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3[1].3.1二元一次不等式(组)与平面区域最新


3.3.1 二元一次不等式 (组)与平面区域

知识回顾
不等式及其解法
1、一元二次不等式及其解法

2、分式不等式和高次不等式

一元二次不等式及其解法
常系数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式(分类讨论) 一元二次不等式的恒成立问题(等价转化)

分式不等式和高次不等式
穿针引线法的步骤:
1、变形:左边为正系数的一次因式的乘积, 右边化为0; 2、标根; 3、穿线(奇穿偶不穿); 4、写出解集(集合或者区间);

引例 : 一家银行的信贷部计划年初 投入25 000 000元用于企业和个人贷 款,希望这笔资金至少可带来30 000元 的收益,其中从企业贷款中获益12%,从 个人贷款中获10%.那么,信贷部应该如 何分配资金呢? 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人 贷款的资金为y元。则分配资金应该满足 的条件为:

? x ? y ? 25000000 ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? ? x?0 ? ? y?0 ?

二:相关概念
1、二元一次不等式(组)
(1)含有 两个 未知数,并且未知数的次数是 一次 的 不等式称为二元一次不等式。
(2)由几个 二元一次不等式 元一次不等式组。 组成的不等式组称为二

2、二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x , y),所有这样的 有序数对 构成的集合称为二元一次 不等式(组)的解集。

提问:二元一次不等式(组)的解集可

以看成是直角坐标系内的点构成的集 合,这些点有没有什么关系?

?x ? 3 ? 0 所表示的解集图形吗? 你知道不等式组 ? ?x ? 4 ? 0
3 0 4 x

思考:

一元一次不等式(组)的解集所表示的图形

------数轴上的区间

新课引入

问题:在平面直角坐标系中,y=1 表示的点的集合表示什么图形?

y>1 呢?
o

y
y=1 x

y

y>1

(x0 , y0) (x , y)

y=1

o y<1

x x0 ? x , y0 ? 1

新知探究:

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (2)探究 二元一次不等式x – y < 6的解集所表示的图形。
作出x – y = 6的图像——一条直线, 直线把平面分成三部分:直线上、左上方区域和 x–y=6 y 右下方区域。 直线上 x O 右下方区域 左上方 区域

新知探究:
验证:设点P(x,y 1)是 直线x – y = 6上的点,选 取点A(x,y 2),使它的 坐标满足不等式x – y < 6, 请完成下面的表格,
横坐标 x
点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2

y O

x–y=6 A( x, y2 ) x
P( x, y1 )

–3 –2 –1

0

1

2

3

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 >-9 >-8 >-7 >-6 >-5 >-4 >-3

新知探究:
当点A与点P有相同的横坐标 时,它们的纵坐标有什么关 系? ( A点纵坐标大于P点纵坐标) 直线x – y = 6左上方点的坐标 与不等式x – y < 6有什么关系? y O
P( x, y1 )

A( x, y2 )

x–y=6 x

(左上方点的坐标满足不等式) 直线x – y = 6右下方点的坐标 呢? (右下方点的坐标不满足不等式)

新知探究:
结论

在平面直角坐标系中,以二
元一次不等式x – y < 6的解 y O x–y=6 x

为坐标的点都在直线x – y =
6的左上方;反过来,直线x – y = 6左上方的点的坐标都 满足不等式x – y < 6。

新知探究:
结论

不等式x – y < 6表示 直线x – y = 6左上方 的平面区域;

不等式x – y > 6表示 直线x – y = 6右下方 的平面区域;

直线叫做这两个区域的边界

新知探究:
(3)从特殊到一般情况: 二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐
标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点 组成的平面区域。(虚线表示区域不包括边界 直线) 结论: 二元一次不等式表示相 应直线的某一侧区域 y O Ax + By + C = 0 x

作图方法步骤:
二元一次不等式表示 平面区域的画法,常用
“直线定界、特殊点定域”

(1)直线定界 注意: “>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线;

“≥0(或≤0)”时,直线画成实线. (2)特殊点定域注意: 当C≠0时,常把原点作为特殊点; 当C=0时,可取坐标轴上其它的点 如点(1,0)或(0,1).

