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高中数学解三角形辅导讲义


中小学个性化教育专家

学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 课 授课时间: 教学目标 题 解三角形 备课时间: 年 级: 高中 课时数: 学科教师: 辅导科目: 数学

重点、难点

正余弦定理的运用

考点及考试要求

解三角形

一、正弦定理


在 Rt ? ABC 中, 设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有 则

a b c 又 sinC ? 1 ? , ? sin A , ? sin B , c c c

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

对于任意的三角形可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而
a
sin A

a
sin A

?

b
sin B



C b a

c
sinC ?

?

b
sin B ?



b
sin B

c
sin C
?

过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由

AC + CB = AB
? ?

?

?

?

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB 则 j ? AC + j ? CB = j ? AB ∴| j |?| AC |cos90 +| j |?| CB |cos(90 ∴ a sin C ? c sin A ∴
a c = sin A sin C
? ? ? ?

?

?

C)=| j |?| AB |cos(90

?

A)

中小学个性化教育专家 同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得: 从而
?

c b = sin C sin B



a b c = = sin A sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sin C

(1) 正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。

a b

在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边长精确到 1cm) 。 :根据 正弦定理,
sin B ? bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20

因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. (1) 当 B ? 640 时,
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,
c? a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

(2) 当 B ?1160 时,
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,
c? a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

【课堂练习】
1、 ?ABC 中, A ? 45 , B ? 60 , a ? 10, 则 b 等于( )

A

5 2

B

10 2

C

10 6 3

D

5 6

0 0 2、在△ABC 中,已知 a ? 8 ,B= 60 ,C= 75 ,则 b 等于

A. 4 6

B. 4 5

C. 4 3

D.

22 3


3、在△ABC 中,a= 2 3

,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于(

中小学个性化教育专家 A.30° B.60° C.30°或 120° D. 30°或 150°

4、在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边, A ? 75?, C ? 45? , b = 2 ,则此三角形的最小边长为(



A.

6 4

B.

2 2 3

C.

2 6 3

D.

2 4


5、在 ?ABC 中,B= 30 ? ,C= 45? ,c=1,则最短边长为(

6 A. 3

2 B. 2

1 C. 2

3 D. 2

6、在 ?ABC 中,若边 a ? 4 7、在 ?ABC 中,已知 b ?
0

2, c ? 4 ,且角

A?

?
4 ,则角 C= ________


2 , c ? 1, B ? 450 ,则 C = ________ ;
0

8、在△ABC 中, A ? 45 , B ? 30 , b ? 2 ,则 a 边的值为 _________ ; 9、已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a ? 2, b ? 3, cos B ? 10、在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , C ?

2? ,则 a =__________; 3 在解三角形过程中都使用三角形内角和定理,可见,三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注

4 ,则 sin A 的值为 ________; 5

意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 (1) 定理的表示形式:
a
sin A ?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A ? sin B ? sinC

或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0) (2) 正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

二、余弦定理
如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c。
如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c=a-b,
? ? ?

| c |2 =c ? c=(a-b)

? (a-b)

A b C a B c

=a ? a + b ? b -2a ? b 从而

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

中小学个性化教育专家

同理可证

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

(图 1.1-5)

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A? cos B ? cosC ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba

从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关 系,如何看这两个定理之间的关系? 若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 例 在△ ABC 中,已知 B=60 cm,C=34 cm,A=41° ,解三角形(角度精确到 1° ,边长精确到 1 cm) 。 (课本 P7 例 3) 解:根据余弦定理, a2=b2+c2-2bccosA =602+342-2· 60· 34cos41° ≈3 600+1 156-4 080× 0.754 7 ≈1 676.82, 所以,a≈41 c 由正弦定理得
c sin A 34 ? sin 41? 34 ? 0.656 ? ≈ ≈0.544 0. a 41 41 因为 C 不是三角形中最大的边,所以 C 是锐角.利用算器可得

sinC=

B=180° -(A+C)=180° -(41° +33° ) 注:在利用余弦定理解三角形时,也要注意判断有两解的情况 【课堂练习】 1、 △ ABC 中,若 AB ? 5,AC ? 3,BC ? 7 ,则 A 的大小为(
A. 150 B. 120 C. 60 D. 30



中小学个性化教育专家 2、在△ABC 中,若 c A. 60°
2

? a2 ? b2 ? ab ,则∠C=(
C. 150° ) D. 30 ? ).

) D. 120°

B. 90°

2 2 2 3、在 ?ABC 中, a ? c ? b ? ab ,则 C ? (

A. 60 ?

B. 45 ? 或 135?

C. 120?

4、边长为 5, 7,8 的三角形的最大角的余弦是( A. ?

1 7

B.

1 7

C.

11 14

D.

1 14


2 2 2 5、若 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? bc ,则角 A 的大小为 (

? A. 6

? B. 3

2? C. 3

? 2? D. 3 或 3
)

6、在 ?ABC 中, a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin 2 A ? sin 2 C ? (sin A ? sin B)sin B ,则角 C 等于( A.

? 6

B.

