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2013年北京市丰台区高三理科数学一模试题及其答案


北京市丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一) 数学(理科)
一、选择题 1.复数 z=

i ?1 在复平面内对应的点位于 i
(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

(A) 第一象限

2. 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,

则 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

S3 a1

开始
b ? 0, k ? 1

3. 执行右边的程序框图,输出 k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
2 a ? k ? ( )k 3

b?a k ? k ?1

?x ? y ? 1 ? 2 x? y 4.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 e 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?
(A) e
3

b ? 1? a
是 输出 k 结束



(B) e

2

(C) 1

(D) e

?4

5.已知命题 p: ?x ? (0, ??),3x ? 2x ; 命题 q: ?x ? (??,0),3 x ? 2 x ,则下列命题为真命题的是 (A) p ? q (C) (?p) ? q (B) p ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

6. 已知 a ? Z , 关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的解集中有且仅有 3 个整数,则所有符合条件 的 a 的值之和是 (A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26

7. 如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg( x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的 选项是 (A) (B) (C) y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4
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(D)

y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4

8.动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线 y ? x ? 2 2 ? 1 总有公共点,则圆 C 的面积 (A) 有最大值 8 ? (C) 有最小值 3 ? 二 填空题 9.在平面直角坐标系中,已知直线 C 1 : ? 弦长为 ; (B) 有最小值 2 ? (D) 有最小值 4 ?

?x ? t ? x ? cos ? ( t 是参数)被圆 C 2 : ? 截得的 (? 是参数) ? y ? 1? t ? y ? sin ?

10. 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期 中 考 试 的 数 学 成 绩 ( 均 为 整 数 ) 分 成 六 段 : [40,50) , [50,60), [90,100]后得到频率分布直方图 ?, (如图所示)则 . 分数在[70,80)内的人数是________。

11.如图,已知直线 PD 切⊙O 于点 D,直线 PO 交⊙O 于点 E,F.若
PF ? 2 ? 3, PD ? 1 ,则⊙O 的半径为

; ?EFD ?

.

F

E O D

P

12.在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=1,BC=2,E 是 CD 的
??? ??? ? ? 中点, 则 CD ? BE ?

.

13.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三 角形的面积和是_______. 14. 已知 M 是集合 ?1,2,3,?,2k ? 1? (k ? N*, k ? 2) 的非空子集, 且当 x ? M 时,有 2k ? x ? M .记满足条件的集合 M 的个数为

f (k ) ,则 f (2) ?

; f (k ) ?



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三、解答题 15. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4

M

16.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB∥MD, 且 NB=1,MD=2; (Ⅰ)求证:AM∥平面 BCN; (Ⅱ)求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值;
D E N C

ME (Ⅲ)E 为直线 MN 上一点,且平面 ADE⊥平面 MNC,求 的值. MN

A

B

17.在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽 取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率; (Ⅱ)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和均值 EX 。

18.已知函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x ) ? 值。

g ( x) 的单调区间,并求函数在区间[-2,-1]上的最小 f ( x)

19. 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2, 2 ),直线 l :y=kx+m(k≠0)交椭 圆 C 于不同的两点 A,B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取值范围;若不 存在,请说明理由。
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20. 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ; ② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (错误!未找到引用源。 )记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) , 试证: (1) S k ? 1 ;
2
n (2) ? ai ? 1 ? 1 . 2 2n i ?1 i

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丰台区 2013 年高三年级第二学期统一练习(一) 数学(理科)参考答案

一、选择题 题号 答案 二 填空题 9. 13. 1 A 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D

2;

10. 30;
k

11.

; 3 ,15° (第一个空 2 分,第二个空 3 分)

12. -1;

2? 5 ;

14. 3, 2 ? 1 (第一个空 2 分,第二个空 3 分)。

三、解答题 15. (本题 13 分)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x.
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4
2 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ?

2 sin(2 x ? ) ,???????????????3 分 4

?

? 最小正周期 T= ? , ???????????????????????????????4 分
3? ](k ? Z ) , ??????????????????????7 分 8 8 ? 3? ? 3? ,? ? 2 x ? (Ⅱ)? ? x ? , 4 4 2 2 ? ? 5? ? ? 2x ? ? , ??????????????????????????????10 分 4 4 4 ? 3? ?????????????????????13 分 ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] . 4 4
单调增区间 [k? ?

?

, k? ?

M

16. (本题 14 分)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB∥MD,且 NB ? 1 ,MD=2; (Ⅰ)求证:AM∥平面 BCN; (Ⅱ)求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值;
D E N C

ME (Ⅲ)E 为直线 MN 上一点,且平面 ADE⊥平面 MNC,求 的值. MN

A

B

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解: (Ⅰ)∵ABCD 是正方形, ∴BC∥AD. ∵BC?平面 AMD,AD ? 平面 AMD, ∴BC∥平面 AMD. ∵NB∥MD, ∵NB?平面 AMD,MD ? 平面 AMD, ∴NB∥平面 AMD. ∵NB ? BC=B,NB ? 平面 BCN, BC ? 平面 BCN, ∴平面 AMD∥平面 BCN???????????????????????????????3 分 ∵AM ? 平面 AMD, ∴AM∥平面 BCN??????????????????????????????????4 分 (也可建立直角坐标系,证明 AM 垂直平面 BCN 的法向量,酌情给分) (Ⅱ) MD ? 平面 ABCD,ABCD 是正方形,所以,可选点 D 为原点,DA,DC,DM 所在直线分别为 x,y,z ? 轴,建立空间直角坐标系(如图)?????????????????????????5 分 则 A?2,0,0? , M ?0,0,2? , C ?0,2,0? , N ?2,2,1? .