例题分析

例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解:(1) 先画直线x + 4y – 4 = 0 直线定界 (画成虚线)
(2) 取原点(0,0), 代入x + 4y – 4, ∵0 + 4×0 – 4 = – 4 < 0 特殊点定域
y 1

∴原点在x + 4y – 4 < 0表示的平 面区域内,不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。

4 x x+4y―4=0

课堂练习1 分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域 (1) x-y+5≥0
y

(2) x+y≥0
y

(3) x<3
y

x-y+5=0

x=3

5

-5
0 x 0 x 0 x

x+y=0

例题分析 例2:画出不等式组

y

x+y=0
5

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
表示的平面区域.
x-y+5=0

-5 O

x

x=3

注:不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。

归纳确定区域的方法
方法二 1、当A>0时, Ax+By+C>0 表示直线右侧的区域; Ax+By+C<0 表示直线左侧的区域。
口诀:左小右大

2、当A<0时两边同乘以负数变为正 数再判断。

课堂练习2

课本P86

T 1、2、3

1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线 x – 2y + 6 = 0的( A.右上方

B)
C.左上方 D.左下方

B.右下方

2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是( D )

?x ? 3y ? 6 ? 0 3、不等式组 ? ?x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域是( B )

例题分析 例4用平面区域表示不等式组 ? 原不等式组变形为 y 此区域为 12 所求 8 4 0

?3x ? y ? 12 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 0

? y ? ?3 x ? 12 的解集; ? ? x ? 2y

X-2y=0 (左) x

4 8

3x+y-12=0 (左)

例题分析

例5.要将两种大小不同的钢板截成A、
B、C三种规格,每张钢板可同时截得三 重规格的大小钢板的块数如下表所示:
规格类型

A规格 B规格 C规格
钢板类型

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别15,

18,27块,用数学关系和图形表示上述要求

规格类型

钢板类型

A规格 (15)

B规格 (18)

C规格 (27)

张数

第一种钢板

2 1

1 2

1 3

x
y

第二种钢板 成品块数

2x+y x+2y x+3y

解:设截第一种钢板x张,第二种钢板y张, 则 2 x ? y ? 15

? ? x ? 2 y ? 18 ? ? ? x ? 3 y ? 27 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

y (右)

18 16 14 12 10 M 8 6 4 2 0 -2 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

x(上)

2x+y=15

(右)

x+2y=18 (右)

例题分析

例6.一个化肥厂生产甲乙两种混合化 肥,生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙 种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝 酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料 .列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.

盐类
肥料

磷酸盐 硝酸盐 (10t) (66t)

车皮数

甲种肥料

4t

18t

x y

乙种肥料

1t

15t

总吨数

4x+y 18x+15y

解:设x,y分别为计划生产甲乙两 种肥料的车皮数,满足以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ?

Y(右) 15

10

4x+y=10 (左)
5

-1

O

1

X(上)

2

3

4

18x+15y=66(左)

小结:
⑴ 二元一次不等式表示直线某一侧所有点组 成的平面区域。 ⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域。
当A>0时,Ax+By+C>0 表示直线右侧的区域 当A>0时,Ax+By+C<0 表示直线左侧的区域

口诀:左小右大
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。

作业:
1.书面作业:

P93习题3.3第 3、4题 2.预习3.3.2节中简单的 线性规划问题

补充练习1、

? x ? 0, ? (2009·安徽)不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表 ?3 x ? y ? 4 ? 示的平面区域的面积等于 ( ) 3 2 A. B. C.4 D.3 2 3 3 4 C

解:

由 ? x ? 3 y ? 4, ?

?3x ? y ? 4

得交点A的坐标为(1,1).

又B、C两点的坐标为(0,4),

故S?ABC

1 4 4 ? ? (4 ? ) ?1 ? . 2 3 3

2.点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的
取 值范围是 (

B)
B.-7<a<24 D.以上都不对

A.a<-7或a>24 C.a=-7或a=24

解析:点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两 侧,说明将这两点坐标代入3x-2y+a后,符号相反,

所以(9-2+a)(-12-12+a)<0,
解之得-7<a<24.

? 3、P93 B组第2题

小结
1、二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点 组成的平面区域。 2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的 当A>0时,A x + B y + C>0 表示直线右侧的区域 判断方法: 当A>0时,A x + B y + C<0 表示直线左侧的区域 直线定界,特殊点定域。 口诀:左小右大 注意:(1)画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 (2) 若区域包括边界, 则把边界画成实线;
若区域不包括边界,则把边界画成虚线。

课后作业 P93 A组1、2

作业2:
1.书面作业:

P93习题3.3第 3、4题 2.预习3.3.2节中简单的 线性规划问题


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