当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年江西省高考数学试卷(理科)


2014 年江西省高考数学试卷(理科)

菁优网

www.jyeoo.com

2014 年江西省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. (5 分) (2014?江西) 是 z 的共轭复数,若 z+ =2,

(z﹣ )i=2(i 为虚数单位) ,则 z=( A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i
2



2. (5 分) (2014?江西)函数 f(x)=ln(x ﹣x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(﹣∞,0)∪ (1,+∞)D.(﹣∞,0]∪ [1,+∞) 3. (5 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f[g(1)]=1,则 a=( A .1 B.2 C .3 D.﹣1
2 2 |x| 2



4. (5 分) (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 的面积是( A. ) B. C. D.3

,则△ ABC

5. (5 分) (2014?江西)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是(



A.

B.

C.

D.

6. (5 分) (2014?江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查了 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1 成绩不及格及格总计 性别 14 20 男 6 22 32 女 10 36 52 总计16 表2 视力好差总计 性别 男 4 1620 女 122032 总计163652 表3 智商偏高正常总计
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 性别 12 20 男 8 24 32 女 8 总计16 36 52 表4 阅读量丰富不丰富总计 性别 14 6 20 男 2 30 32 女 52 总计 16 36 A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 )

7. (5 分) (2014?江西)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

A .7

B.9
2

C.10 f(x)dx,则 C. f(x)dx=( )

D.11

8. (5 分) (2014?江西)若 f(x)=x +2 A.﹣1 B. ﹣

D.1

9. (5 分) (2014?江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) A. B. C.(6﹣2 )π D. π π π

10. (5 分) (2014?江西)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点 A 射向 点E (4, 3, 12) , 遇长方体的面反射 (反射服从光的反射原理) , 将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 l( i i=2, 3,4) ,l1=AE,将线段 l1,l2,l3,l4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题记分,本题共 5 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.不等式选做题 11. (5 分) (2014?江西)对任意 x,y∈R,|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为( ) A .1 B.2 C .3 D.4 坐标系与参数方程选做题 12. (2014?江西)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1﹣x(0≤x≤1) 的极坐标方程为( ) A. B. ρ= ,0≤θ≤ ρ= ,0≤θ≤ C. ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤ D. ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤

三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. (5 分) (2014?江西)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是 _________ . 14. (5 分) (2014?江西)若曲线 y=e
﹣x

上点 P 的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 _________ 与 的夹角为 α,且 cosα= ,向量 =3 ﹣2 与 =3 ﹣

. 的夹角

15. (5 分) (2014?江西)已知单位向量 为 β,则 cosβ= _________ .

16. (5 分) (2014?江西)过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 _________ .

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,

五、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,其中 a∈R,θ∈(﹣ (1)当 a= (2)若 f( ,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; , )

)=0,f(π)=1,求 a,θ 的值.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com * 18. (12 分) (2014?江西)已知首项是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N )满足 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= (2)若 bn=3 ,求数列{cn}的通项公式;
n﹣1

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2

19. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=(x +bx+b) (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围.

(b∈R)

20. (12 分) (2014?江西)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD. (1)求证:AB⊥ PD; (2)若∠ BPC=90°,PB= ,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P﹣ABCD 的体积最大?并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

21. (13 分) (2014?江西)如图,已知双曲线 C: 线 AF⊥ x 轴,AB⊥ OB,BF∥ OA(O 为坐标原点) . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0) (y0≠0)的直线 l: 明:当点 P 在 C 上移动时,

﹣y =1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近

2

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证

恒为定值,并求此定值.