? AN ? (0,2,1) ,

???????????????6 分

z M

MN ? (2,2,?1) , MC ? (0,2,?2) ,
设平面 MNC 的法向量 n ? ?x, y, z ? , 则 ? 2 y ? 2z ? 0 ?

?2 x ? 2 y ? z ? 0

,令 z ? 2 ,则 n ? ? ?1, 2, 2 ? , ? 7 分
D

?

E N C y

设 AN 与平面 MNC 所成角为 ? ,

? sin ? ? cos AN, n ?

2 ? 2 ? 1? 2 2 5 ? 5 . ??9 分 5 ?3 ???? ???? ? ME ? ? ,? ME ? ? MN , (Ⅲ)设 E ( x, y, z ) , MN ???? ???? ? 又? ME ? ( x, y, z ? 2), MN ? (2, 2, ?1) ,

A

B

x

? E 点的坐标为 (2? , 2? , 2 ? ? ) , ?????????????????????????11 分
? AD ? 面 MDC,? AD ? MC ,
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欲使平面 ADE⊥平面 MNC,只要 AE ? MC ,

??? ???? ? ? ??? ? ???? ? ? AE ? (2? ? 2, 2?, 2 ? ?), MC ? (0, 2, ?2) ,? AE ? MC ? 0 ? 4? ? 2(2 ? ? ) ? 0 ,
?? ? 2 ME 2 ? . ??????????????????????????????14 分 ? 3 MN 3

17. (本题 13 分)在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元,最后还从这 4 人 中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率; (Ⅱ)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和均值 EX 。 解: (Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件 A , 则 P(A)=
2 1 1 C4 C2 C2 1 ? 1? 1 ? , 2 C6 C4 C4 10

????????????????????1 分

答:甲和乙都不获奖的概率为

1 . ?????????????????????????5 分 10

(Ⅱ)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1000,???????????????????6 分 P(X=0)=

3 C2 3 1 1 C2 1 3 1 , P(X=400)= 5 ? ? ? , P(X=600)= 5 ? ? ? , 2 2 8 C6 4 4 8 C6 4 4 8

1 C5 C52 1 1 3 P(X=1000)= 2 ? 2 ? ? ? , ??????????????????????????10 分 C6 C6 4 4 8

∴X 的分布列为 X P 0 400 600 1000

3 8

1 8

1 8

3 8
?????????????11 分

∴E(X)=0×

3 1 1 3 +400× +600× +1000× =500(元). 8 8 8 8
???????????????????????13 分

答: 甲获奖的金额的均值为 500(元).

18. (本题 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 , g ( x) ? bx ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值;
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(Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x ) ?

g ( x) 的单调区间,并讨论函数在区间[-2,-1]上的 f ( x)

最小值. 解:(Ⅰ)函数 h(x)定义域为{x|x≠-a},???????????????????????1 分

则 h?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ?

1 ? 2bx ? 3 , ???????????????????3 分 ( x ? a) 2

? h(x)在点(1,0)处的切线斜率为 0,
? 1 ? b ? 3 ? 0, 4 ? ?h(1) ? 0, ?1 ? a ?a ? 0, ? ?a ? ? , 即? ,解得 ? 或? ?? 3 ????????6 分 ?h?(1) ? 0. ?? 1 ? 2b ? 3 ? 0. ?b ? ?2, ?b ? ?6. ? ? (1 ? a) 2 ?
(Ⅱ)记 ? (x)=

g ( x) 2 ,则 ? (x)=(x+a)(bx +3x)(x≠-a), f ( x)

8 8 2 ,? ? ( x) ? ( x ? a )( x ? 3 x) (x≠-a), a a 1 1 ? ? ?( x) ? (24 x 2 ? 22ax ? 3a 2 ) ? (4 x ? 3a)(6 x ? a) , a a 3 1 令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ,或 x ? ? a , ???????????????????8 分 4 6 3 1 ? 因为 a??3, ??? ,? 所以 ? a ? ? a , 4 6 3 1 3 1 ? 故当 x ? ? a ,或 x ? ? a 时, ? ?( x) ? 0 ,当 ? a ? x ? ? a 时, ? ?( x) ? 0 , 4 6 4 6 3 1 ? 函数 ? (x)的单调递增区间为 (??, ?a), (?a, ? a), (? a, ??) , 4 6 3 1 单调递减区间为 (? a, ? a) , ??????????????????????????10 分 4 6 3a 9 a 1 ? a ? [3, ??) ,? ? ? ? , ? ? ? , 4 4 6 2 a ① 当 ? ? ?2 ,即 a ? 12 时, ? ? (x)在[-2,-1]单调递增, 6 64 ? ? (x)在该区间的最小值为 ? (?2) ? ? ? 44 ? 6a , ???????????????11 分 a a ② 当 ?2 ? ? ? ?1 时,即 6 ? a ? 12 , 6 a a ? ? (x)在[-2, ? ? 单调递减, 在 (? 6 , ?1] 单调递增, 6 a 25 2 a ,??????????????????12 分 ? ? (x)在该区间的最小值为 ? ( ? ) ? ? 6 108

? ab=8,所以 b ?

