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第二章 2.5 1 平面几何中的向量方法与物理应用


10 学年高一

第二章 2.5 1 平面几何中的向量方法与物理应用
目标要求:1、使学生运用向量的有关知识解决几何中的点共线、线段长度、直线的夹角等 问题。 2、使学生运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算,并 在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力。 3、通过例题,研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等 问题。 教学重难点: 重点: 用向量方法解决实际问题的基本方法; 向量法解决几何问题的 “三步曲” 。 难点:实际问题转化为向量问题。 教学课时安排:1 课时 一、知识复习 1、平面向量基本定理: e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内 任一向量,有且仅有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2
2 2 2 2.设 a ? ( x, y) ,则 | a | ? a ? x ? y 或 | a |? 2

? ?

?

?

?

a ? x2 ? y2 .
a ?b ? x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

2

3.两非零向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? )cos? =

| a |?|b |

x2 ? y2
2

2

4.两个向量共线的等价条件:? a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 )

? ? ? ? ? ? a ∥ b (b ? 0) ? a =λ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ?
王新敞
奎屯 新疆

5.两个向量垂直的等价条件:? a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 )

? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ?
王新敞
奎屯 新疆

二、新课:-------探究课 向量概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算, 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方 便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全 等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可 以解决平面几何中的一些问题。

平面几何中的向量方法
问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图,你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗? 例 1、已知:平行四边形 ABCD。
1

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求证: AB ? BC ? CD ? DA ? AC ? BD
2 2 2 2 2

2

, AD 解:方法一、 (向量法)设 AB ? a, ? b 则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b
AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? 2( a ? b )
AC 2 ? BD 2 ? a ? b ? a ? b
2 2

? ? ? ?
2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ?

AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2
所以,平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 法二、 (平几法)分别过点 C,D 作 AB 的垂线,CE,DF,则; A

? b

D O

C

F

? a

B

E

AC 2 ? CE 2 ? AE 2 ? CB 2 ? BE 2 ? ? AB ? BE ? ? CB 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BE
2

BD 2 ? DF 2 ? BF 2 ? DA2 ? AF 2 ? ? AB ? AF ? ? DA2 ? AB 2 ? 2 AB ? AF
2

BE ? AF
相加即得: AB ? BC ? CD ? DA ? AC ? BD
2 2 2 2 2 2

说明:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 D ? b, c ? C ? a ? b, c ? 方法三、 (解析法)向量坐标法,模长公式验证。 方法四、 三角函数法,余弦定理推导)设 ( A ? 0, 0 ? B ? a, 0 ?

?DAB ? ? ,则 ?ABC ? 180 ? ? ,
0 2 2 2

在 ?DAB 中, BD ? DA ? AB ? 2 AB ? AF ? DA ? AB ? 2 AB ? DA cos ?
2 2

同样地,在 ?ABC 中,

AC 2 ? CB 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BE ? CB 2 ? AB 2 ? 2 AB ? BC cos ?1800 ? ? ? 两 式 相 加 即 得 结
论。

例 2、 如图, Rt△ABC 中, 在 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, PQ BC 问 与 的夹角 ? 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

2

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解法一 : AB ? AC,? AB ? AC ? 0. ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC, ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC)
? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP 1 1 ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC) ? ?a 2 ? PQ ? BC ? ?a 2 ? PQ ? BC ? ?a 2 ? a 2 cos? . 2 2

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同时, BP ? CQ最大.其最大值为 . ) 0
解法二:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示 的 平 面 直 角 坐 标 系

