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三角函数说课稿


《 任意角的三角函数(1) 》学案设计及说明
龙泉四中 一.内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模 型.它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用,是解决实际问题的 重要工具,也是学习数学中其他学科的基础. 角的概念已经由锐角扩展到扩充到任意角,相应地,锐角三角函数概念也必 须有所扩充.任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果. 本节课的主要内容是任意角三角函数的概念,重点是任意角的正弦、余弦、 正切的定义.它们是本节,乃至本章的基本概念,是解决一切三角函数问题的基 点,在考纲中也作了 B 级要求。比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概 念,共同点是,它们都是“比值” ,不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值” , 而任意角三角函数是直角坐标系中 “坐标与长度的比值, 或者是坐标的比值” . 如 何将锐角三角函数过渡到任意角的三角函数,将线段比过渡到坐标比,是本节课 要解决的任务。 正是由于 “比值” 这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点, 因此,可以用角的终边与单位圆的交点的坐标(或坐标的比值)来表示任意角的 三角函数,这是概念的核心.用单位圆,不仅简化了任意角三角函数的表示,也 为后续研究它的性质带来了方便.因此,学习任意角三角函数可以与锐角三角函 数相类比,借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念. 二.目标和目标解析 【学习目标】 1.能说出任意角的正弦、余弦、正切的定义,记住正弦、余弦、正切函数 的定义域、值域; 2.会由角 ? 终边上的一点,求角 ? 的各三角函数值; 3.经历由锐角三角函数到任意角三角函数的定义过程,体会数与形结合, 以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法. 【理论依据】 : (1)本节的地位和作用。 (2)在考纲中理解(B) :要求对所列知识内容有理性的认识,知 道知识间的逻辑关系, 能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达,能 够解释、 举例或变形、 推断, 能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、 判别、 讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力制定了学习目标 1 和 2. (3)要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标,莫过 于让学生参与任意角三角函数定义的过程. 三.学习重难点分析 【学习重点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【学习难点】 依据:(1)学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数,这对研究任意角 三角函数在认识上会有一定的局限性, 所以学生在用角的终边上的点的坐标来研
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赵林

究三角函数可能会有一定的困难. 可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认 识的基础上, 尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数,或者尝 试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数,然后再定义任意角的三角函数. (2)任意角三角函数的定义域是实数集(或它的子集) .因为学生刚刚接触弧 度制,未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么.可 π 以在复习锐角三角函数时,把锐角说成区间(0, 2 )内的角,以便分散这个 难点. 四.媒体分析 (1)利用几何画板软件。 【设计意图】 (1)尊重教材编写意图; (2)可以动态改变角的终边位置, 从而改变角的终边上点的坐标大小的特点,便于学生认识任意角的位置的改变, 所对应的三角函数值也改变的特点,感受函数的本质;感受终边相同的角具有相 同的三角函数值; 也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况,加深对任 意角三角函数概念的理解,增强教学效果. (2)投影仪 【设计意图】 展示学生预习或作业成果; 六.学习过程分析 【学习过程】 时间预设:学习准备(5min) (15min) 总结(5min ) 学 习 探 究 ( 15min ) 例题分析

第一环节:学习准备(理解锐角三角函数) 【理论依据】 :从锐角三角函数到任意角三角函数的学习,从认知结构发展 的角度来说,是属于“下、上位关系学习” , “先行组织者”是锐角三角函数的 概念.教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念,然 后学生才有机会“再创造”抽象程度高的上位概念(参与定义) ,并形成新的认 知结构。这是搭第一副梯子。 1. 如图 1,已知锐角 a ,请借助三角板,找出 sin a ,cos a ,tan a 的近似值.

(图 1) sin a = ;cos a = ; tan a = (保留两位小数)

