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高中必修1-5错误解题分析系列-《9.4 随机事件的概率及古典概型》


§9.4

随机事件的概率及古典概型

一、知识导学 1.必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件. 不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件. 随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件. 2. 概率: 实际生活中所遇到的事件包括必然事件、 不可能事件和随机事件.随机事件在现实 世界中是广泛存在的.在一次试验中,事件 A 是否发生虽然带有偶然性,但在大量重复试验 下,它的发生呈现出一定的规律性,即事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它附 n

近摆动,这个常数就叫做事件 A 的概率.记着 P(A). 0≤P(A)≤1 3.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本 事件. 4.具有以下两个特点:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都 是等可能的.我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型 5.等可能事件的概率:如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结 果有m种,那么事件 A 的概率 P(A)=

m . n

二、疑难知识导析 1.必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系:必然事件是指在一定条件下必然发生 的事件; 不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件; 随机事件是指在一定的条件下 可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果,理解事件的结果是相应于“一 定条件”而言的,必须明确什么是事件发生的条件,什么是在此条件下产生的结果.上述三 种事件都是在一定条件下的结果. 2.频率与概率:随机事件 A 的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值,它是随 着试验次数的改变而变化的,它具有一定的稳定性,即总在某个常数p附近摆动,且随着试 验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,于是,我们给这个常数取个名字,叫随机事件 的概率.因此,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小;而频率在大量重复试验 的前提下,可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值. 3.必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,随机事件的概率:0<P(A)<1,这里要 辩证地理解它们的概率: 必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端, 它们虽是两 类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,即任意事件 A 的概率满足: 0≤P(A)≤1 4.等可能事件的理解:一次试验中所有可能的n个基本结果出现的可能性都相等,这n个 结果对应着n个基本事件.对等可能事件的理解, 其实质在于对等可能性的理解. 等可能性” “ 指的是结果,而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币,可能出现“两个正面”“两个反面” “一正一反” “一反一正”这四种结果,每一种结果的可能性相等,都是 0.25;而出现“两 个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的. 5.注意用集合的观点来看概率,运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说,一 次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合 I,其中各基本事件均为集合 I 的含有一个元 素的子集,包括m个基本事件的子集 A,从而从集合的角度来看:事件 A 的概率是子集 A 的 元素的个数与集合 I 的元素个数的比值,即 P(A)=

m .因此,可以借助集合的表示法来 n

研究事件,运用图示法弄清各事件的关系,从而做到较深刻的理解.

三、经典例题导讲 [例 1] 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开,问恰 好第三次打开房门锁的概率是多少? 错解:有 5 把钥匙,每次打开房门的概率都是 三次打开房门的概率是

1 4 ,不能打开房门的概率是 ,因而恰好第 5 5

4 4 1 16 × × = . 5 5 5 125

错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”. 正解:我们知道最多开 5 次门,且其中有且仅有一次可以打开房门,故每一次打开门的概率 是相同的,都是

1 3 .开三次门的所有可能性有 A5 种.第三次打开房门,则房门钥匙放在第 3 5

2 号位置上,前两次没能打开门,则前 2 个位置是用另 4 把钥匙安排的,故有 A4 种可能.从而
2 A4 1 ? . 3 A5 5

恰好第三次打开房门锁的概率是 P(A)=

[例 2] 某组有 16 名学生,其中男、女生各占一半,把全组学生分成人数相等的两小组,求 每小组里男、女生人数相同的概率.
8 8 错解:把全组学生分成人数相等的两小组,有 C16 C8 种分法,事件 A 为组里男、女生各半的

4 4 情形,它有 (C8 C8 ) 2 种,所以 P(A)=

(C84 C84 ) 2 . 8 C16

错因:这里没注意到均匀分成两组与分成 A、B 两组的区别. 正解:基本事件有

1 8 8 1 C16 C8 ,事件 A 为组里男、女生各半的情形,它有 (C 84 C 84 ) 2 种,所 2 2

1 ( C84 C84 )(C84 C84 ) 490 以 P(A)= 2 . ? 1 8 1287 C16 2
[例 3] 把一枚硬币向上连抛 10 次,则正、反两面交替出现的概率是 . 错解: 抛掷一枚硬币出现正、 反两面的可能性都相等, 因而正、 反两面交替出现的概率是

