这 10 天甲、乙两人日 和 。 加工零件的平均数分别为

知识点 5:综合应用 : 例题 5(2011 佛山一检 C)某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25, 55] 岁的人群随机抽 ( ) 取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

5

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ) [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活 从 动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X ,求 X 的分 布列和期望 EX .

变式: 变式:(2011 东莞期末 C)为了调查老年人的身体状况,某老年活动中心对 80 位男性老年人 和 100 位女性老年人在一次慢跑后的心率水平作了记录,记录结果如下列两个表格所示, 表 1:80 位男性老年人的心率水平的频数分布表(单位:次/分钟) 心率水平 频数

[80,90)
10

[90,100)
40

[100,110)
20

[110,120]
10

表 2:100 位女性老年人的心率水平的频数分布表(单位:次/分钟) 心率水平 频数

[80,90)
10

[90,100)
20

[100,110)
50

[110,120]
20

(1)从 100 位女性老人中任抽取两位作进一步的检查,求抽到的两位老人心率水平都 在 [100,110) 内的概率; (2)根据表 2,完成下面的频率分布直方图,并由此估计这 100 女性老人心率水平的中 位数;

6

频率 组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

80 90 100 110 120 心率 女性老年人心率水平频率分布直方图 (3)完成下面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“这 180 位老人的心率水平是否低于 100 与性别有关”. 表 3: 心率水 心率大于或等于 平 性别 男性 女性 合计 附: K =
2

心率小于 100 100

合计

a= c=

b= d= n = 180

n(ad ? bc) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

P ( K 2 ≥ k0 )

k0

7

变式: (2010 广雅月考 B)下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出 变式: ( ) 的样本频率分布直方图,

已知图甲中从左向右第一组的频数为 4000. 在样本中记月收入在[1000, 1500)[1500, , 2000) , [2000,2500) ,[2500,3000) ,[3000,3500) ,[3500,4000]的人数依次为 A1、A2、…、A6.图 乙 是 统 计 图 甲 中 月 工 资 收 入 在 一 定 范 围 内 的 人 数 的 算 法 流 程 图 , 则 样 本 的 样 样 n= _________ ;图乙输出的 S= _________ . (用数字作答) 则样本的样样 n= ;图乙输出的 S= . (用数字作答)

8

四:方向预测、胜利在望 方向预测、 1.(A 级) 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间,将 测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组, 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒;…… 第六组,成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒.右图是按上述分组方法得到的频率 分布直方图. 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x,成绩大于等于 15 秒且小 . 于 17 秒的学生人数为 y,则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为

2.(B 级)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况, 得到频率分布直方图如图所示,由于不慎,部分数据丢失,但知道前四组的频数成等比数 列,后六组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视 力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b, 则 a,b 的值分别为 .

3.(B 级)甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示,若甲、 乙两人的平均成绩 分别是 x 甲、x 乙,则 x 甲 x 乙, 比 稳定. 4.(B 级)已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20, ( ) 且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 . 5.(A 级)某教师出了一份共 3 道题的测试卷,每道题 1 分,全班得 3 分,2 分,1 分,0 分的学生所占比例分别为 30%,40%,20%,10%,若全班 30 人,则全班同学的平均分是 分.

6.(A 级)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差 ( 为 . 分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

9

7.(B 级)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁~ 18 岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5)的学生人数是

.

8.(A 级)某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人, 现分层抽取样样为 45 的样本, 那么高一、 高二、 高三年级抽取的人数分别为 .

9.(A 级)某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,则该抽样方法为①;从某中学 的 30 名数学爱好者中抽取 3 人了解学习负担情况,则该抽样方法为②.那么①,②分别 . 为

10.(A 级)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人. 为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个样样为 25 的样本, 应抽取超过 45 岁的职工 人. 11(B 级)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交 作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图所示) ,已知从左到右各 长方形高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为 12,请解答下列问题:

(1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数样最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

10

12(B 级)对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命 (h) 个数 100~ 200 20 200~ 300 30 300~ 400 80 400~ 500 40 500~ 600 30

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计电子元件寿命在 100 h~400 h 以内的概率; (4)估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率.