22. (14 分) (2014?江西)随机将 1,2,…,2n(n∈N ,n≥2)这 2n 个连续正整数分成 A、B 两组,每组 n 个数, A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2;记 ξ=a2﹣a1,η=b2﹣b1. (1)当 n=3 时,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)C 表示时间“ξ 与 η 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C) ;
?2010-2014 菁优网

*

菁优网

www.jyeoo.com (3)对(2)中的事件 C, 表示 C 的对立时间,判断 P(C)和 P( )的大小关系,并说明理由.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

2014 年江西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. (5 分) (2014?江西) 是 z 的共轭复数,若 z+ =2, (z﹣ )i=2(i 为虚数单位) ,则 z=( A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 计算题;数系的扩充和复数.
菁优网版权所有



由题,先求出 z﹣ =﹣2i,再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项. 解:由于, (z﹣ )i=2,可得 z﹣ =﹣2i ① 又 z+ =2 ② 由① ② 解得 z=1﹣i 故选 D. 点评: 本题考查复数的乘除运算,属于基本计算题 2. (5 分) (2014?江西)函数 f(x)=ln(x ﹣x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(﹣∞,0)∪ (1,+∞)D.(﹣∞,0]∪ [1,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域.
菁优网版权所有

2

解:要使函数有意义,则 x ﹣x>0,即 x>1 或 x<0, 故函数的定义域为(﹣∞,0)∪ (1,+∞) , 故选:C 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,比较基础. 3. (5 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f[g(1)]=1,则 a=( A .1 B.2 C .3 D.﹣1 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的值. 函数的性质及应用. 根据函数的表达式,直接代入即可得到结论. 解:g(1)=a﹣1, 若 f[g(1)]=1, 则 f(a﹣1)=1,
菁优网版权所有

2

|x|

2



即5 =1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件直接代入解方程即可,比较基础. 4. (5 分) (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 的面积是( )
2 2

|a﹣1|

,则△ ABC

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.3

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 将“c2=(a﹣b)2+6”展开,另一方面,由余弦定理得到 c2=a2+b2﹣2abcosC,比较两式,得到 ab 的值,计算 其面积. 2 2 2 解答: 解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴ ﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6.
菁优网版权所有

∴ S△ABC=

=



故选:C. 点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是最方便的定理之一, 高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量,不等式等放在一起综合考查. 5. (5 分) (2014?江西)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 空间位置关系与距离. 通过几何体结合三视图的画图方法,判断选项即可. 解:几何体的俯视图,轮廓是矩形,几何体的上部的棱都是可见线段,所以 C、D 不正确;几何体的上部 的棱与正视图方向垂直,所以 A 不正确, 故选:B. 点评: 本题考查三视图的画法,几何体的结构特征是解题的关键.
菁优网版权所有

6. (5 分) (2014?江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查了 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1 成绩不及格及格总计 性别 14 20 男 6 22 32 女 10 36 52 总计16 表2 视力好差总计 性别 男 4 1620
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 女 122032 总计163652 表3 智商偏高正常总计 性别 12 20 男 8 24 32 女 8 总计16 36 52 表4 阅读量丰富不丰富总计 性别 14 6 20 男 2 30 32 女 52 总计 16 36 A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量

考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 2 分析: 根据表中数据,利用公式,求出 X ,即可得出结论. 解答:
菁优网版权所有

解:表 1:X =

2

≈0.009;

表 2:X =

2

≈1.769;

表 3:X =

2

≈1.3;

表 4:X =

2

≈23.48,

∴ 阅读量与性别有关联的可能性最大, 故选:D. 点评: 本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题. 7. (5 分) (2014?江西)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A .7

B.9

C.10

D.11

考点: 程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg
菁优网版权所有

的值,根据条件确定跳出循环的 i 值.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg ∵ S=lg +lg +…+lg =lg >﹣1,而 S=lg +lg +…+lg =lg

的值,

<﹣1,

∴ 跳出循环的 i 值为 9,∴ 输出 i=9. 故选:B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 8. (5 分) (2014?江西)若 f(x)=x +2 A.﹣1 B. ﹣
2

f(x)dx,则 C.

f(x)dx=(

) D.1

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分. 导数的综合应用. 利用回代验证法推出选项即可.
菁优网版权所有

