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第六章不等式介绍


第六章“不等式” 第六章“不等式”简介

颜其鹏

《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》 第二册(上)的第六章内容为不等式, 是根据《全日制普通高级中学教学大纲(供试验用)》(以下简称新大纲)必修课的不等式 部分编写的。 本章教材是在初中介绍了不等式的概念,学习了一元一次不等式,一元一次不等式 组的解法,高一学习了一元二次不等式,简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的 基础上,研究了不等式的性质,不等式的证明和一些不等式的解法。 本章教学约需 16 课时,具体分配如下(仅供参考): 6.1 不等式的性质约 3 课时 6.2 算术平均数与几何平均数约 2 课时 6.3 不等式的证明约 5 课时 6.4 不等式的解法举例约 2 课时 6.5 含有绝对值的不等式约 2 课时 小结与复习约 2 课时 一、内容与要求 不等式主要研究数的不等关系。它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系, 在解决各类实际问题时也有广泛的应用。因此,不等式是进一步学习数学的基础,是掌 握现代科学技术的重要工具。 (一)本章的主要内容是不等式的基本性质,不等式的证明,一些不等式的解法和含 有绝对值不等式的定理等 与现行高中教材“不等式”相比,本章的内容有如下的变化。 l.解一元二次不等式,解简单的分式不等式和解简单的绝对值不等式等内容移到高 一(上)第一章“集合与简易逻辑”中介绍。 2.删去了三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用。 3.删去了用数学归纳法证明不等式。

4.删去了解指数不等式和对数不等式。 5.增加了一些利用不等式解决实际问题的例习题。 (二)章头引言安排了一个实际问题——求一个长方体无盖贮水池的最低总造价。这 个问题是一个求函数的最小值的问题,可以用函数的知识来解决,但如果用算术平均数 与几何平均数的定理,则很容易。 第一小节是“不等式的性质”。教科书首先通过数形结合,给出了比较实数大小的 方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了 严格的证明。不等式的其他性质,都可由它们推导出来,另外,本小节还增加了两个利 用不等式的性质证明不等式的例题,这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其 推论,另一方面,也为学生以后学习不等式的证明打下了基础。 第二小节是“算术平均平均数与几何平均数”。教科书首先证明了一个重要的不等 式 a +b
2 2

2ab,通过这一公式,得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理,最 后,通过几个例题,说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用。

第三小节是“不等式的证明”。教科书通过七个例题分别介绍了证明不等式的三种 基本方法——比较法、综合法和分折法。 第四小节是“不等式的解法”。教科书通过例 1、例 2,复习、总结了一元二次不 等式、一元二次不等式组,简单的含有绝对值的不等式、简单的高次不等式和分式不等 式的解法,通过例 3,介绍了简单的无理不等式的解法。 第五小节是“含有绝对值的不等式”。在这一小节里,教科书介绍了含有绝对值的 不等式的一个定理及其证明,并给出了它的两个推论,在例题中,介绍了它们的应用。 (三)本章的教学要求 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(不扩展到三个正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理),并会简单的应用。 3.掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式。 4.掌握某些简单不等式的解法。 5.理解不等式

二、本章的特点 (一)前后呼应,注意知识之间的联系 本章内容,与初中、高一所学过的实数、集合、方程、函数、三角、平面几何等内

容都有着密切的联系,是中学阶段所学过的不等式内容的系统总结,因此,在编写本章 教材时,注意了前后呼应和知识的整体性,例如:章前引例,就是运用不等式的知识解 决函数问题的例子。 在“不等式的性质”一节中, 联系了实数和数轴的对应关系、 比较实数大小的方法, 复习了初中学过的不等式的基本性质。 在“不等式的解法举例”中,例 1、例 2 一方面呼应以前学过的解一元一次不等式、 一元二次不等式、一元二次不等式组、简单的分式不等式和简单的含绝对值不等式,是 解这些不等式的方法的总结,另一方面,还给出了解简单的一元高次不等式的方法,等 等。 (二)突出重点,把握难点,抓住关键 本章内容中,不等式的证明和不等式的解法是重点,不等式的性质及其证明,不等 式的证明是难点;掌握不等式的性质是学好本章的关键。 为了突出本章的重点,把握难点,本章一开始就对不等式的性质进行了较为严格的 证明,并增加了利用不等式的性质证明不等式的两个例子;同时,在证明不等式的性质 时,取消了学生较难理解的推出符号,改为较为通俗的叙述写法。对于算术平均数与几 何平均数的定理,不仅给出了证明,而且给出了几何意义,对于证明不等式的方法,删 去了数学归纳法(由于学生以前学过用数学归纳法证明一些等式,因此,还是可以用数 学归纳法来证明一些与正整数有关的不等式,只是在本章中不作要求)。只介绍了比较 法、综合法和分析法,并且特别重视用比较法。 本章教材中,不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何 平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简单的不等式,无不以不等式的 性质作为基础。因此,教学时,不仅要让学生掌握不等式的性质,而且还要会运用不等 式的性质。 (三)加强知识的应用 理论与实际相结合是编写教材的一条重要原则,在本章中,除了章前引例外,还增 加了—些实际应用题,如 6.2 节练习第 4 题,求一个菜园的最大面积;6.3 节例 4,求 解一个行程问题,例 7,比较截面是圆的水管与截面是正方形的水管的流量大小问题等。 这些都有利于培养学生分析向题、 解决实际问题的能力, 有利于提高学生用数学的意识, 有利于提高学生利用不等式的知识解决实际问题的能力。 此外,在本章中,还出现了一些利用不等式的知识解决函数问题、方程问题和几何 问题等的例习题,如 6.2 节中的例 1,6.2 节习题中第 6、7 题。小节和复习中的参考例 题 2,复习参考题六中的第 5、10、11 题等,这些都有利于学生明白不等式是进一步学 习数学和其他学科的重要工具。 (四)适当降低要求,注重培养学生的思维能力 与现行必修本教材“不等式”一章相比,本章教材的要求有所降低,如 6.2 节,只

