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2014届高三数学寒假作业6(三角函数)


2014 届高三数学寒假作业六(三角函数)
姓名____________学号___________ 一、填空题 1. 平面直角坐标系 xoy 中,若角 ? 的始边与 x 轴的正半轴重合,终边在射线 y ? ? 上,则 sin 2? = .

3 x( x ? 0) 3

2. 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 3. 已知 sin 2? ? ?

?
2

, ? ? ,则 tan 2? 的值是
.

.

24 (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ? 25

4. 已知 f ( x) ? sin x ? cos 2 x , x ? (

? 5? ?
6 ,

,则 f ( x) 的值域是 6 ? ?

.

5. 设定义在 R 上的函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x(? ? 0) 的最小正周期为 T ,若 f (1) ?1 ,则 T 的最大值为 .

? 6. 如果函数 f ( x) ? tan(?? x ? ) (? ? 0) 在区间 (0,1) 上有且仅有一个对称中心,则 ? 的取值范围 4 是 .
7. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图像向右平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的图像 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 . 8. 已知函数 f ( x) ? 5sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 满足 f (m) ? ?5 , f (n) ? 0 ,且 m ? n 的最小

? ,则 ? 的值是 2 sin ? ? 2 9. 的取值范围是 cos ?
值为

. .

10. 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 且 a ? 2 , A ? 的面积,则 s ? 2cos B cos C 的最大值是 11. 已知 sin(? ? ? ) cos(? ? .

5? , s 为 ?ABC 6

?

? 3 3? 3? ) ? cos( ? ? ? )sin(? ? ) ? ? , ? ? (? , ) ,则 sin ? 的 4 4 5 4 4

值为 . 12. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 b、a、c 成等差数列,且 3sin A ? 5sin B , 则 角C = . 2 t 13. 已知 ? , 当 10tan ? ? 3tan ? 取得最小值时,? ? ? 的值 ? 为钝角,且 tan ? ? , tan ? ? , t 15 为 . 14. 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , c ? (0, 3) ,0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ? c,

则? ? 二、 解答题

.

15. 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

) ? cos( x ? ) , g ( x) ? ? cos 2 x ? 3 cos x . 6 3
3 3 ,求 g (? ) 的值; 5

?

(1)若 ? 是第二象限角,且 f (? ) ?

(2)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

16. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ?

? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于 2

点 F (0, 2) ,与 x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且 ?MBC 的面积为 ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 f (? ? ) ?

? 4

2 5 ? ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 2
F B

y

M

O

C

x

AB =2 3 , 17.如图, 在 ?ABC 中, ∠ ABC =90? , ∠ BPC =90? BC =2 , P 为 ?ABC 内一点,
(1)若 PC = 3 ,求 PA ; (2)若∠ APB =120 ,求 tan ∠ PBA .
?

18. 如图,已知以 O 为圆心,半径为 R 的半圆,M 和 N 分别为此半圆上异于直径两端点 A,B 的两 个动点,点 M 在弧 AN 上. (1)当 M 和 N 两点分别为半圆弧的三等分点时,求阴影部分的面积; (2)当 ?MON ?

?
3

时,求阴影部分的面积的取值范围.

2014 届高三数学寒假作业六(三角函数) 参考答案
3 2 ? 1 3? 6. ? , ? ? 4 4?
1. ? 11. 2. 0 或 3 7. 3. ? 8.1 13.

5? 6

3 4 或? 4 3

4. ? 0, 2 ?

5.4 10.2

9. ( ??, ? 3 ? ? ? 3 , ?? )

?

?

7 2 10

12. 120?

7? 4

14.

2? 3

提示: 11. sin(? ? ? ) cos(? ?