【设计意图】 复习初中所学习过的锐角三角函数,它是学习任意角三角函 数的基础.突出: (1)是直角三角形中线段长度的比值,为其后的坐标比作铺垫; (2)与 点的位置的选取无关,为任意角在坐标系中任取点作铺垫; (3)由定义求三角函
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数值的第一步为作单位圆,加强作图意识; 【使用说明】 : (1)用投影仪学生展示(生生对话) ; (2)追问:为什么取点 不同,值相近?(师生对话) 2 .能否把某条线段画成单位长,有些三角函数值不用计算就可以得到? 【设计意图】 :学生根据自己实际画图操作,以及计算比值的体验,会很 快认为把斜边画成单位长比较方便,为后续任意角三角函数的“单位圆定义法” 做铺垫 【使用说明】 : : (1)教师启发性提问,学生讲解并展示(师生对话) ; (2)做 好评价 3 .锐角三角函数 sinα 作为一个函数,定义域是 值域是 【设计意图】 : (1)复习函数三要素; (2)便与后面的任意角三角函数的 自变量是角(的弧度,对应一个实数) ,对应的函数值是α的终边与单位圆交点 的纵坐标对应,分散难点; (3)弧度制 【使用说明】 :初中阶段主要是在直角三角形中求值,在定义域回答上可能 会出现(0,90°)的情况,在师生对话中帮助学生回忆函数概念及弧度制,纠 π 正为(0, 2 ) ; 比较前面,我们对角的概念进行了推广,把角的概念推广到了任意角,并在 直角坐标系内来表示任意角, 怎样将锐角的三角函数也推广到任意角?今天我们 来探究学习这个问题. 【设计意图】 :作好情绪准备 第二环节:学习探究(建构任意角三角函数) 【理论依据】 :从锐角三角函数到任意角三角函数,主要思想方法是类比, 创设与之前高度相似的情境,有助于学生顺利在第一象限找点,求比值。这是搭 第二副梯子 。

第一阶段:直角三角形为载体的锐角三角函数 示的锐角三角函数

单位圆上坐标点表

●观察思考: 我们在直角三角形中学过锐角三角函数的定义,现在,借助任意角可以在直角坐 标系内表示这一特点, 如图 2, 你能在直角坐标系中, 怎样求出锐角三角函数呢? 动手操作:

3

y

o

x
(图 2)

观察发现: ①任取 P ( a, b) , OP ? r ? a 2 ? b 2 ,则 ; cos? ? ; ta n? ? . ②取 r ? 1 ,此时 P 点是角的终边与单位圆的交点. (半径等于 1 的圆称为单位 圆)则 sin ? ? ; cos? ? ; ta n? ? . (链接 1) 思考:当 P 在角的终边上移动时,角 ? 的三角函数值会改变吗? 为什么? 【设计意图】 : (1)可以打破知识结构的平衡,感受到学习新知识的必要性—— 角的范围扩大了,锐角三角函数也应该“与时俱进” ,并不显得突然.把定义的 主动权交给学生,引导学生参与定义过程,发展思维. (2)与直角三角形中求值
sin ? ?

得两种思路相呼应; (3)解决难点 【使用说明】 : (1)用几何画板同步演示锐角进入坐标系,帮助统一认识(2)基 于学习准备中的铺垫,会有两种可能性,再问: “都是这样的吗?”引导学生议 论,以确认两种定义方法的一致性、各自特点.再问“你赞成哪一种?” ,因为 前面已经有引导,学生可能很快接受“可能二” .统一认识,建立任意角三角函 数的定义. (板书) (3)两种回答都值得肯定,多方对话,做好评价; 由此可知: 锐角三角函数可以用直角坐标系中角的终边与单位圆的交点的坐标表 示.

第二阶段: 单位圆上坐标点表示的锐角三角函数 表示的任意角三角函数

单位圆上坐标点

【理论依据】 :类比的前提。与图 2 相比较,图 3 将第一象限角变为第二象 限角,此为第第三副梯子; 思考: 任意角的三角函数能否用直角坐标系中角的终边与单位圆的交点的坐标表 示呢? 如图 3 若可以,该怎样表示呢?先写出你的猜想,再认真阅读课本 P11-P12 对照比较自己写出的猜想是否正确. ●归纳概括 任意角三角函数定义:
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在直角坐标系中,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆 的交点为 P ( x, y ) ,那么: (1) (2)
P(x,y)

y α

? ,即 叫做 ? 的正弦,记作 s i n ; x 0 叫做 ? 的余弦, 记作 cos? , 即 ; y ( 3 ) 比 值 ( x ? 0) 叫 做 ? 的 正 切 , 记 作 tan ? , 图3 x 即 . 【使用说明】 :学生展示;让学生在运动与变化中学会以不变应万变:单位 圆上坐标点表示的任意角三角函数

第三阶段:三种三角函数及其三要素
y 分别是一个确定的实数,所以正弦、 x y 余弦、正切、是以角 ? 为自变量,以 x 、 y 、 为函数值的函数,分别叫做角 ? x 的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数统称为三角函数.

说明:对于确定的值 ? , x 、 y 、

想一想:1. 通过弧度制我们建立了角的集合与实数集之间的一一对应关系, 由此可知,三角函数可以看成是自变量为什么的函数? 2.任意.一个角 ? ,都有三个三角函数值吗?什么时候例外呢?因 此,由三角函数的定义你能否得出各三角函数的定义域?请完成下表填空. 函 数 定 义 域 值域
y ? sin ?
y ? cos ?

y ? tan ?

