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2013版高考数学一轮复习精品学案:7.2空间点、线、面之间的位置关系


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2013 版高考数学一轮复习精品学案:第七章 立体几何
7.2 空间点、线、面之间的位置关系
【高考新动向】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、考纲点击 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理

和定理; (3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 2、热点提示 (1)以空间几何体为载体,考查逻辑推理能力; (2)通过判断位置关系,考查空间想象能力; (3)应用公理、定理证明点共线、线共面等问题; (4)多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、考纲点击 (1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理; (2)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。 2、热点提示 (1)对线线平行、线面平行和面面平行的考查是高考的热点; (2)平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现,考查对与平行有关的概念、公理、定理、性 质、结论的理解和运用,题目难度较小; (3)平行关系的证明及运用,多以解答题的形式出现,主要考查有关定理、性质的运用及各种平行 关系的相互转化,题目有一定的综合性,常与垂直的证明、空间角的求法及空间向量结合在一起考查,属 低中档题. 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、考纲点击 (1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理; (2)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。 2、热点提示
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(1)垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中,主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性 质、结论的理解及运用,往往与命题及平行关系综合在一起考查,难度较小; (2)线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现,且常与平行关系综合命题,难度中 等; (3)通过线面角、二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力,常以解答题的形式出现, 难度中等.

【考纲全景透析】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内; 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 即:

2、直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

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? ?相交直线 ?共面直线 ? ? ?平行直线 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点

(2)平行公理和等角定理 ①平行公理: 平行于同一条直线的两条直线平行.用符号表示:设 a,b,c 为三条直线,若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ②等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (3)异面直线所成的角 ①定义: 设 a,b 是两条异面直线, 经过空间中任一点 O 作直线 a ∥a,b ∥b,把 a 与 b 所成的锐角 (或 直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) ②范围: ? 0, ? 2
’ ’ ’ ’

? ?

??
?

3、直线和平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 直线 a 在平面α 内 有无数个公共点 直线 a 与平面α 相交 有且只有一个公共点 直线 a 与平面α 平行 没有公共点

a ??

a ??A

a / /?

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图形表示

4、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平行

? / /?

0

斜交 两平面相交

?

? ?a

有无数个公共点在 一条直线上

? ??
垂直

有无数个公共点在 一条直线上

?
5、平行公理

? ?a

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行,可能 相交,也可能异面) 6、定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; (2)性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; 2、平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; (2)性质定理:
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如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 注:能否由线线平行得到面面平行?(可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条相交直线,这两个平面就平行) 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面α 垂直; (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直; 2、二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 3、平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直; (2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直; (2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注:垂直于同一平面的两平面是否平行?(可能平行,也可能相交) 4、直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 90 和 0 。
0 0

【热点难点全析】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 (一)异面直线的判定 ※相关链接※ 证明两直线为异面直线的方法: 1、定义法(不易操作) 2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的 推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中,也可用下述结论: 过平面处一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:

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※例题解析※ 〖 例 〗 如 图 所 示 , 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 、 N 分 别 是 A1B1 、 B1C1 的 中 点 。 问 :

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由。 思路解析: (1)易证 MN//AC,∴AM 与 CN 不异面。 (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线,证明时常 用反证法。 解答: (1)不是异面直线。理由:连接 MN、A1C1、AC。∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN// A1C1, 又∵A1A CC1,∴A1ACC1 为平行四边形。∴A1C1//AC,得到 MN//AC,∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM

和 CN 不是异面直线。 (2)是异面直线。证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面。假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存在平面α ,使 D1B ? 平面α ,CC1 ? 平面α ,∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾。∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线 (二)平面的基本性质及平行公理的应用 ※相关链接※ 1、平面的基本性质的应用 (1)公理 1:可用来证明点在平面内或直线在平面内; (2)公理 2:可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面; (3)公理 3:可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论:
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(1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面; (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在 这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点 在直线上。 (3)证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证明平面α 、β 重合。 ※例题解析※ 〖例〗如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90 ,BC G、H 分别为 FA、FD 的中点。
0

