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3.3.1导数在研究函数中的应用单调性导学案


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清中学案文数选修 1-1

函数的单调性与导数 §3.3.1 函数的单调性与导数
1.会从几何直观了解函数单调性和导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 学习重点: 利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性; 学习难点: 利用导数的符号判断函数的单调性 创设情境: 一、创设情境: 学习目标: 1.如何判断函数的单调性?讨论函数 y = x 2 ? 4 x + 3 的单调性. 2.那么如何判断函数 f ( x) = e x ? x 的单调性? 二、探索新知: 探索新知: 1.问题 问题 阅读课本 P89,思考 P90 上面的“思考” 。 2.函数的单调性与导数的关系 2.函数的单调性与导数的关系 观察课本 P90 图 3.3-2,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

3.函数的单调性与导数的关系 (1)设函数 y= f (x) ,在某个区间 (a , b) 内,如果 f ′( x) > 0 ,则 y = f (x) 在 该区间内单调 单调 . 即由 f ′( x) > 0 得函数 y= f (x) 的单调 数 y= f (x) 的单调 区间。 区间,由 f ′( x) < 0 得函 ,如果 f ' ( x) < 0 ,那么函数 y = f ( x) 在这个区间内

( 2 )若函数 y= f (x) 在某区间上可导,则当 f (x) 在该区间上递增时,
f ′(x)

,当 f (x) 在该区间上递减时, f ′(x)



说明: 说明: y′ >0(或 y′ <0)是函数在(a,b)上单调增(或减)的充分不必要条 件. 4.利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) (2) (3)

三、例题选讲(学生展示,教师点评补充) 例题选讲(学生展示,教师点评补充) : 例题选讲 ' 例 1 已知导函数 f ( x) 的下列信息: : ' 当 1 < x < 4 时, f ( x) > 0 ; 当 x > 4 或 x < 1 时, f ' ( x) < 0 ; 当 x = 4 或 x = 1 时, f ' ( x) = 0 . 试画出函数 y = f ( x ) 图像的大 致形状.

例 2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间. x 前面提到的 f ( x ) = e ? x

(1) f ( x) = x3 + 3 x

(2) f ( x) = 2 x 3 ? 6 x 2 + 7

四、课堂练习 1.求下列函数的单调区间 (1) f ( x) = sin x ? x x ∈ (0, π )
1 + 2x x (4) y = x ln x

(2) f ( x) =

(3) f ( x) = sin x , x ∈ [0,2π ] 五、小结 利用导数确定函数的单调性的步骤是 六、布置作业 1.课本练习 P93 1.2.3.4 2.课本 P98 1.2.
2

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清中学案文数选修 1-1

3.3.1 第二课时
一、复习回顾 1.利用导数确定函数的单调性的步骤是 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间。 f ( x) = x 3 - 4 x 2 + 4 x - 8

二、例题析解 例 1 求证:函数 y = 2 x3 + 3 x 2 ? 12 x + 1 在区间(0,1)内是减函数. 证明: 证明:

说明: 说明: 证明可导函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内的单调性步骤:

例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面 积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函 数关系图像.

思考: 思考: 例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变 化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?

3

练习 函数 f ' ( x) 如右图,则 f (x) 图像是____

A

B

C

D

例 3 已知函数 f ( x) = 4 x + ax 2 ?

2 3 x ( x ∈ R ) 在区间 [ ?1,1] 上是增函数,求实数 3

a 的取值范围. 解:

三、课堂练习 1.已知函数 y = x +
1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

2. 若 函 数 y = x 3 + x 2 + mx + 1 是 R 上 的 单 调 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 .

3. 若函数 y = x 3 + x 2 + mx + 1 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递 增,则实数 m 的值是 . 四、回顾总结 1.函数的单调性与导数的关系 2.求解函数 y = f ( x) 单调区间

3.证明可导函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内的单调性

五、布置作业 优化设计 P36 1-5
4


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