解:若

f(x)dx=﹣1
2 2 2

则:f(x)=x ﹣2,∴ x ﹣2=x +2 若 f(x)dx=
2

(x ﹣2)dx=x +2(

2

2



=x ﹣

2

,显然 A 不正确;


2 2

则:f(x)=x ﹣ ,∴ x ﹣ =x +2 若 f(x)dx= ,
2 2 2

(x ﹣ )dx=x +2(

2

2



=x ﹣ ,显然 B 正确;

2

则:f(x)=x + ,∴ x + =x +2 若 f(x)dx=1
2 2 2

(x + )dx=x +2(

2

2



=x +2,显然 C 不正确;

2

则:f(x)=x +2,∴ x +2=x +2

(x +2)dx=x +2(

2

2



=x +

2

,显然 D 不正确;

故选:B. 点评: 本题考查定积分以及微积分基本定理的应用,回代验证有时也是解答问题的好方法. 9. (5 分) (2014?江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) A. B. C.(6﹣2 )π D. π π π

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据 AB 为直径,∠ AOB=90°,推断 O 点必在圆 C 上,由 O 向直线做垂线,垂足为 D,则当 D 恰为圆与直 线的切点时,此时圆 C 的半径最小,即面积最小,利用点到直线的距离求得 O 到直线的距离,则圆的半径 可求,进而可求得此时圆 C 的面积. 解答: 解:∵ AB 为直径,∠ AOB=90°, ∴ O 点必在圆 C 上, 由 O 向直线做垂线,垂足为 D,则当 D 恰为圆与直线的切点时,此时圆 C 的半径最小,即面积最小
菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 此时圆的直径为 O 到直线的距离为 ,则圆 C 的面积为:π×( )=
2



故选 A. 点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系.用数形结合的思想,解决问题较为直观. 10. (5 分) (2014?江西)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点 A 射向 点E (4, 3, 12) , 遇长方体的面反射 (反射服从光的反射原理) , 将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 l( i i=2, 3,4) ,l1=AE,将线段 l1,l2,l3,l4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 真题集萃;空间中的点的坐标;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据平面反射定理,列出反射线与入射线的关系,得到入射线与反射平面的交点,再利用两点间的距离公 式,求出距离,即可求解. 解答: 解:根据题意有: A 的坐标为: (0,0,0) ,B 的坐标为(11,0,0) ,C 的坐标为(11,7,0) ,D 的坐标为(0,7,0) ; A1 的坐标为: (0,0,12) ,B1 的坐标为(11,0,12) ,C1 的坐标为(11,7,12) ,D1 的坐标为(0,7, 12) ; E 的坐标为(4,3,12) (1)l1 长度计算
菁优网版权所有

所以:l1=|AE|=

=13.

(2)l2 长度计算 将平面 A1B1C1D1 沿 Z 轴正向平移 AA1 个单位,得到平面 A2B2C2D2;显然有: A2 的坐标为: (0,0,24) ,B2 的坐标为(11,0,24) ,C2 的坐标为(11,7,24) ,D2 的坐标为(0,7, 24) ; 显然平面 A2B2C2D2 和平面 ABCD 关于平面 A1B1C1D1 对称. 设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2 相交于:E2(xE2,yE2,24)
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 根据相识三角形易知: xE2=2xE=2×4=8, yE2=2yE=2×3=6, 即:E2(8,6,24) 根据坐标可知,E2 在长方形 A2B2C2D2 内. 根据反射原理,E2 在平面 ABCD 上的投影即为 AE 反射光与平面 ABCD 的交点. 所以 F 的坐标为(8,6,0) . 因此:l2=|EF|= (3)l3 长度计算 设 G 的坐标为: (xG,yG,zG) 如果 G 落在平面 BCC1B1; 这个时候有:xG=11,yG≤7,zG≤12 根据反射原理有:AE∥ FG 于是:向量 即有: 因为: =λ =(4,3,12) ; =(xG﹣8,yG﹣6,zG﹣0)=(3,yG﹣6,zG) 与向量 共线; =13.