要求掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,不扩展到三个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数的定理;6.3 节,只要求掌握用比较法、综合法和 分析法证明不等式,对数学归纳法和其他一些方法则不作要求,6.4 节,只讲解简单的 分式不等式、绝对值不等式和只含有两个二次根式且经过一次平方就能化为整式的不等 式,不讲解指数不等式、对数不等式和含有根式需要讨论的不等式等。另外,对于例、 习题也降低了要求,作了必要的删减、更新。 尽管本章的要求上有所降低, 但更注重培养学生的思维能力。 如介绍概念和定理时, 常从已学过的熟悉的知识或实际问题入手,通过知识的联系,使学生容易理解。又如例 题中,常先有“分析”,指出解题思路和思考的方法,解完后,有些还有“注”、“想 一想”等,使学生知道为什么要这样做,换一个角度如何做等,有些证明问题,还给出 了几种方法、让学生进行比较等。另外,本章还增加了两篇阅读材料“用数学归纳法证 明不等式”和“几个正数的算术平均数与几何平均数”,以拓宽学有余力的学生的知识 面。 值得指出的是,与其他各章一样,本章的习题也有一定的弹性,一般的练习题和复 习参考题中的 A 组题供全体学生使用,习题中带“*”号的题目和复习参考题中的 B 组 题供学有余力的学生选用。 三、教学中应注意的问题 (一)注意与初中、高一所学不等式内容的衔接 在初中,学生学习了不等式的三条性质,解一元一次不等式(组),在高一,学生学 习了解一元二次不等式(组)、简单的含绝对值不等式和简单的分式不等式。在本章,则 要系统地学习不等式的性质、证明和解法,因此,要注意搞好与初中、高一相关内容的 衔接。 (二)注意与初中、高中数学其他内容的联系 在初中,学生学过了等式的性质和解方程。在本章的教学时,应类比等式的性质和 解方程等内容讲相应的不等式的性质和解不等式等内容,不仅要使学生明白它们的相同 点和不同点,而且使学生明白,不等是绝对的,相等是相对的辩证关系。 另外,本章内容中,还涉及到函数、二次根式,几何及绝对值等内容,也要在教学 时注意联系。 (三)要把握好教学要求 前面已谈过,本章已删去了三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数等内 容,教学时,一定要按照教学大纲中的教学要求进行,不要补充已删去的内容,不要补 充与已删去的内容有关的例习题。另外,不等式的难题和技巧性的题很多,如果补充进 去,势必增加学生的学习负担。教学时,只要求掌握基本内容,基本思想和解题的基本 方法即可。

(四)突出数学思想方法 本章的内容中,蕴含着较为丰富的数学思想方法。如转化思想,在本章的各部分中 都有所体现;变换思想,在证明不等式时经常出现,用集合的观点看解不等式,使解不 等式的思路特别清楚。另外,证明不等式时,所用到的比较法、综合法、分析法和证明 不等式的性质定理 5 时所用到的反证法,更是解决数学问题和实际中其它问题时的重要 的方法。教学时,应当充分挖掘这些数学思想方法,培养学生的思维能力。 四、有待研究的问题 (一)体系是否合适,例、习题的数量、难度是否适当 本章教材中,把“两个正数的算术平均数和几何平均数”单独列为 6.2 节,删去 了解对数不等式、指数不等式,删去了用数学归纳法证明不等式,增加了应用不等式解 决实际问题的例、习题,这样处理是否合适? (二)关于教学要求问题 《新大纲》在教学内容之后提出的教学要求是对所列内容最终应该达到的要求,有 些内容或者说大部分内容通过本章的教学可以达到;而有些内容仅通过本章的学习不能 达到要求,还要经过以后的学习和巩固才能达到要求,如用 5 课时“掌握分折法、综合 法和分析法等几种常用方法证明简单的不等式”就很难达到“掌握”的水平,而有待以 后学习知识的增多,理解能力的提高,常用综合法和分析法来解决问题,才能逐步达到 最终的教学要求。由于本章教材显得浅,与教学要求有一定距离的矛盾如何解决,有待 于在试验中研究解决。


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