【设计意图】 : (1)定义固化,由静到动; (2)让学生再一次体会用单位圆的 好处,能简单方便地解决问题。 (3)继任意角三角函数定义之后,让学生亲自参 与对三个三角函数的定义域和值域。是角在坐标系内运动的结果,也为后续学习 作好铺垫。 【使用说明】 : (1)教师利用几何画板,把角α的顶点定义为原点,一边与 x 轴 的正半轴重合,转动另一条边,表现任意角. (2)小组讨论,回答(文本对话, 生生对话,师生对话) 第三环节:定义运用(体验定义,加深巩固) 【理论依据】 : (1)运用主要是运用概念解释实际想象和分析解决具体的问 题,使概念内化为学生的认识的一种观念,成为他们解决问题的工具或经验. (2)波利亚《怎样解题》 (3)新授课中例题选择的基础性和示范性原则 5? 例1 求 的正弦,余弦和正切值. 3 (思路启迪:要求一个角的三角函数值首先必须求出它的什么?请画一个
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图! ) 解:

●解题反思:1.解这类题首先要做什么?2.解题的关键是什么? ●变式练习 求下列各角的正弦、余弦、正切值: 3? (1) 0 ; (2) ? ; (3) ; 2 【设计意图】 (1)通过定义的简单应用,把握定义的内涵. (2)会求轴上角 的三角函数值 【使用说明】 :(1)学生说例 1 的思路和结果,教师示范(2)逐题给出,对 于每一个答案,都要求学生说出“你是怎样得到的. ”突出“画终边,找交点坐 标,算比值(对正切函数) ”的步骤. 例 2 已知角 ? 的终边经过点 P(?3,?4) ,求 ? 的正弦、余弦、正切值. (思路启迪:P 点是终边与单位圆的交点吗?它与角的终边与单位圆的交点 有何关系?画张图看看! ) 解:

●解题反思 (1)P 是角的终边上一点,但它是单位圆上的点吗?怎样转化的? (2)本题说明只要给出角的终边上任意一点的坐标,就可以求出角的三角 函数值来.你能自己给出这种三角函数的定义吗?(链接 2)你能否用我们前面 给出的三叫函数的定义证明它? ●变式练习 已知角 ? 的终边经过点 P(?4a,3a) ( a ? 0 ) ,求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值. 解: 【设计意图】 : (1)变换问题情境,去找单位圆与其交点,再一次巩固; (2) 说明用点坐标直接求任意角三角函数的合理性; 【使用说明】 :学生上台讲解,用投影仪 第四环节:小结与自测 【设计意图】 (1)针对学习目标,设置总结反思; (2)巩固核心知识和方法 【使用说明】用对话的方式完成 反思
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【学习反思】 1.任意角的三角函数的定义是什么?你能记住三角函数的定义域和值域了 吗? 2 .你会根据角的终边上一点或终边的具体位置求出任意角的三角函数了 吗? 3. 用用单位圆定义三角函数有何优点? 【学习评价】 【设计意图】 (1)紧扣学习目标和例题; (2)区分层次,为各层次的学生提供空 间 【使用说明】学生间交流和讲评 自主测评一 1. sin 6000 =(
A. 3 2 B. ?


3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

2.已知角 ? 的终边过点(6,-8) ,则 tan ? =( 4 3 3 4 A. B. ? C. ? D. 3 4 4 3 9? 7? tan ? _________; 3. sin 4 3



4.已知锐角 ? 终边上一点 P(1, 3 ),则的 ? 弧度数为________. 自主测评二 1.已知角 b 的终边经过点 P( x, ? 3) ( x ? 0) .且 cos ? ?
tan ? 的值;
x ,求 sin ? 、cos ? 、 2

2.已知 P(? 3, y ) 为角 ? 的终边上一点,且 sin ? ? ________;

13 ,那么 y 的值等于 13

3 8? ,且 cos ? ? ? ,求 tan ? 的值; 3.若角 ? 的终边过点 P?a, 5

4.已知点 P(3r , ?4r ) (r ? 0) 在角 ? 的终边上,求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值. 设计意图:紧扣学习目的和例 1 例 2;引入分类讨论,区分层次 【学习链接】

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链接 1::尽管三角知识起源于远古,但是用线段比来定义 三角函数,是欧拉在《无穷小分析论》中首次给出的。在欧拉之前,研究三角函 数大都在一个确定半径的圆内进行。如古希腊的托勒密定半径为 60.到欧拉时, 才令圆的半径为 1,即置角于单位圆中。 链接 2:在直角坐标系中,设 ? 是一个任意角,? 终边上任意一点 P (除了 原点)的坐标为 ( x, y ) ,它与原点的距离为 r ( r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那 么我们规定: y y (1)比值 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? r r y y (3)比值 ( x ? 0) 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? x x

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