即有: (4,3,12)=λ(3,yG﹣6,zG) 解得:yG= ,zG=9; ,9)

故 G 的坐标为: (11, 因为:

>7,故 G 点不在平面 BCC1B1 上,

所以:G 点只能在平面 DCC1D1 上; 因此有:yG=7;xG≤11,zG≤12 此时: =(xG﹣8,yG﹣6,zG﹣0)=(xG﹣8,1,zG)

即有: (4,3,12)=λ(xG﹣8,1,zG) 解得:xG= ,zG=4;

满足:xG≤11,zG≤12 故 G 的坐标为: ( 所以:l3=|FG|= (4)l4 长度计算 设 G 点在平面 A1B1C1D1 的投影为 G’,坐标为( ,7,12) ,7,4) =

因为光线经过反射后,还会在原来的平面内; 即:AEFGH 共面 故 EG 的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1D1 相交,且交点 H 只能在 A1G'; 易知:l4>|GG’|=12﹣4=8>l3. 根据以上解析,可知 l1,l2,l3,l4 要满足以下关系: l1=l2;且 l4>l3
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 对比 ABCD 选项,可知,只有 C 选项满足以上条件. 故本题选:C.

点评: 本题主要考察的空间中点坐标的概念,两点间的距离公式,解法灵活,属于难题. 二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题记分,本题共 5 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.不等式选做题 11. (5 分) (2014?江西)对任意 x,y∈R,|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为( ) A .1 B.2 C .3 D.4 考点: 专题: 分析: 解答: 绝对值三角不等式;函数最值的应用. 不等式的解法及应用. 把表达式分成 2 组,利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值. 解:对任意 x,y∈R,|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1| =|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1| ≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3,
菁优网版权所有

当且仅当 x∈[0, ],y∈[0,1]成立. 故选:C. 点评: 本题考查绝对值三角不等式的应用,考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法. 坐标系与参数方程选做题 12. (2014?江西)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1﹣x(0≤x≤1) 的极坐标方程为( ) A. B. ρ= ,0≤θ≤ ρ= ,0≤θ≤ C. ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤ D. ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤

考点: 专题: 分析: 解答:

简单曲线的极坐标方程. 坐标系和参数方程. 根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,把方程 y=1﹣x(0≤x≤1)化为极坐标方程. 解:根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,y=1﹣x(0≤x≤1) ,
菁优网版权所有

可得 ρcosθ+ρsinθ=1,即 ρ=

,θ∈[0,

],

故选:A. 点评: 本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法,注意极角 θ 的范围,属于基础题. 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 13. (5 分) (2014?江西)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是 .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 4 分析: 本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C10 种结果, 满足条件的事件是 2 1 恰好有 1 件次品有 C7 C3 种结果,得到概率. 解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, 4 试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C10 种结果,
菁优网版权所有

满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C

C3 种结果,

1

∴ 恰好有一件次品的概率是 P=

=

故答案为: 点评: 本题考查等可能事件的概率,本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件 数,本题是一个基础题. 14. (5 分) (2014?江西)若曲线 y=e 考点: 专题: 分析: 解答:
﹣x

上点 P 的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 (﹣ln2,2) .

利用导数研究曲线上某点切线方程. 计算题;导数的概念及应用. 先设 P(x,y) ,对函数求导,由在在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行,求出 x,最后求出 y.
菁优网版权所有

解:设 P(x,y) ,则 y=e , ﹣x ∵ y′ =﹣e ,在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行, ﹣x ∴ ﹣e =﹣2,解得 x=﹣ln2, ﹣x ∴ y=e =2,故 P(﹣ln2,2) , 故答案为: (﹣ln2,2) . 点评: 本题考查了导数的几何意义,即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值,以及切点在曲线上和切线上的应 用.

﹣x

15. (5 分) (2014?江西)已知单位向量 为 β,则 cosβ= .