1 AD,BE 2

1 FA, 2

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 思路解析: (1)G、H 为中点 ?GH

1 AD,又 BC 2

1 AD ? GH 2
'

BC; (2)方法一:证明

D 点在 EF、GJ 确定的平面内。方法二:延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M, M ,可证 M 与 M 重合,从而 FE 与 DC 相交。
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'

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解答: (1)

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由已知FG ? GA, FH ? HD, 可得GH / /
(2)方法一:

1 1 AD.又BC / / AD,? GH / /BC ,?四边形BCHG为平行四边形。 2 2

1 AF , G为FA中点知,BE / /FG,?四边形BEFG为平行四边形, 2 ? EF / / BG.由(1)知BG / / CH ,? EF / / CH ,? EF 与CH 共面. BE / / 又D ? FH ,? C、D、F、E四点共面.
方法二:如图,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M, M ,∵BE
'

1 AF,∴B 为 MA 中点。∵BC 2

1 ' ' ' AD,∴B 为 M A 中点,∴M 与 M 重合,即 FE 与 DC 交于点 M( M ) ,∴C、D、F、E 四点共面。 2

(三)异面直线所成的角 〖例〗空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30 ,E、F 分别是 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小。
0

思路解析:要求 EF 与 AB 所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线,考虑到 E、F 为中点,故可 过 E 或 F 作 AB 的平行线。取 AC 的中点,平移 AB、CD,使已知角和所求的角在一个三角形中求解。 解答:取 AC 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG//AB,GF//CD,且由 AB=CD 知 EG=FG,∴∠GEF(或它的补 角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角。 ∵AB与 CD 所成的角为 30 ,∴∠EGF=30 或 150 。由 EG=FG 知Δ EFG 为等腰三角形,当∠EGF =30 时,∠GEF=75 ;当∠EGF=150 时,∠GEF=15 。故 EF 与 AB 所成的角为 15 或 75 。 注: (1)求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将 两条直线同时平移到某个位置,使其相交。平移直线的方法有:①直接平移②中位线平移③补形平移; (2)求异面直线所成角的步骤: ①作:通过作平行线,得到相交直线;
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0 0 0 0 0 0 0 0 0

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②证:证明相交直线所成的角为异面直线所成的角; ③求:通过解三角形,求出该角。 二、直线、平面平行的判定及其性质 (一)直线与平面平行的判定 ※相关链接※ 判定直线与平面平行,主要有三种方法: (1)利用定义(常用反证法) ; (2)利用判定定理:关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有,若没 有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。 (3)利用面面平行的性质定理:当两平面平行时,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。 注:线面平行关系没有传递性,即平行线中的一条平行于一平面,另一条不一定平行于该平面。 ※例题解析※ 〖例〗如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 有公共边 BC,BE//CF,∠BCF=90 ,求证:AE//平面 DCF
0

思路解析:作 EG⊥CF 于 G ?AD / / EG ?AE//DG ?AE//平面 DCF 解答:过点 E 作 EG⊥CF 交 CF 于 G,连接 DG,可得四边形 BCGE 为矩形。

又 ABCD 为矩形, 所以 AD / / EG, 从而四边形 ADGF 为平行四边形, 故 AE//DG。 因为 AE ? 平面 DCF, DG ? 平面 DCF,所以 AE//平面 DCF (二)平面与平面平行的判定
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※相关链接※ 判定平面与平面平行的常用方法有: (1)利用定义(常用反证法) ;

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(2)利用判定定理:转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中,也 可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行; (3)利用面面平行的传递性:

? / /? ? ? ? ? / /? . ? / /? ?

(4)利用线面垂直的性质: ※例题解析※

? ? l? ? ? ? / /? 。 ? ? l?