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③当 ?

a ? ?1 时,即 3 ? a ? 6 时, 6

8 ? ? (x)在[-2,-1]单调递减, ? ? (x)在该区间的最小值为 ? (?1) ? ? ? 11 ? 3a ,???13 分 a 25 2 8 1 a ; a ? 12 综上所述, 3 ? a ? 6 时, 当 最小值为 ? ? 11 ? 3a ; 6 ? a ?2 时, 当 最小值为 ? 当 108 a 64 ? 44 ? 6a . 时,最小值为 ? (不综述者不扣分) a
19.本题 13 分) ( 已知以原点为对称中心、 F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过点 P(2, 2 ), 直线 l : y=kx+m(k≠0) 交椭圆 C 于不同的两点 A、B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在 k 的值,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3) ,若存在求出 k 的取值范围,若不 存在,请说明理由。 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,由题意 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 2 ? ? 1 . ????????5 分 ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ?4 2 8 4 ? 2 ?1 ? 2 ?a b
(Ⅱ)假设存在斜率为 k 的直线,其垂直平分线经过点 Q(0,3) , 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 由? 8 得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 8 ? 0 , ?????????????????6 分 4 ? y ? kx ? m ?

? ? 16m2k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 64k 2 ? 8m2 ? 32 ? 0 ,所以 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,?????7 分
4mk , 1 ? 2k 2 x ?x 2mk m , y0 ? kx0 ? m ? , ? x0 ? 1 2 ? ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 , ? 线段 AB 的垂直平分线过点 Q(0,3) x1 ? x2 ? ?

????????????????8 分

? kNQ ? k ? ?1 ,即
?? ? 0 ,

y0 ? 3 ? k ? ?1 ,? ?m ? 3 ? 6k 2 , x0

???????????????10 分

整理得 36k ? 28k ? 5 ? 0 ,显然矛盾? 不存在满足题意的 k 的值。???????????13 分
4 2

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20. (本题 14 分)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待数列” : ①

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 0 ;

② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1. (Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (错误!未找到引用源。 )记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) , 试证: (1) S k ? 1 ;
2
n (2) ? ai ? 1 ? 1 . 2 2n i ?1 i

解: (Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列…………………………………………………………1 分 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列,……………………………………..…..3 分(其它答案酌情给分) 8 8 8 8
? 1) 的公差为 d ,

(错误!未找到引用源。 )设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k ?1 (k

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 , ? (2k ? 1)a1 ?
即 ak ?1

2k (2k ? 1)d ? 0, 所以 a1 ? kd ? 0 , 2
???????????????????????????4 分

? 0 , ? ak ? 2 ? d ,

当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, ???????????????????????5 分 当 d>0 时,据期待数列的条件①②得:

1 ak ? 2 ? ak ?3 ? ? ? a2 k ?1 ? , 2
? kd ?
k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? ? , k (k ? 1) k ?1

? an ? ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? , n ? 2k ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ??????????7 分
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当 d<0 时,

同理可得 kd ?

k (k ? 1) 1 1 d ? ? ,即d ? ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 , ? 0,即a1 ? k (k ? 1) k ?1

? an ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ?? ? (n ? N ? , n ? 2n ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ?????????8 分

(Ⅲ)错误!未找到引用源。 (1)当 k=n 时,显然

Sn ? 0 ?

1 成 2

立;???????????????????9 分 当 k<n 时,据条件①得

Sk ? a1 ? a2 ? ?? ak ? ?(ak ?1 ? ak ?2 ???? ? an ) ,


S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? an



? 2 Sk ? a1 ? a2 ??? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ?? an

? a1 ? a2 ??? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ??? an ? 1 ,
? Sk ?

1 (k ? 1, 2,3,? , n). 2 ??????????????????????????11 分

(2) ?
i ?1

n

ai a a a a a a ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n i 1 2 3 4 n ?1 n
S ?S S ? Sn?1 S2 ? S1 S3 ? S2 S4 ? S3 ? ? ? ? ? n?1 n?2 ? n 2 3 4 n ?1 n

? S1 ?

?

S S S S1 S2 S ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)n n

?

S Sn?1 S1 S S 1?1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ??? ? ? ? ? ? ??? ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)n 2 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 (n ?1)n ?
1?1 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? . 2? 2 2 3 3 4 4 5 n ? 1 n ? 2 2n ????????????14 分

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