的夹角为 α,且 cosα= ,向量 =3

﹣2

与 =3



的夹角

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 转化向量为平面直角坐标系中的向量,通过向量的数量积求出所求向量的夹角. 解答: 解:单位向量 与 的夹角为 α,且 cosα= ,不妨 =(1,0) , =
菁优网版权所有



=3

﹣2

=(

) , =3



=(

) ,

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

∴ cosβ=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查向量的数量积,两个向量的夹角的求法,考查计算能力.

16. (5 分) (2014?江西)过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C:

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,

若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为﹣ ,即可求出椭圆 C 的离心率.
菁优网版权所有

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 , ,

∵ 过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: 的中点, ∴ 两式相减可得 ∴ a= ∴ ∴ e= = . . b, =b, ,

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,M 是线段 AB

故答案为:

点评: 本题考查椭圆 C 的离心率,考查学生的计算能力,正确运用点差法是关键. 五、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,其中 a∈R,θ∈(﹣ (1)当 a= (2)若 f( ,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; , )

)=0,f(π)=1,求 a,θ 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的求值.

菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析: (1)由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=﹣sin(x﹣ π],利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值. (2)由条件可得 θ∈(﹣ 解答: 解: (1)当 a= =sin(x+ =sin( )+ ,θ= ,

) ,再根据 x∈[0,

) ,cosθ﹣asin2θ=0 ① ,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ② ,由这两个式子求出 a 和 θ 的值.

时,f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) )= ) . , ], sinx+ cosx﹣ sinx=﹣ sinx+ cosx

cos(x+

﹣x)=﹣sin(x﹣ ∈[﹣

∵ x∈[0,π],∴ x﹣ ∴ sin(x﹣ ∴ ﹣sin(x﹣ )∈[﹣

,1], ], . , ) ,

)∈[﹣1,

故 f(x)在区间[0,π]上的最小值为﹣1,最大值为

(2)∵ f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,a∈R,θ∈(﹣ f( )=0,f(π)=1,

∴ cosθ﹣asin2θ=0 ① ,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ② , 由① 求得 sinθ= ,由② 可得 cos2θ=
2

=﹣ ﹣ =1﹣2× ,



再根据 cos2θ=1﹣2sin θ,可得﹣ ﹣ 求得 a=﹣1,∴ sinθ=﹣ ,θ=﹣ 综上可得,所求的 a=﹣1,θ=﹣ . .

点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 18. (12 分) (2014?江西)已知首项是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N )满足 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= (2)若 bn=3 ,求数列{cn}的通项公式;
n﹣1 *

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,en=
菁优网版权所有

,可得数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,即可求数列

{cn}的通项公式; (2)用错位相减法来求和.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 解答: 解: (1)∵ anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,cn=



∴ cn﹣cn+1+2=0, ∴ cn+1﹣cn=2, ∵ 首项是 1 的两个数列{an},{bn}, ∴ 数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴ cn=2n﹣1; (2)∵ bn=3
n﹣1

,cn=
n﹣1



∴ an=(2n﹣1)?3 , 0 1 n﹣1 ∴ Sn=1×3 +3×3 +…+(2n﹣1)×3 , 1 2 n ∴ 3Sn=1×3 +3×3 +…+(2n﹣1)×3 , 1 2 n﹣1 n n ∴ ﹣2Sn=1+2?(3 +3 +…+3 )﹣(2n﹣1)?3 =﹣2﹣(2n﹣2)3 , n ∴ Sn=(n﹣1)3 +1. 点评: 本题为等差等比数列的综合应用,用好错位相减法是解决问题的关键,属中档题.
2

19. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=(x +bx+b) (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围.