〖例〗如图所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 各棱长为 4,E、F、G、H 分别是 AB、AC、A1C1、A1B1 的中点,求 证:平面 A1EF//平面 BCGH 思路解析:本题证面面平行,可证明平面 A1EF 内的两条相交直线分别与平面 BCGH 平行,然后根据面 面平行判定定理即可证明。 解答:Δ ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF//BC。又∵EF ? 平面 BCGH,BC ? 平面 BCGH,∴EF// 平面 BCGH。又∵G、F 分别为 A1C1,AC 的中点,∴A1G / / FC。∴四边形 A1FCG 为平行四边形。∴A1F//GC。又 ∵A1F ? 平面 BCGH,CG ? 平面 BCGH,∴A1F//平面 BCGH。又∵A1F∩EF=F,∴平面 A1EF//平面 BCGH (三)直线与平面平行的性质及应用 〖例〗如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么位置时其截面面积 最大。

思路解析:先利用线面平行的性质,判定截面形状,再建立面积函数求最值。 解答:∵AB//平面 EFGH,平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH,∴AB//FG,AB//EH,∴ FG//EH,同理可证 EF//GH,∴截面 EFGH 是平行四边形。设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角) 。
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圆您梦想 x CG y BG , ? , 又设 FG=x.GH=y,则由平面几何知识可得 ? a BC b BC x y b 两式相加得 ? ? 1, 即y ? (a ? x ) a b a b b sin ? x(a ? x). ∴ S EFGH ? FG GH sin ? ? x (a ? x) sin ? ? a a
∵ x ? 0, a ? x ? 0且x ? (a ? x) ? a为定值, ∴当且仅当 x ? a ? x 时,

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b sin ? ab sin ? a x(a ? x) ? 取最大值,此时 x ? ,即当截面 EFGH 的顶点 a 4 2

E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时,截面面积最大。 注:利用线面平行的性质,可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中,若遇到线 面平行这一条件,就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现 平行转化。至于最值问题,常用函数思想解决,若题目中没有涉及边长,要大胆地设未知量,以便解题。 (四)平面与平面平行的性质及应用 ※相关链接※ 平面与平面平行的判定与性质,同直线与平面平行的判定与性质一样,体现了转化与化归的思想。三 种平行关系如图:

性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行化为线面平行 并进而化为线线平行,注意作平面时要有确定平面的依据。 ※例题解析※ 〖例〗已知,平面α //平面β ,AB、CD 夹在α 、β 之间,A、C∈α ,B、D∈β ,E、F 分别为 AB、CD 的中点,求证:EF//α ,EF//β 思路解析:通过作辅助平面,利用面面平行得到线线平行,再证线面平行。 解答:当 AB 和 CD 共面时,经过 AB、CD 的平面与α 、β 分别交于 AC、BD。∵α //β ,∴AC//BD。又 ∵AE=EB,CF=FD,∴EF//AC。∵AC ? α ,EF ? α ,∴EF//α ,同理 EF//β ,当 AB 和 CD 异面时,如图:

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在 CD 现 E 所确定的平面内, 过点 E 作 C D //CD 与α 、 β 分别交于点 C 、 D。 经过相交直线 AB 和 C D
‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘ ’

‘ ’





‘ ’

作平面分别交α 、β 于 AC 、BD 。∵α //β ,∴AC //BD ,又 AE=EB,∴C E=ED 。∵C D //CD,∴经过 C
‘ ’

D 和 CD 作平面与α 、β 分别交于 C C 和 D D。∵α //β ,∴C C//D D。 在平面四边形 C D DC 中,∵C E=ED ,CF=FD,∴EF// D D。∵D D ? β ,EF ? β ,∴EF//β ,同理
‘ ’ ‘ ’ ’ ’









EF//α 。 三、直线、平面垂直的判定及其性质 (一)直线和平面垂直的判定和性质 ※相关链接※ 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理; (2)利用平行线垂直于平面的传递性 (3)利用面面平行的性质 (4)利用面面垂直的性质。 当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直线,常用来证明线线垂直。 ※例题解析※ 〖例〗如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45 ,求证: MN⊥平面 PCD。 思路解析:
0

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解答:如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE。

(二)平面与平面垂直的判定 ※相关链接※ 证明面面垂直的主要方法是:①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分 利用等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为 直二面角。③客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个 平面。 面面垂直的判定综合性强,可通过转化使问题得以解决, “线线垂直” 、 “线面垂直” 、 “面面垂直”间 的关系如图,

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其中线线垂直是基础,线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面 垂直的条件.

