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高中数学选修4-4 1.1平面直角坐标系


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例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC,CF上的中线,建立适当的平面直角坐标系探 y 究BE与CF的位置关系。 解:以△ABC的顶点A为原点O, C 边AB所在的直线x轴,建立直角 坐标系,由已知,点A、B、F的 E 坐标分别为 c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). (A) B O xFy x 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为( ,). 2 22 2 2 2 2 2 由b ? c ? 5a ,可得到 | AC | ? | AB | ? 5 | BC | ,
x y c 因为 BE ? ( ? c, ), CF ? ( ? x, ? y ), 2 2 2 2 ??? ??? ? ?

即 x2 ? y2 ? c2 ? 5[( x ? c)2 ? y2 ]. 2 2 2 整理得 ? 2x ? 2 y ? 2? ? 5cx ? 0. c ??? ???

x c y 所以BE ? CF ? ( ? c)( ? x) ? ? 0. 因此,BE与CF互相垂直. 2 2 2

根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则: (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;

(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;
(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考:

(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

y=sin2x ?

2?
x

O

y=sinx

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变, 1 将横坐标x缩为原来的 ,就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标 不变,将横坐标x缩为原来 1 ,得到点 p? x?, y? 2 坐标对应关系为:

?

?

? ? 1 ?x ? x 2 ? ? y? ? y ?

1

通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2? x

O

?

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变, 将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。 设点P(x,y)经变换得到点为 p? ? x?, y??

? x? ? x ? ? y? ? 3 y

2

通常把 2 长变换。

叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2? x

O

?

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐 1 标不变,将横坐标x缩为原来的 2 ,在此基础上, 将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P(x,y)经变换得到点为

? ? 1 ?x ? x 2 ? 3 ? y? ? 3 y ?

通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 在变换 (? ? 0) ?x' ? ? x ? :? 4 ( ? ? 0) ? y' ? ? y 的作用下,点P(x,y)对应 p? ? x?, y?? 称

? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

注 (1) ? ? 0, ? ? 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不 变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 ? x? ? 2 x 后的图形。 (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 ? ? x? ? 2 x ? x ? 2 x? ? 解: ?由伸缩变换 ? ?1 得? ? y? ? 3 y ? y ? 1 y? ? 3 ? 代入2x+3y=0
1 ? ? x ? 2 x? ? x? ? 2 x ? 得? ? 2 ?由伸缩变换 ? ? ? y ? 3y ? y ? 1 y? ? 3 ? x?2 y?2 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1

? ? y? ? 3 y

得x?+y?=0

1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换: 曲线4x2+9y2=36变为曲线

x? ? y? ? 1
2 2

? x? ? ? x 1解:设伸缩变换 ? ? ?,? ? 0? ? y? ? ? y

代入x? +y? =1得 ? x ? ? y ? 1
2 2
2 2 2 2

1 ? ?? ? 3 ? 2 2 又4 x ? 9 y ? 36 则 ? ?? ? 1 ? ? 2

? ? 1 ?x ? 3 x ? 得? ? y? ? 1 y ? ? 2

? x? ? 3x 后, 2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换 ? ? y? ? y

曲线C变为 x?2 ? 9 y?2 ? 9 ,求曲线C的方程并画出 图形。

? x? ? 3x 2.解:将 ? 代入 ? y? ? y
2 2

x? -9y? =9
2 2

得9x -9y =9 即x -y =1
2 2

课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。


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