(b∈R)

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 b=4 代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的零点对定义域分段,由导函数在各区间段内 的符号判断原函数的单调性,从而求得极值;
菁优网版权所有

(2)求出原函数的导函数,由导函数在区间(0, )上大于等于 0 恒成立,得到 )恒成立.由单调性求出 解答:
2

对任意 x∈(0,

的范围得答案. = (x ) ,

解: (1)当 b=4 时,f(x)=(x +4x+4)

则 由 f′ (x)=0,得 x=﹣2 或 x=0. 当 x<﹣2 时,f′ (x)<0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上为减函数. 当﹣2<x<0 时,f′ (x)>0,f(x)在(﹣2,0)上为增函数. 当 0<x< 时,f′ (x)<0,f(x)在(0, )上为减函数. ∴ 当 x=﹣2 时,f(x)取极小值为 0. 当 x=0 时,f(x)取极大值为 4; (2)由 f(x)=(x +bx+b)
2

=



,得:

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

=



由 f(x)在区间(0, )上单调递增, 得 f′ (x)≥0 对任意 x∈(0, )恒成立. 即﹣5x ﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈(0, )恒成立. ∴ 对任意 x∈(0, )恒成立.
2

∵ ∴ .



∴ b 的取值范围是



点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的极值,考查了数学转化思想方法,是中 档题. 20. (12 分) (2014?江西)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 为矩形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD. (1)求证:AB⊥ PD; (2)若∠ BPC=90°,PB= ,PC=2,问 AB 为何值时,四棱锥 P﹣ABCD 的体积最大?并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: (1)要证 AD⊥ PD,可以证明 AB⊥ 面 PAD,再利用面面垂直以及线面垂直的性质,即可证明 AB⊥ PD.
菁优网版权所有

(2)过 P 做 PO⊥ AD 得到 PO⊥ 平面 ABCD,作 OM⊥ BC,连接 PM,由边长关系得到 BC= AB=x,则 VP﹣ABCD= ,故当

,PM=

,设

时,VP﹣ABCD 取最大值,建立空间直角坐标系 O﹣AMP,

利用向量方法即可得到夹角的余弦值. 解答: 解: (1)∵ 在四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 为矩形,∴ AB⊥ AD, 又∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD, ∴ AB⊥ 面 PAD,∴ AB⊥ PD. (2)过 P 做 PO⊥ AD,∴ PO⊥ 平面 ABCD,
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 作 OM⊥ BC,连接 PM ∴ PM⊥ BC, ∵ ∠ BPC=90°,PB= ,PC=2, ∴ BC= ,PM= = ,BM= , = , ,

设 AB=x,∴ OM=x∴ PO= ∴ VP﹣ABCD= ×x× 当 ,即 x= ×

,VP﹣ABCD=

建立空间直角坐标系 O﹣AMP,如图所示, 则 P(0,0, ) ,D(﹣ ,0,0) ,C(﹣ , ,0) ,M(0, ,0) ,B( , ,0)

面 PBC 的法向量为 =(0,1,1) ,面 DPC 的法向量为 =(1,0,﹣2) ∴ cosθ= = =﹣ .

点评: 本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量,考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能 力与方程思想.

21. (13 分) (2014?江西)如图,已知双曲线 C: 线 AF⊥ x 轴,AB⊥ OB,BF∥ OA(O 为坐标原点) . (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0) (y0≠0)的直线 l: 明:当点 P 在 C 上移动时,

﹣y =1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近

2

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证

恒为定值,并求此定值.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

考 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆锥曲线的关系. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (1)依题意知,A(c, ) ,设 B(t,﹣ ) ,利用 AB⊥ OB,BF∥ OA,可求得 a= 析: 程;
菁优网版权所有

,从而可得双曲线 C 的方

(2)易求 A(2,

) ,l 的方程为:

﹣y0y=1,直线 l:

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线

x= 相交于点 N,可求得 M(2,

) ,N( ,

) ,于是化简

=

可得其

值为

,于是原结论得证.

