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1-3-1-2函数的最值


函数最大值习题
一、选择题
?2x+6 x∈[1,2] ? 1.函数 f(x)=? ,则 f(x)的最大值、最小值分别为 ? ?x+7 x∈[-1,1]

(

)

A.10,6

B.10,8 ( )

C.8,6

D.以上都不对

2.函数 y=x|x|的图象大致是

3.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x(其中销售量 x 单位:辆).若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为 A.90 万元 B.60 万元 C.120 万元 ( )

D.120.25 万元 ( )

4.已知 f(x)在 R 上是增函数,对实数 a、b 若 a+b>0,则有 A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) 5.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1)

B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)+f(-b) a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x+1 C.(0,1) D.(0,1] ( )

B.(-1,0)∪(0,1] )

3x+2 6.函数 y= (x≠2)的值域是( x-2 A.[2,+∞) B.(-∞,2]

C.{y|y∈R 且 y≠2}

D.{y|y∈R 且 y≠3}

7.函数 y=f(x)的图象关于原点对称且函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,最小值为 5,那么函数 y=f(x)在 区间[-7,-3]上 ( ) B.为增函数,且最大值为-5 D.为减函数,且最大值为-5 ) B.最大值 0,最小值-4 D.最大值、最小值都不存在 ( ) D.f(1)<f(-1)<f(2)

A.为增函数,且最小值为-5 C.为减函数,且最小值为-5 8.函数 y=|x-3|-|x+1|有( A.最大值 4,最小值 0 C.最大值 4,最小值-4

9.已知函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的对称轴为直线 x=1,则 A.f(-1)<f(1)<f(2) 二、填空题 10.函数 y=-x2-10x+11 在区间[-1,2]上的最小值是________. B.f(1)<f(2)<f(-1)

C.f(2)<f(-1)<f(1)

11.已知函数 f(x)在 R 上单调递增,经过 A(0,-1)和 B(3,1)两点,那么使不等式|f(x+1)|<1 成立的 x 的集合 为________. 12.如果函数 f(x)=-x2+2x 的定义域为[m,n],值域为[-3,1],则|m-n|的最小值为________. 三、解答题

13.求函数 f(x)=-x2+|x|的单调区间.并求函数 y=f(x)在[-1,2]上的最大、小值.

14.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足 1 ? ?400x-2x2(0≤x≤400), 函数:R(x)=? 其中 x 是仪器的月产量. ? ?80000 (x>400), (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

x2+2x+3 15.已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)证明函数 f(x)为增函数. (2)求 f(x)的最小值.

1.[答案] A [解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最小者. 当 1≤x≤2 时,8≤2x+6≤10,

当-1≤x≤1 时,6≤x+7≤8. ∴f(x)min=f(-1)=6, f(x)max=f(2)=10. 故选 A. 2.[答案] A [解析] 3. [答案] C [解析] 设公司在甲地销售 x 辆(0≤x≤15,x 为正整数),则在乙地销售(15-x)辆, ∴公司获得利润 L=-x2+21x+2(15-x) =-x2+19x+30. ∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元. 故选 C. [点评] 列函数关系式时,不要出现 y=-x2+21x+2x 的错误. 4.[答案] A [解析] ∵a+b>0 ∴a>-b 且 b>-a,又 y=f(x)是增函数 ∴f(a)>f(-b) 且 f(b)>f(-a)故选 A. 5. [答案] D [解析] ∵f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2 在[1,2]上是减函数,∴a≤1, a 又∵g(x)= 在[1,2]上是减函数, x+1 ∴a>0,∴0<a≤1. 6. [答案] D 3x+2 3(x-2)+8 8 8 [解析] y= = =3+ ,由于 ≠0,∴y≠3,故选 D. x-2 x-2 x-2 x-2 7. [答案] B [解析] 由题意画出示意图,如下图,可以发现函数 y=f(x)在区间[-7,-3]上仍是增函数,且最 大值为-5.
?x2 ? y=? 2 ?-x ?

x≥0 x<0

,故选 A.

8. [答案] C [解析] y=|x-3|-|x+1| -4 (x≥3) ? ? =?2-2x (-1<x<3) ? (x≤-1) ?4

,因此 y∈[-4,4],故选 C.

9. [答案] B [解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线 x=1,所以 f(-1)=f(3). 又函数 f(x)的图象为开口向上的抛物线,知 f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,故 f(1)<f(2)<f(3)=f(-1).故选 B. 10. [答案] C [解析] ∵y≥0,∴y= 1-x+ x+3 = 4+2 (x+3)(1-x) (-3≤x≤1), m 2 ∴当 x=-3 或 1 时,ymin=2,当 x=-1 时,ymax=2 2,即 m=2,M=2 2,∴ = . M 2 11. [答案] -13 [解析] 函数 y=-x2-10x+11=-(x+5)2+36 在[-1,2]上为减函数,当 x=2 时,ymin=-13. 12. [答案] {x|-1<x<2} [解析] 由|f(x+1)|<1 得-1<f(x+1)<1,即 f(0)<f(x+1)<f(3),∵f(x)在 R 上是增函数, ∴0<x+1<3∴-1<x<2 ∴使不等式成立的 x 的集合为{x|-1<x<2}. 13. [答案] 2 [解析] ∵f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当 m≤x≤n 时,-3≤y≤1,∴1∈[m,n], 又令-x2+2x=-3 得,x=-1 或 x=3, ∴-1∈[m,n]或 3∈[m,n], 要使|m-n|最小,应取[m,n]为[-1,1]或[1,3],此时|m-n|=2. 14. [解析] 由于函数解析式含有绝对值符号,因此先去掉绝对值符号化为分段函数,然后作出其图象,由图象 便可以直观地判断出其单调区间.再据图象求出最值.
?-x2+x(x≥0) ? ①∵f(x)=-x2+|x|=? 2 ? ?-x -x(x<0)

?-(x-2) +4 即 f(x)=? 1 1 ?-(x+2) +4
2 2

1

1

(x≥0) (x<0)

作出其在[-1,2]上的图象如右图所示 1 1 1 1 由图象可知,f(x)的递增区间为(-∞,- )和[0, ],递减区间为[- ,0]和[ ,+∞). 2 2 2 2 1 1 1 ②由图象知:当 x=- 或 时,f(x)max= ,当 x=2 时,f(x)min=-2. 2 2 4 15. [解析] (1)设月产量为 x 台,则总成本为 u(x)=20000+100x,从而 f(x)=R(x)-u(x), 1 ? ?-2x2+300x-20000(0≤x≤400), 即 f(x)=? ? ?60000-100x (x>400). 1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25000, 2 ∴当 x=300 时,有最大值 25 000;当 x>400 时,f(x)=60000-100x 是减函数,f(x)<60000-100×400=20

000.∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000. 答:每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元. 3 16. [解析] 将函数式化为:f(x)=x+ +2 x ①任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 3 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1- ). x1x2 ∵x1<x2, ∴x1-x2<0, 3 又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1- >0. x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即:f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 ②当 x=2 时,f(x)有最小值 . 2


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