) ? cos( ? ? ? )sin(? ? ) 4 4 ? 3 3 ? ? ? ?? ? ? ? sin ?(? ? ? ) ? (? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ? ? 0 , sin ? ? sin ? ? ( ? ? ) ? , 4 4 ? 4 5 4 ?4 ? ? 3? ? ? 3 因为 ? ? (? , ? ) ,所以 ? ? ? (? , ? ) , 4 4 2 4 ? 3 ? ? 4 ? 又因 sin( ? ? ) ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? (? , 0) ,所以 cos( ? ? ) ? , 4 5 2 4 5 4 2 4 3 7 2 ( ? )? 所以 sin ? ? ; 2 5 5 10 ? a ? 5c a 2 ? b2 ? c2 1 2? 2 a ?b ? c 12. ? 3a ?5b ? ? 37c ? cos C ? ; ? ? ,因为 C ? (0 , ? ) ,所以 C ? 2ab 2 3 ? b? 7 20 t 13. 10tan ? ? 3tan ? ? ? ,因为 ? , ? 为钝角,所以当 t ? ?10 时,10tan ? ? 3tan ? 取得最 t 5 2 t ? 7? 小值 ? tan(? ? ? ) ? t 15 ? ?1 ,因为 ? ? ? ? (? , 2? ) ,所以 ? ? ? ? ; 2 t 4 1? ? t 15 14. 由 cos ? ? cos ? ? 0 得 ? ? ? ? ? ,所以 sin ? ? sin ? ,又因为 sin ? ? sin ? ? 3 ,所以
sin ? ? sin ? ? 3 2? ,因为 0 ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? . 2 3

?

?

15.解: f ( x) ? sin( x ?

) ? cos( x ? ) 6 3 3 1 1 3 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x = 2 2 2 2

?

?

g ( x) ? ? cos 2? ? 3 cos x ? ?(2cos 2 x ? 1) ? 3 cos x
(1)由 f (? ) ?

3 3 3 得 sin ? ? .又 ? 是第二象限角,所以 cos? ? 0 5 5

得 cos ? ? ?

4 从而 5
7 4 3 ? 25 5

g (? ) ? ? cos 2? ? 3 cos ? ? ?(2cos 2 ? ? 1) ? 3 cos ? ? ?
(2) f ( x) ? g ( x) 等价于 3 sin x ? ? cos 2 x ? 3 cos x ,即

3(sin x ? cos x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 0
于是 (cos x ? sin x ) ? 3 ? (sin x ? cos x) ? ? 0

?

?

因为 3 ? (sin x ? cos x) ? 3 ? 2 sin( x ? 从而 cos x ? sin x ? 0 从而 2k? ?

?
4

)?0

3? 7? , k ?Z ? x ? 2k? ? 4 4
? ? 3? 7? ? ? x ? 2k? ? ,k ?Z? . 4 4 ?

故使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合为 ? x 2k? ?

16.解: (1)∵ S ?MBC ?

1 ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2 ?? ∴周期 T ? 2? ? ,? ? 1. ? 2 由 f (0) ? 2sin ? ? 2 ,得 sin ? ? , 2 ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? , 2 4 ? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) . 4

(2)由 f (? ? ) ? 2sin ? ?

? 4

2 5 5 ,得 sin ? ? , 5 5
2

∵ ? ? (0, ) ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? ∴ cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ?

? 2

2 5 , 5

3 4 ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5 5 ? ? ? 3 2 4 2 2 ? ? ?? ∴ cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
17.解:(1)由已知得,∠ PBC =60 ,所以∠ PBA ? 30
?
2

?
?

在 ?PBA 中,由余弦定理得 PA ? 12 ? 1 ? 2 ? 2 3 ?1? cos30 ? 7 故 PA ?

7

(2)设∠ PBA ? ? ,由已知得 PB ? 2sin ? 在 ?PBA 中,由正弦定理得 化简得 3 cos ? ? 4sin ? 所以 tan ? ?

2 3 sin ? ? ? sin120 sin(60? ? ? )

3 2 3 ,即 tan ∠ PBA ? 4 3

18.解: (1)当 M 和 N 两点分别为半圆弧的三等分点时, 易知四边形 ARNM 为平行四边形,由对称性可知,阴影部分的面积

?
6

R2

2? (2)设 ?AOM ? ? , 0 ? ? ? 3 1 1 3 1 2 ? S?AMN ? R 2 sin ? ? R 2 ? ? R sin(? ? ) 2 2 2 2 3 1 3 1 3 ? R 2 (sin ? ? ? sin ? ? cos ? ) 2 2 2 2 1 1 3 3 ? R 2 ( sin ? ? cos ? ? ) 2 2 2 2 1 ? 3 2 ? R 2 sin(? ? ) ? R 2 3 4 2? ? ? ? 因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? , 3 3 3 3 3 2 R ) 所以 S ?AMN 的取值范围是 (0, 2
所以阴影部分的面积的取值范围是

1 1 3 1 1 2 3 3 2 2 ? R ), ( ? R2 ? R2 ? , ?R ? R ? 6 2 2 2 6 2 2 1 3 2 1 3 2 2 R , ? R2 ? R ) 即( ?R ? 6 4 6 4


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