解 (1)解:依题意知,A(c, ) ,设 B(t,﹣ ) , 答: ∵ AB⊥ OB,BF∥ OA,∴ 整理得:t= ,a= ∴ 双曲线 C 的方程为 , ﹣y =1; ) ,l 的方程为: ﹣y0y=1,
2

?

=﹣1, =



(2)证明:由(1)知 A(2, 又 F(2,0) ,直线 l:

﹣y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.

于是可得 M(2,

) ,N( ,

) ,

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com



=

=

=

=

=



点 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,推理论证能力、运 评: 算求解能力、函数与方程思想,属于难题. 22. (14 分) (2014?江西)随机将 1,2,…,2n(n∈N ,n≥2)这 2n 个连续正整数分成 A、B 两组,每组 n 个数, A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2;记 ξ=a2﹣a1,η=b2﹣b1. (1)当 n=3 时,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)C 表示时间“ξ 与 η 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C) ; (3)对(2)中的事件 C, 表示 C 的对立时间,判断 P(C)和 P( )的大小关系,并说明理由. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)当 n=3 时,ξ 的取值可能为 2,3,4,5,求出随机变量 ξ 的分布列,代入数学期望公式可得其数学期 望 Eξ. (2)根据 C 表示时间“ξ 与 η 的取值恰好相等”,利用分类加法原理,可得事件 C 发生的概率 P(C)的表达 式;
菁优网版权所有

*

(3)判断 P(C)和 P( )的大小关系,即判断 P(C)和 的大小关系,根据(2)的公式,可得答案. 解答: 解: (1)当 n=3 时,ξ 的取值可能为 2,3,4,5 其中 P(ξ=2)= = ,

P(ξ=3)=

=



P(ξ=4)=

=



P(ξ=5)=

= ,

故随机变量 ξ 的分布列为: ξ 2 P ξ 的数学期望 E(ξ)=2× +3× +4×

3

4

5

+5× = ;

(2)∵ C 表示时间“ξ 与 η 的取值恰好相等”, ∴ P(C)=2×

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com (3)当 n=2 时,P(C)=2× 即 P( )<P(C) ; 当 n≥3 时,P(C)=2× < ,此时 P( )> ; = ,此时 P( )< ;

即 P( )>P(C) ; 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列,求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题, 题目做起来不难,运算量也不大,只要注意解题格式就问题不大.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;qiss;maths;szjzl;xintrl;涨停;翔宇老师;wsj1012;caoqz;sxs123; 清风慕竹;任老师;wfy814;bjkjdxcl(排名不分先后)
菁优网 2014 年 7 月 8 日

?2010-2014 菁优网


相关文章:
2014年江西省高考数学试卷(理科)
2014年江西省高考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。2014 年江西省高考数学试卷(理科) 菁优网 www.jyeoo.com 2014 年江西省高考数学试卷(理科)一、选择题...
2014年高考(江西卷)理科数学
2014年高考(江西卷)理科数学_高考_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间...
2014年江西省高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2014年江西省高考理科数学试卷及答案解析(word版)_高考_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (江西 卷)数学(理科) 一.选择题:本大题共 10...
2014年江西省高考数学试卷(理科)
2014 年江西省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目...
14年高考真题——理科数学(江西卷)
14年高考真题——理科数学(江西卷)_高考_高中教育_教育专区。2014 年高考真题理科数学(解析版) 江西卷 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西)卷数学(理科) ...
2014年江西卷高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年江西卷高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2014年江西卷高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版) ...
2014年江西省高考数学试卷(理科)
2014 年江西省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. (5 分)...
2014年江西省高考数学试卷(理科)
2014 年江西省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. (5 分...
2014年江西高考理科数学试题及答案(精华整理版)
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学(含参考答案)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至 2 页,第 II...
更多相关标签:
2014江西高考数学理科 | 2011江西高考数学理科 | 2013江西高考数学理科 | 2012江西高考数学理科 | 2016江西高考数学试卷 | 江西高考数学试卷 | 2015江西高考数学试卷 | 江西省高考数学试卷 |