1 . 2

错因:没审清题意.事实上,把一枚硬币向上连抛 10 次,出现正面 5 次的概率同样也不等于

1 . 2
正解:连抛 10 次得正、反面的所有可能的情况共有 2 种,而题设中的正、反两面交替出 现的情况只有 2 种,故所求的概率为
10

2 1 ? . 10 512 2

[例 4](2003.上海卷)某科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成, 现从中随机选出两位作为成果发布人, 则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数 表示). 解:设“从 20 名成员中随机选出的 2 人来自不同国家”为事件 A,则 A 所包含的基本事件

1 1 1 1 1 1 2 数为 C11C4 ? C11C5 ? C4 C5 ? 119,又基本事件数为 C 20 .

故 P(A)=

119 119 . ? 2 C 20 190

[例 5] 将 4 个编号的球放入 3 个编号的盒中, 对于每一个盒来说, 所放的球数k满足 0≤k ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下,求: (1)第一个盒没有球的概率; (2)第一个盒恰有 1 个球的概率; (3)第一个盒恰有 2 个球的概率; (4)第一个盒有 1 个球,第二个盒恰有 2 个球的概率. 解:4 个不同的球放入 3 个不同的盒中的放法共有 3 种. (1)第一个盒中没有球的放法有 2 种,所以第一个盒中没有球的概率为:
4

4

P1=

2 4 16 ? . 3 4 81

1 (2)第一个盒中恰有 1 个球的放法有 C4 ? 2 3 种,所以第一个盒中恰有 1 个球的概率为:
1 C 4 ? 2 3 32 ? . 81 34

P2=

(3)第一个盒中恰有 2 个球的放法有 C4 ? 2 种,所以第一个盒中恰有 2 个球的概率为:
2 2

P3=

2 C4 ? 2 2 8 ? . 4 27 3

1 2 (4)第一个盒中恰有 1 个球,第二个盒中恰有 2 个球的放法有 C 4 C3 种,所以所求的概率
1 C 4 C32 4 ? . 4 27 3

为:P4=

[例 6] 一个口袋内有 7 个白球和 3 个黑球,分别求下列事件的的概率: (1)事件 A:从中摸出一个放回后再摸一个,两回摸出的球是一白一黑; (2)事件 B:从袋中摸出一个黑球,放回后再摸出一个是白球; (3)事件 C:从袋中摸出两个球,一个黑球,一个白球; (4)事件 D:从从袋中摸出两个球,先摸出的是黑球,后摸出的是白球. 解:(1)基本事件总数是 10×10.事件 A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球 后摸出黑球”,摸出白球及黑球分别有 7 种和 3 种可能.所以 A 发生共有 2×7×3 种可能. ∴P(A)=

2?7?3 =0.42. 10 ? 10

2)事件 B 与事件 A 不同,它确定了先摸黑球再摸白球的顺序.

P(B)=

7?3 =0.21 10 ? 10

2 (3)事件 C 说明摸出两个球不放回,且不考虑次序,因此基本事件总数是 C10 ,事件 C 包 1 1 含的基本事件个数是 C7 C3 .
1 1 C 7 C3 7 P(C)= ? ≈0.47. 2 15 C10

(4)与事件 A 相比,D 要考虑摸出两球的先后次序. P(D)=
1 1 C 7 C3 7 ≈0.23 ? 1 1 C10 C9 30

评注:注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例(1)(2)是放回抽样,(3)(4) 是不放回抽样. 四、典型习题导练 1.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下: 抽取台数 优等品数 50 40 100 92 200 192 300 285 500 478 1000 954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少? 2.先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 A、





1 8

B、

3 8

C、

7 8

D、

5 8

3.停车场可把 12 辆车停放一排,当有 8 辆车已停放后,则所剩 4 个空位恰连在一起的概率 为 ( ) A、

7 8 C12

B、

8 8 C12

C、

9 8 C12

D、

10 8 C12

4.有 5 条线段,其长度分别为 1、3、5、7、9,现从中任取 3 条线段,求 3 条线段构成三 角形的概率. 5.把 10 个运动队平均分成两组进行预赛,求最强的两队被分在(1)不同组内;(2)同一 组内的概率. 6.甲、乙两人参加普法知识问答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个, 甲、乙两人依次各抽一题. (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少?


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