? 3
2

C.
2

5? 6
2

D.

2? 3

7、 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ? sin A sin C 那么角 B =___________ 8、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

? 3b ? c?cos A ? a cosC ,则 cos A ?
2

b ? 9、△ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , a sin Asin B ? b cos A ? 2a ,则 a
2 2 2 10、已知 A, B, C 是 ?ABC 的内角,并且有 sin A ? sin B ? sin C ? sin A sin B ,则 C ? ______

小结:

(1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2) 余弦定理的应用范围: ① 已知三边求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边。

三、解三角形的应用 1.正弦定理:
a = sin A

=

= , b2 ?

。 , 。

2. 余 弦 定 理 : a 2 ?
c2 ?
cos A ?

。 , cos B ? , cos C ?

1.与测量有关的术语、名词 (1)仰角、俯角:视线与水平线所成角中,视线在水平线上的称为仰角,在水平线下的称为俯角。

中小学个性化教育专家 如图所示:
视线 仰角 水平线 俯角 视线

(2)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 如图,方向线 PA、PB 的方位角分别是 40 、240 。
0 0

北 40 0 120 0 B P

A

(3)方向角:指北或指南的方向线与目标线所成的小于 90 的角,叫做方向角,她是方位角的另一种表示形式。 如图:目标 OA、OB 的方向角分别为北偏东 60 和南偏西 30 。 此外还有特殊方向角,如正东方向,东南方向等。
0 0

0

北 60 0 O B 30 0

A

(4)视角:由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。如图: 2.应用解三角形知识解实际问题的4个步骤是: (1)根据题意作出示意图; (2)确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知和未知元素; O (3)选用正、余弦定理求解; (4)给出答案。

A

视角 B

类型一:水平面上测量距离问题 练习 1:如图, 为了测定河的宽度, 在一岸边选定两点 A、 B 望对岸标记物 C, 测得 ?CAB ? 300 ,
?CBA ? 750 ,AB=120m,求河的宽度。
C

30 0

75 0

A

B

类型二:竖直面上测量高度问题 练习 2:地面上竖着一根旗杆 OP,为了测得它的高度 h ,在地面上取一点 A,在 A 处测 得 P 点的仰角为 300 ,测得点 A 到旗杆底部 O 的距离为12 3 米,求旗杆的高度。

中小学个性化教育专家

类型三:航海问题 练习 3:两艘游艇 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a ,游艇 A 在 C 北偏东 300 ,B 在 C 南偏东 600 ,求 A、B 之间的距离。

练习 4:某船开始看见灯塔在南偏东 300 方向,后来船沿南偏东 600 的方向航行 45 海里后 看见灯塔在正西方向,求这时船与灯塔的距离。

【综合训练】 1、在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A. 10 ? 3 B. 10 3 ? 1

) D. 10 3 )

?

?

C. 3 ? 1

2、在△ABC 中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 3、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为(
2 2 2



A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

4、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 5、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( ) A. ?8,10? B.

? 8, 10?
15 分钟 7

C.

?

8 ,10

?

D.

? 10,8?

6、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) A.

150 分钟 7

B.

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

7、飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为 30°,向前飞行 10000 米,到达 B 处,此时测得 目标 C 的俯角为 75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A. 5000 米 B.5000 2 米 C.4000 米 D. 4000 2 米

8、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ? 9、在△ABC 中, a ? 3 3, c ? 2, B ? 150°,则 b= 10、在△ABC 中,A=60°,B=45°, a ? b ? 12 ,则 a= ;b=

, b ? 209, A ? 121°,则此三角形解的情况是 11、已知△ABC 中, a ? 181

中小学个性化教育专家 12、在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 BC 边的长分别为 20,

20 3 ,5 的情况下,求相应角 C。 3

13、在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1)角 C 的度
2

数; (2)AB 的长度。

14、在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

15、海岛 O 上有一座海拨 1000 米的山,山顶上设有一个观察站 A,上午 11 时,测得一 处,俯角 30°,11 时 10 分,又测得该船在岛的北 60°西 B 处, 俯角 60°. ①这船的速度每小时多少千米? ②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向?此时所在点 E 离岛多少千

轮船在岛北 60°东 C

米?

作业
1. 已知△ABC 中,a=c=2,A=30° ,则 b=( A. 3 C. 3 3 B. 2 3 D. 3+1 2 ,则符合条件的三角形有( 2 ) )

2. △ABC 中,a= 5,b= 3,sinB= A. 1 个 C. 3 个

B. 2 个 D. 0 个 )

3.(2010· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 1 ? x ? 5 B. 5 ? x ? 13 C. 0 ? x ? )

5 D. 13 ? x ? 5

中小学个性化教育专家

5.在△ABC 中,若

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c
B.等腰直角三角形 D.等边三角形



A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形

2π 6.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,∠C= ,则 a=________. 3 7.(2010· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大 小为________. 8. 如图,△OAB 是等边三角形,∠AOC=45° ,OC= 2,A、B、C 三点共线.

(1)求 sin∠BOC 的值; (2)求线段 BC 的长.

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