※例题解析※ 〖例〗如图,在△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、 AD 上的动点,且

AE AF ? =λ (0<λ <1). AC AD

(1)判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并给予证明; (2)是否存在λ ,使得平面 BEF⊥平面 ACD,如果存在,求出λ 的值,如果不存在,说明理由. 【方法诠释】(1)结合图形猜测 EF 与平面 ABC 垂直.由 平面 BCD 可证得结论成立. (2)由 EF∥CD 可知问题相当于过点 B 作一个平面与平面 ACD 垂直,而这样的平面一定存在,故只需计 算出λ 即可. 解析:(1)EF⊥平面 ABC. 证明:∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥CD, 在△BCD 中,∠BCD=90°,∴BC⊥CD, 又 AB∩BC=B,∴CD⊥平面 ABC, 在△ACD 中 ∴EF∥CD, ∴EF⊥平面 ABC. (2)∵CD⊥平面 ABC,BE?平面 ABC,
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AE AF ? 知 EF∥CD,由∠BCD=90°及 AB⊥ AC AD

AE AF ? =λ (0<λ <1), AC AD

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∴BE⊥CD, 故要使平面 BEF⊥平面 ACD,只需证 BE⊥AC. 在 Rt△ABD 中,∠ADB=60°, ∴AB=BDtan60°= 6 , 则 AC ? AB2 ? BC2 ? 7, 当 BE⊥AC 时, BE=

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AB BC 6 = , AC 7
36 , 7

AE ? AB2 ? BE2 ?

AE 则 = AC

36 7 = 6 ,即 ?= AE = 6 时,BE⊥AC, AC 7 7 7

又 BE⊥CD,AC∩CD=C, ∴BE⊥平面 ACD, ∵BE?平面 BEF, ∴平面 BEF⊥平面 ACD. 所以存在λ =

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

(三)平面与平面垂直性质的应用 ※相关链接※ (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. ※例题解析※ 〖例〗 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB//DC, Δ PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5 。

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(1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积。 思路解析: (1)因为两平面垂直与 M 点位置无关,所以在平面 MBD 内一定有直线垂直于平面 PAD,考 虑证明 BD⊥平面 PAD; (2)四棱锥底面为一梯形,高为 P 到面 ABCD 的距离。 解答: (1)在Δ ABD 中,

(2)过 P 作 PO⊥AD,∵面 PAD⊥面 ABCD,∴PO⊥面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高。又Δ PAD 是 边长为 4 的等边三角形,∴PO= 2 3 。

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注: (1)当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面 垂直,进而可以证明线段线线垂直,构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。 (2)已知面面垂直时,通过作辅助线可转化为线面垂直,从而有更多的线线垂直的条件可用,必要 时可以通过平面几何的知识证明垂直关系,通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最 常用方法。 (四)线面角、二面角求法 ※相关链接※ 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查,更多的是在解答题 中考查。 求这两种空间角的步骤: 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)

?认(指) ?求。
在客观题中,也可用射影法: 设斜线段 AB 在平面α 内的射影为 A’B’,AB 与α 所成角为θ ,则 cosθ =

A' B ' AB

.

设Δ ABC 在平面α 内的射影三角形为 A ' B ' C ' ,平面 ABC 与α 所成角为θ ,则 cosθ = ※例题解析※

S A ' B 'C ' . S ABC

〖例〗三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点。

(1)证明:平面 GFE//平面 PCB; (2)求二面角 B-AP-C 的正切值; (3)求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值。 思路解析: (1)利用三角形的中位线性质; (2)利用定义作出二面角 B-AP-C 的平面角; (3)利用线面垂直构造直线与平面所成角。 解答: (1)因为 E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点,所以 EF//BC,GF//CP。因为 EF,GF ? 平面 PCB,
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所以 EF//平面 PCB,GF//平面 PCB。又 EF∩GF=F,所以平面 GFE//平面 PCB。

