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2.5 等比数列前n项和教案


§2.5 等比数列的前 n 项和
授课类型:新授课 (2 课时) ●教学目标 知识与技能: 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路; 会用等比数列的前 n 项和公式 解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法:经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具 体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观:在应用数

列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习 数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本 “国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列, 我们可以得到一个等比数列, 它的首 项是 1, 公比是 2, 求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列 的前 64 项的和。下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式。 1、 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q 2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q

得?

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n

∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义,

a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an

根据等比的性质,有



S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
[解决问题] 有了等比数列的前 n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得

a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) 64 = = 2 ?1。 Sn ? 1? 2 1? q
264 ? 1 这个数很大,超过了 1.84 ?1019 。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解] Ⅲ.课堂练习 Ⅳ.课时小结 等 比 数 列 求 和 公 式 : 当 q=1 时 , S n ? na1 当 q ? 1 时 , Sn ?

a1 ? a n q 1? q



Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

Ⅴ.课后作业

§2.5 等比数列的前 n 项和
授课类型:新授课 (第2课时) ●教学目标 知识与技能:会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的 S n , an , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力 过程与方法:通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的 思想. 情感态度与价值观:通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事 求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容: 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式② Ⅱ.讲授新课 1、等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn,S2n,S3n,
2 求证: S2 n ? S2 n ? Sn (S2 n ? S3n )

2、设 a 为常数,求数列 a,2a ,3a ,?,na ,?的前 n 项和; (1)a=0 时,Sn=0 (2)a≠0 时,若 a=1,则 Sn=1+2+3+?+n=
n-1 n

2

3

n

1 n ( n ? 1) 2

若 a≠1,Sn-aSn=a(1+a+?+a -na ) ,Sn= Ⅲ.课堂练习 Ⅳ.课时小结 Ⅴ.课后作业

a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 2 (1 ? a )


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