13(C 级)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔 30 min 抽取一包 产品,称其重样,分别 记录抽查数据如下: 甲:102, 101, 99, 98, 103, 98, 99; 乙:110, 115, 90, 85, 75, 115, 110. (1)这种抽样方法是哪一种? (2)将这两组数据用茎叶图表示; (3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.

14.(B 级)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下:
11

甲的得分:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50; 乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,59. (1)制作茎叶图,并对两名运动员的成绩进行比较; (2)计算上述两组数据的平均数和方差,并比较两名运动员的成绩和稳定性; (3)能否说明甲的成绩一定比乙好,为什么?

15.(B 级)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ( ,结果如 下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图:

12

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ; ② .

16.(C 级)为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试, 将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示) ,图中从左到右各小长方形面积之比 为 2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为 12.

(1)第二小组的频率是多少?样本样样是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多 少? (3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由.

13

知识点 1:利用频率分布直方图分析总体分布 : 例题 1: 2011 中山期末 A) ( D 变式: 变式:(2009 山东卷理 B) 答案 A 变式: (2011 杭州质检 B)学生中选取的人数为 变式: ( ) 10 .

知识点 2:用样本分估计总体 : ,略 例题 2(2010 安徽卷 B) ( )

变式: 变式:(2009 湖北卷 B) ) 【答案】64 变式: 变式:( 2009 广 东 卷 理 B ) 略 知识点 3:用样本的数字特征估计总体的数字特征 : 例题 3(2011 华附月考 B)50(人). ( ) (3)中位数落在第三小组内.

变式: (广东六校联考 ) :略 变式: 广东六校联考 B) 略 ( : 知识点 4:茎叶图的应用 : 例题 4(2011·惠州三调 A) 惠州三调 【解析】C 去掉最高分和最低分后,所剩分数为 84,84,86,84,87,可以计算得平均数 和方差. 变式: 2011 杭州质检 A) ( ) 变式:(2010 年高考天津卷 A) ( D )

【答案】24,23 知识点 5:综合应用 : 例题 5(2011 佛山一检 C) ( ) ( 解 : Ⅰ ) 第 二 组 的 频 率 为 1 ? (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3 , 所 以 高 为

0.3 = 0.06 .频率直方图如下: 5

14

-------------------------------2 分 第一组的人数为

120 200 = 200 ,频率为 0.04 × 5 = 0.2 ,所以 n = = 1000 . 0.6 0.2

195 = 0.65 . 300 第 四 组 的 频 率 为 0.03 × 5 = 0.15 , 所 以 第 四 组 的 人 数 为 1000 × 0.15 = 150 , 所 以 a = 150 × 0.4 = 60 . -------------------------------5 分 ( Ⅱ ) 因 为 [40,45) 岁 年 龄 段 的 “ 低 碳 族 ” 与 [45,50) 岁 年 龄 段 的 “ 低 碳 族 ” 的 比 值 为
由题可知, 第二组的频率为 0. 所以第二组的人数为 1000 × 0.3 = 300 , 3, 所以 p =

60 : 30 = 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [40,45) 岁中有 12 人, [45,50) 岁中有 6
人. -------------------------------6 分 随机变样 X 服从超几何分布.
0 3 1 C12C6 C12C62 15 5 , P ( X = 1) = , P( X = 0) = = = 3 3 204 68 C18 C18 2 1 C12C6 33 = 3 C18 68 3 C12C60 55 = . 3 C18 204

P( X = 2) =



P( X = 3) =

-------------------------------10 分

所以随机变样 X 的分布列为

X P

0

1

2

3

5 204

15 68

33 68

55 204 -------------------------------12 分
-------------2

∴数学期望 EX = 0 ×

5 15 33 55 + 1× + 2 × + 3 × = 2. 204 68 68 204
2

变式: (1)从 100 位女性老人中任抽取两位,共有 C100 个等可能的 变式:(2011 东莞期末 C) 解: 结果,抽到的两位老人心率都在 [100,110) 内的结果有 C50 个,由古典概型概率公

频率 组距

15

2 C50 49 式得所求的概率 p = 2 = .………………………4 分 C100 198

(2)根据表 2,作出女性老人心率水平的频率分布直方图如下:

80

90

100

110

120

心率水平

女性老年人心率水平频率分布直方图 … 由 0.5 ? 10 × (0.01 + 0.02) = 0.2 可估计,这 100 女性老人心率水平的中位数约为

100 + 10 ×
…………10 分 (3)2×2 列联表, 表 3:

0.2 = 104 . 0.05 × 10

…………………

………………… …………12 分

180 × (50 × 70 ? 30 × 30) 2 ≈ 19.0125 . 80 × 100 × 80 × 100 2 由于 K > 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“这 180 位老人的心率水平是否低于 100

K2 =

与 关” . …………14 分





有 …………………

变式: (2010 广雅月考 B)则样本的样样 n= 变式: ( ) 作答) 方向预测、 四:方向预测、胜利在望 1.(A 级) 答案 0.9,35 2.(B 级) 答案 0.27,78

10000

;图乙输出的 S= 6000

. (用数字

16

3.(B 级) 答案 < 乙 甲 4.(B 级) ( ) 答案 10.5、10.5 5.(A 级) 答案 1.9 答案
2 10 5

7.(B 级). 答案 40 8.(A 级) ( 答案 15,10,20 9.(A 级) 答案 系统抽样,简单随机抽样 10.(A 级) 答案 10 11(B 级) 解 (1)依题意知第三组的频率为
4 1 = , 2 + 3 + 4 + 6 + 4 +1 5

又因为第三组的频数为 12, ∴本次活动的参评作品数为
12 =60. 1 5

(2)根据频率分布直方图,可以看出第四组上交的作品数样最多,共有 60×
6 =18(件). 2 + 3 + 4 + 6 + 4 +1 10 5 = , 18 9

(3)第四组的获奖率是

第六组上交的作品数样为 60×
1 =3(件) , 2 + 3 + 4 + 6 + 4 +1 2 3 6 9

∴第六组的获奖率为 = ,显然第六组的获奖率高. 12(B 级) 解 (1)样本频率分布表如下: 寿命(h) 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 合计 (2)频率分布直方图
17

频数 20 30 80 40 30 200

频率 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1

(3)由频率分布表可以看出,寿命在 100 h~400 h 的电子元件出现的频率为 0.65,所以 我们估计电子元件寿命在 100 h~400 h 的概率为 0.65. (4)由频率分布表可知,寿命在 400 h 以上的电子元件出现的频率为 0.20+0.15=0.35,故 我们估计电子元件寿命在 400 h 以上的概率为 0.35. 13(C 级) 解 (1)因为间隔时间相同,故是系统抽样. (2)茎叶图如下:

2分

5分 (3)甲车间: 平均值:
x1 =

1 (102+101+99+98+103+98+99)=100, 7 1 7

7分 9分

方差:s12= [ (102-100)2+(101-100)2+…+(99-100)2]≈3.428 6. 乙车间: 平均值: x 2 = (110+115+90+85+75+115+110)=100, 方差:s22= [ (110-100)2+(115-100)2+…+(110-100)2]≈228.571 4. ∵ x1 = x 2 ,s12<s22,∴甲车间产品稳定. 14.(B 级) 解 (1)制作茎叶 图如下:
1 7 1 7

11 分 13 分 14 分

18

从茎叶图上可看出,甲运动员发挥比较稳定,总体得分情况比乙好.
2 2 (2) x 甲=33, s甲 ≈127.23, x 乙=27, s乙 ≈199.09,

2 2 ∴ x 甲> x 乙, s甲 < s乙 ,

∴甲运动员总体水平比乙好,发挥比乙稳定. (3)不能说甲的水平一定比乙好,因为上述是甲、乙某赛季的得分情况,用样本估计总 体也有一定的偶然性,并不能说一定准确反映总体情况. 15.(B 级) ( 答案 ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的 纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度). ②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.(或:乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定).甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉 花的纤维长度的分散程度更大). ③甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307 mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318 mm. ④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近).甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 16.(C 级) 解 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:
4 =0.08. 2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3

又因为频率=

第二小组频数 样本样样


12 =150. 0.08

所以样本样样= 第二小组频数 =
第二小组频率

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为
17 + 15 + 9 + 3 ×100%=88%. 2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3

(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前四 组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.

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