(2)过点 C 在平面 PAC 内作 CH⊥PA,垂足为 H,连接 HB。

因为 BC⊥PC,

BC⊥AC,且 PC∩AC=C,所以 BC⊥平面 PAC,所以 HB⊥PA,所以∠BHC 是二面角 B-AP-C 的平面角。依条件 容易求出 CH=

2 1 5 5 ,所以 tan∠BHC= ,所以二面角 B-AP-C 的正切值是 。 ? 2 2 2 5 5

(3)如图,设 PB 的中点为 K,连接 KC,AK,因为Δ PCB 为等腰直角三角形,所以 KC⊥PB;又 AC⊥PC, AC⊥BC,且 PC∩BC=C,所以 AC⊥平面 PCB,所以 AK⊥PB,又因为 AK∩KC=K,所以 PB⊥平面 AKC;又 PB ? 平面 PAB, 所以平面 AKC⊥平面 PAB。 在平面 AKC 内, 过点 F 作 FM⊥AK, 垂足为 M。 因为平面 AKC⊥平面 PAB, 所以 FM⊥平面 PAB,连接 PM,则∠MPF 是直线 PF 与平面 PAB 所成的角。容易求出 PF= 2 ,FM=

1 ,所以 3

1 2 2 sin∠MPF= 3 = .即直线 PF 与平面 PAB 所成的角的正弦值是 6 2 6

【高考零距离】
1、 (2012· 安徽高考文科· T15) 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等, 即 AB ? CD ,AC ? BD ,

AD ? BC ,则______ __(写出所有正确结论编号)。

①四 面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 而小于 180 ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分[来源:Z*xx*k.Com] ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解题指南】作出立体图,根据点线面的位置关系判断. 【解析】可将四面体 ABCD 放回长方体内,使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的
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。 。

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对角线,在此背景下,长方体的长、宽、高分别为 x, y, z ,则①需要满足 x ? y ? z ,才能成立; ②因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证) ;正四面体的同一顶点处三个角之和为
180 ,事实上各个面都是全等的三角形,对应三个角之和一定恒等于 180 ,③显然不成立;

④可由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断其正确性;每个顶点出发的三条棱的长恰 好分别等于各个面的三角形的三边长,⑤显然成立. 答案:②④⑤ 2. (2012·新课标全国高考文科·T19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ 1 ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。

C1 A1

B1

D C A B

【解题指南】 (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面 垂直,要证平面 BDC1⊥平面 BDC,可证 DC1 ? 平面 BCD; (2)平面 BDC1 分棱柱下面部分 B ? ADC1C 为四棱锥,可直接求体积,上面部分可用间接法 求得体积,从而确定两部分体积之比。 解:(I)由题设可知 BC ? CC1 , BC ? AC, CC1 又 DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,所以 DC1 ? BC . 由题设知 ?A1DC1 ? ?ADC ? 45? ,所以 ?CDC1 ? 90? ,即 DC1 ? DC .又 DC 所以 DC1 ? 平面 BDC .又 DC1 ? 平面 BDC1 ,故平面 BDC1 ? 平面 BDC.
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AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACC1 A1 .

BC ? C,

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(II)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC ? 1 .由题意得
1 1? 2 1 V1 ? ? ? 1? 1 ? 3 2 2

V -V1 ?:V1 =1:1 又三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1 ,所以 ? .
故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1:1. 3. (2012·辽宁高考文科·T18)(12 分)
如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 ,
/ / /

AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积。
/ / /

(椎体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3

【解题指南】由中点联想到中位线,据中位线和底边平行,解决问题;通过变换顶点,将三棱锥转化为底 面积和高已知或易求的形式,求得体积 【解析】 (1)连结 AB?, AC ? ,由已知 M 为 AB? 的中点,N 为 B ?C ? 的中点,所以 MN 为三角形 AB ?C ? 的中位 线,故 MN ∥ AC ? ,又 MN ? 平面A?ACC ?,AC ? ? 平面A?ACC ?, 因此 MN 平面A?ACC ? (2)连结 BN,由题意, A ?N ⊥ B ?C ? , 平面A?B?C ? 平面B?BCC ? ? B?C ? ,
1 所以 A?N ? 平面B?BCC ?, 即 A?N ? 平面NBC ,故 VA??MNC ? VN ? A?MC ? S 3
A?MC

?h

又S

A?MC

?