设 | AB |? b | AC |? c, 则A(0, 0), B(b, 0), C (0, c), 且 | PQ |? 2a,| BC |? a. 设点P的坐标为( x, y ), 则Q(? x, ? y ). ? b2 ? c2 ? x2 ? y 2 ? a 2 ??? ? ??? ? BC ? (?b, c), PQ ? (?2 x, ?2 y ). ??? ??? ? ? PQ ? BC bx ? cy ? ??? ? ? cos ? ? ??? . a2 | PQ | ? | BC | bx ? cy ? a 2 cos ? ??? ? ??? ? ? BP ? ( x ? b, y ), CQ ? (? x, ? y ? c), ??? ??? ? ? ? BP ? CQ ? ( x ? b)(? x) ? y (? y ? c) ? ?( x 2 ? y 2 ) ? bx ? cy ? ? a 2 ? bx ? cy ??? ??? ? ? ? BP ? CQ ? ?a 2 ? a 2 cos ? . ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 故当cos? ? 1,即? ? 0( PQ与BC方向相同)时, BC ? CQ最大, 其最大值为0.

向量在物理中的应用:
研究一、力的分解与合成 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上 做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗? 两根等长的绳子挂一个物体。 物理问题:分析绳子受到的拉力大小 F1 与两绳子间的夹角 ? 的关系? 并讨论: (1)当 ? 逐渐增大时,绳子所受到的力的大小怎样变化? F1 F2 F

θ G

3

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(2)当 ? 为何值时,绳子所受到的力最小,最小值是多少? 解:分析:①作图引导学生进行受力分析(注意分析对象) ; ②引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识,得出:

1 G G 2 cos ? ? F1 ? ? 2 F1 2 cos 2

?

③讨论: 当 ? 逐渐增大时, F1 的大小怎样变化?为什么? [而 ? ? (0, ? ) 即 就随之增大] 当 ? 为何值时, F1 最小,最小值是多少?[ ? =0°] 研究二、如图,一条河流的两岸平行,河的宽度 d = 500m,一艘船从 A 处出发到河对岸。 已知船的速度 v1 =10km/h,水流的速度 v2 = 2km/h。 问: (1)行驶航程最短时,所用的时间是多少? (2)行驶时间最短时,所用的时间是多少? 分析: (1)因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所 以只有当小船的实际运动方向(即合运动方向)是垂直于河岸的 方向时,小船的航程最小。

?

? (0, ) ,又余弦函数在 (0, ) 内恒正且递减,所以当θ 增大时,|F1| 2 2 2

?

?

??

?? ?

500m

(1)

B v1 A v

A
(2)

v1 v v2
2

v2

解(1) v ? 答;

?

? 2 ? v1 ? v 2

d 0.5 ? 96 ? km / h ? ,所以 t ? ? ? ? 60 ? 3.1? min ? 96 v

解(2)如图:设小船的行驶方向 v1 与水流速度 v2 的夹角为 ? ,合速度 v 与 v2 的夹角为 ? ,
4

??

?? ?

?

?? ?

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?? v1 sin ? 10sin ? ?? ? 过 C 作 OA 的垂线 OD,则 v1 sin ? ? CD ? v sin ? ? sin ? ? ? ? ? v v ? v 0.5 小船在合速度上的行驶距离为 l ? OC ? ? B sin ? 20sin ?
所以小船的行驶时间 t ? ? ?

C

l

v

1 20sin ?
O

v1

v

?

所 以 , 当 ? ? 90

?
时 , 小 船 行 驶 时 间 最 少 为

0

tmin ?

1 h ? 3min 20

v2

A

D

答: 实际上:小船过河的问题有一个特点,就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的,我 们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大, 小船过河所用的时间就最短, 河水的速度是沿 河岸方向的, 这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系, 所以使小船垂直于河岸方向行驶 (小 船自身的速度,方向指向河对岸) ,小船过河所用时间才最短。 所以在垂直方向上的分位移最小,即在在垂直方向上的分速度最大 所以, t ? ?? ?

d

v1

0.5 ? 60 ? 3 ? min ? 10

其它例题可见上年的教案 三、小结:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 四、作业:课本 P113 A 组 1,2,3,4 B 组 2 P119-120 B 组 8 作业本: P43 2.5.1 课外作业:成材之路:P 65 2.5;背面 P45 2.5

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