1 S 2

A?BC

1 1 1 1 ,所以 VA??MNC ? VN ?A?MC ? VN ?A ?BC ? VA ??NBC ? ? ? S NBC ? A?N 2 2 2 3

因为 ?BAC ? 90 , BA ? BC ? 2 ,所以 BC ? B ?C ? ? 2
S
NBC

?

1 1 1 BC ? BB? ? ? 2 ?1 ? 1, A?N ? B?C ? ? 1 , 2 2 2
NBC

1 1 所以 VA??MNC ? VN ? A?MC ? ? ? S 2 3

? A?N ?

1 6

4. (2012·广东高考文科·T18) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,
AB ? 平面PAD , AB / /CD , PD ? AD , E 是
PB

的中点,F 是 CD 上的点, 且 DF ?
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1 AB , PH 2
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?PAD 中 AD 边上的高。

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(1)证明: PH ? 平面ABCD ; (2)若 PH ? 1 求三棱锥 E ? BCF 的体积; ,AD ? 2,FC ? 1 , (3)证明: EF ? 平面PAB . 【解题指南】
A B? P H , PH ?

(1)证明线面垂直利用判断定理需证线线垂直,本小题易证:
A. D

(2)解决本小题的关键是由(1)知 BD ? AC ,再结合矩形 ABCD,进而确定四边形 ABCD 是正 方形。 然后可以利用空间向量法也可以利用传统方法找(或做)出二面角的平面角求解即可. (3)解决本题的第一个难点是证 AB ? EF ,通过取 AB 的中点 M,证 AB ? 平面EFM 即可。 第二个难点是证 EF ? PB ,需证 PF ? BF ,进一步需证: Rt ?FMB ? Rt ?PDF 即可。 【解析】(1)
AB ? 平面PAD,PH ? 平面PAD ,
PH ? AD 且 AD

? AB ? PH ,又

AB ? A

? PH ? 平面ABCD

1 1 1 1 2 (2) V三棱锥E ? BCF ? V三棱锥P? BCF ? ? ? ?1? 2 ?1 ? . 2 2 3 2 12

(3)连接 PF, HF, 取 AB 的中点 M 连接 FM, EM, 因为 E 为 PB 的中点,DF \ \
?

1 AB ,所以EM//PA, 2

四边形 EFMA 为平行四边形,所以 FM//AD,又因为 AB ? 平面PAD ,所以 AB ? AD, AB ? PA, 所以 AB ? FM , AB ? EM , 且EM

FM ? M ,所以 AB ? 平面EFM , 所以 AB ? EF 。

又因为 CD // AB ,所以 CD ? 平面PAD, CD ? PD ,所以 Rt ?FMB ? Rt ?PDF , 所以 PF ? BF ,又因为 E 为 PB 的中点,所以 EF ? PB, 又 PB 所以 EF ? 平面PAB .
AB ? B ,

5. (2011·辽宁高考理科·T8)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不 . 正确 的是 .. (A) AC⊥SB
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(B) AB∥平面 SCD

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(C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【思路点拨】先逐项分析,再判断结论. 【精讲精析】选 D. 选 具体分析 项 四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,所以 AC⊥BD,又 SD⊥底面 ABCD,所以 SD⊥AC,从而 AC⊥ A 面 SBD,故 AC⊥SB. B C 由 AB∥CD,可得 AB∥平面 SCD. 选项 A 中已证得 AC⊥面 SBD,又 SA=SC,所以 SA 与平面 SBD 所成的角 ?SAC 等于 SC 与平 面 SBD 所成的角 ?SCA AB 与 SC 所成的角为 ?SCD ,此为锐角,而 DC 与 SA 所成的角即 AB 与 SA 所成的角,此为 D 直角,二者不相等. 确 正确 不正 正确 正确 结论

6. (2011·浙江高考理科·T4)下列命题中错误的是 (A)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (C)如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面 ? (D)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系. 【精讲精析】选 D.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内垂直于交线的直线都垂直于平面 ? ,其它与交线 不垂直的直线均不与平面 ? 垂直,故 D 项叙述是错误的. 7. (2011·江苏高考·T16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

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【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直,解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需 要的条件,注意要把所需的条件摆充分. 【精讲精析】 (1) 在 ?PAD 中,因为 E , F 分别是 AP, AD 的中点,所以 EF // PD ,又因为 EF ? 平面 PCD ,PD ? 平 面 PCD ,所以直线 EF // 平面 PCD .
? (2)连结 BD.因为 AB ? AD , ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 为等边三角形.因为 F 分别是 AD 的中点,所以

BF ? AD .因为平面 PAD ? 平面 ABCD , BF ? 平面ABCD ,又因为 平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
所以 BF ? 平面PAD .又因为 BF ? 平面BEF ,所以平面 BEF ? 平面 PAD .

【考点提升训练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 C1D,BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( (A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直 )

2.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的 是( )

(A)A,M,O 三点共线
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(B)A,M,O,A1 不共面 (C)A,M,C,O 不共面 (D)B,B1,O,M 共面

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3.(预测题)设 m、n 表示不同直线,α 、β 表示不同平面,下列命题中正确的是( (A)若 m∥α ,m∥n,则 n∥α (B)若 m?α ,n?α ,m∥β ,n∥β ,则α ∥β (C)若α ⊥β ,m⊥α ,m⊥n,则 n∥β (D)若α ⊥β ,m⊥α ,n∥m,n β ,则 n∥ β ? 4.(2012·莆田模拟)已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面,给出下列命题 ①若 m∥α ,则 m 平行于平面α 内的无数条直线 ②若α ∥β ,m?α ,n?β ,则 m∥n ③若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n 则α ∥β ④若α ∥β ,m?α ,则 m∥β 其中正确命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (D)4 )



(C)3

5.设α 、β 、γ 为平面,l、m、n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件为( (A)α ⊥β ,α ∩β =l,m⊥l (B)n⊥α ,n⊥β ,m⊥α (C)α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ (D)α ⊥γ ,β ⊥γ ,m⊥α

6.(2012·重庆模拟)在一个 45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成 45°,则此直线与二面 角的另一个面所成的角为( (A)30° (B)45° ) (D)90°

(C)60°

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.若两条异面直线所成的角为 60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对” ,在连接正方体各顶点的所 有直线中, “黄金异面直线对”共有_______对. 8.(2012·晋城模拟)已知 l、m、n 是互不相同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n.
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其中所有真命题的序号为____________.

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9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,点 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点,则 ①棱 AB 与 PD 所在的直线垂直; ②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直; ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积; ④直线 AE 与直线 BF 是异面直线. 以上结论正确的是__________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为 CC1,AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平 面 ABCD 的交线. 11.(2012·大庆模拟)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点. (1)若 E 为 A1C1 的中点,求证:DE∥平面 ABB1A1; (2)若 E 为 A1C1 上一点,且 A1B∥平面 B1DE,求

A1E 的值. EC1

【探究创新】 (16 分)已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,E 是侧棱 PC 上的动点.

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(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

答案解析 1.【解析】选 A.直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF?平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两 直线相交. 2.【解析】选 A.连接 A1C1,AC,则 A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C 四点共面, ∴A1C?平面 ACC1A1, ∵M∈A1C,∴M∈平面 ACC1A1,又 M∈平面 AB1D1, ∴M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上, 同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上. ∴A,M,O 三点共线. 3.【解析】选 D.由 m∥α ,m∥n 可推得 n∥α 或 n?α ,故 A 错误;由 m? α ,n?α ,m∥β ,n∥β 不能推出α ∥β ,缺少条件 m 与 n 相交,故 B 错误;由α ⊥β ,m⊥α ,m⊥n,n 与 β 的位置关系可能平行,可能相交,也可能 n?β ,故 C 错误;只有 D 正确. 4.【解析】选 C.由线面平行的定义可知①正确;②中 m 与 n 可能平行,也可能异面,故②错误;由面面平 行的判定可证明③正确;由面面平行的性质可知④正确,综合上述①③④正确,选 C.
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5.【解析】选 B.如图①知 A 错;如图②知 C 错;如图③在正方体中,两侧面α 与β 相交于 l,都与底面γ 垂直,γ 内的直线 m⊥α ,但 m 与β 不垂直,故 D 错.由 n⊥α ,n⊥β 知α ∥β ,又 m⊥α ,故 m⊥β ,因 此 B 正确.

6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形,确定出所求的线面角是解题的关键,然后将所求的线面角 转化为求三角形内的角. 【解析】选 A.如图,二面角α -l-β 为 45°,AB?β , 且与棱 l 成 45°角,过 A 作 AO⊥α 于 O,作 AH⊥l 于 H. 连接 OH、OB,则∠AHO 为二面角α -l-β 的平面角, ∠ABO 为 AB 与平面α 所成角.不妨设 AH= 2 ,在 Rt△AOH 中,易得 AO=1;在 Rt△ABH 中,易得 AB=2. 故在 Rt△ABO 中, sin?ABO ?

AO 1 ? ,∴∠ABO=30°,为所求线面角. AB 2

7.【解析】正方体如图,若要出现所成角为 60°的异面直线, 则直线需为面对角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线 对的直线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方体 的面对角线有 12 条,所以所求的黄金异面直线对共有

12 ? 4 ? 24 对(每一对被计算两次,所以记好要除以 2). 2
答案:24

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8.【解析】①中,当α 、β 不平行时,也可能存在符合条件的 l、m;②中的直线 l、m 也可能异面;③中 由 l∥γ ,l?β ,γ ∩β =m 得 l∥m,同理 l∥n,故 m∥n. 答案:③ 9.【解析】由条件可得 AB⊥平面 PAD,所以 AB⊥PD,故①正确;∵PA⊥平面 ABCD,∴平面 PAB、平面 PAD 都与平面 ABCD 垂直, 故平面 PBC 不可能与平面 ABCD 垂直, ②错; S△PCD=

1 1 CD· PD, S△PAB= AB· PA, 由 AB=CD, 2 2

PD>PA 知③正确;由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点可得 EF∥CD,又 AB∥CD,所以 EF∥AB,故 AE 与 BF 共 面,故④错. 答案:①③ 10.【解题指南】根据公理 3,确定两平面的两个公共点即可得到交线. 【解析】在平面 AA1D1D 内,延长 D1F, ∵D1F 与 DA 不平行, ∴D1F 与 DA 必相交于一点,设为 P, 则 P∈D1F,P∈DA. 又∵D1F?平面 BED1F,AD?平面 ABCD, ∴P∈平面 BED1F,P∈平面 ABCD. 又 B 为平面 ABCD 与平面 BED1F 的公共点,连接 PB, ∴PB 即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.如图所示.

11.【解析】(1)取 B1C1 中点 G,连接 EG、GD, 则 EG∥A1B1,DG∥BB1,
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又 EG∩DG=G,∴平面 DEG∥平面 ABB1A1, 又 DE?平面 DEG, ∴DE∥平面 ABB1A1.

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(2)设 B1D 交 BC1 于点 F,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B∥平面 B1DE,A1B?平面 A1BC1, 所以 A1B∥EF.所以

A1E BF . ? EC1 FC1

又因为

BF BD 1 AE 1 ? ? ,所以 1 ? . FC1 B1C1 2 EC1 2

【探究创新】 【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度. (2)作辅助线,利用线面垂直证明线线垂直. (3)找到二面角的平面角,在三角形中利用余弦定理求解. 【解析】(1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2.

1 1 2 2 S 正方形 ABCD·PC= ×1 ×2= , 3 3 3 2 即四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 3
∴VP-ABCD= (2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE.

证明如下:连接 AC,∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD?平面 ABCD, ∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ∵不论点 E 在何位置,都有 AE?平面 PAC.
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∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. (3)在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连接 BF. ∵AD=AB=1,DE=BE= 12+ 12 = 2 ,AE=AE= 3 , ∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. ∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角. 在 Rt△ADE 中, DF ?

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AD DE 1? 2 6 , ? ? AE 3 3

∴BF=

6 . 3

又 BD=

2 ,在△DFB 中,由余弦定理得
2? DF2 ? BF2 ? BD2 1 ? ? ,∴∠DFB= , 3 2DF BF 2 2? . 3

cos?DFB ?

即二面角 D-AE-B 的大小为

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