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必修2:2.1平面,共3课时


第 1 课时 一、教学目标:

§2.1.1

平面

(一)知识目标:1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的 “平面” [来源:Zxxk.Com]
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2.理解平面的无限延展性 3.理解公理 1、2、3

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(二) 能力目标:1.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系
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2 初步掌握文字语言、 图形语言与符号语言三
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种语言之间的转化 3.初步应用公理 1、2、3 解决简单的点、线 共线共面问题 (三)情感目标:1.提高空间想像能力 2.通过图形、符号、语言的转换体 会数学的 美,激发学习兴趣 二、教学重点、难点 (一)重点:平面基本性质的三个公理 (二)难点:1.三种语言的转化 2.三个公理的简单应用 三、教 具:多媒体、实物投影仪
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四、教学过程 (一)课题导入

在初中,我们主要 学习了平面图形的性质 平面图形就是由同一
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平面内的点、线所构成的图形 平面图形以及我们学过的长方体、
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圆柱、圆锥等都是空间图形,空间图形就是由空间的点、线、面 所构成的图形 这节课我们就来认识够构成这些空间图形的基本
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元素及它们之间的关系和简单性质 (二)新知探研 1.平面的两个特征:①无限延展 学科网] 平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性
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②平的(没有厚度)[来源:

一个平面把空间分成两部分,一条直线把平面分成两部分

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2.平面的画法及其表示方法: ①在立体几何中, 常用平行四边形表示平面 当平面水平放置
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时,通常把平行四边形的锐角画成 45? ,横边画成邻边的两倍 画
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两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应 把被遮住的部分画成虚线或不画 [来源:学&科&网]
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②一般用一个希腊字母 ? 、 ? 、 ? ??来表示,还可用平行 四边形的对角顶点的字母来表示如平面 ? ,平面 AC 等 ③两个相交平面: 画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮 住,
β α B α A 图 2 A β α B β a A α a β B
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应 把 被 遮住 的线段画成

部 分

虚线或不画(如图 2)

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4 空间图形是由点、线、面组成的
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空间图形的基本元素是点、直线、平面 从运动的观点看,点
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动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因 此它们之间的关系除了用文字和图形表示外, 还可借用集合中的 符号语言来表示 规 定直线用两个大写的英文字母或一个小写的
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英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个 小写的希腊字母表示
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点、线、面的基本位置关系如下表所示:

集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关 系, “ ? ”和“ ? ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平 面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语 言 a ? ? (平面 ? 外的直线 a )表示 a ? ? (平面 ? 外的直线 a )表
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示 a ?? ? ? 或 a ?? ? A
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54 平面的基本性质 立体几何中有一些公理, 构成一个公理体系. 人们经过长期 的观察和实践,把平面的三条基本性质归纳成三条公理. 公理 1 如果一条直线的两点在一 内,那么这条直线在此这个平面内 推理模式:
A ?? ? ? ? AB ? ? . B ?? ?
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个 平 面

?

A B

如图示:

或者:∵ A ?? , B ?? ,∴ AB ? ? [来源:学,科,网] 应用:这条公理是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证 一个面是否是平面,如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥 浆.[来源:学&科&网] ①判定直线在平面内;②判定点在平面内 模式: ?
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?a ? ? ? A ?? . ?A? a

公理 1 说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来 刻划平面的“平” ,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无 限延展性” ,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

公理 2
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经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

A, B, C 不共线? 推理模式: A, B, C ? ? ? ??? 与? A, B, C ? ? ? ?

重合

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或者:∵ A, B, C 不共线,∴存在唯一的平面 ? ,使得 A, B, C ?? . 应用:①确定平面;②证明两个平面重合
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“有且只有一个”的含义分两部分理解, “有”说明图形存 在,但不唯一, “只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但 不保证符合条件的图形存在, “有且只有一个”既保证了图形的 存在 性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中, “确定 一个” , “可以作 且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词, 因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一 性”两方面来论证.

实例:(1)门:两个合页,一把锁 ;(2)摄像机的三角支架;(3) 自行车的撑脚
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公理 2 及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面 位置的方法与途径, 而确定平面是将空间问题转化为平面问题的 重要条件, 这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充 分使用平面几何的知识来解决, 是立体几何中解决相当一部分问 题的主要的思想方法. 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公 点 , 那么它们有且只有这些公共点的集合是 条过该点的公共直线 推理模式:
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共 一

A ?? ? ? ? A?l ? ? ? ? A? ? ?

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如图示:

或者:∵ A ?? , A ? ? ,∴ ? ? ? ? l , A ? l 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上
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公理 3 揭示了两个平面相交的主要特征, 是判定两平面相交 的依据,提供了确定两个平面交线的方法.

第二课时 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教学目标:

1、知能目标 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、情感目标 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性, 提高学生的学习兴 趣。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较 好地完成本节课的教学目标。[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 2、教学用具:多媒体、长方体模型、三角板 四、教学过程[来源:Z+xx+k.Com] (一)课题导入 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异 面直线的概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直 线。

2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下 三种关系:
共面直线

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线:

不同在任何一个平面内,没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点, 作图时通常用一个或两个 平面衬托,如下图:

2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行。在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性 质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(多媒体) 例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P50 探究 让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P51 思考
=>a∥c

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两 组角的大小关系如何? 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180
0

教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中 来。 4、以教师讲授为主,师生共同交 流,导出异面直线所成的角的 概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直 线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫 异面 直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上;
?? ② 两条异面直线所成的角θ ∈ ? ? 0, ?
? 2?

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直 线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线

所成的角。 (3)例 3 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角, 从而巩固了 所学知识。 (三)课堂练习 教材 P53 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 (四)课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? (五)课后作业 1、判断题: (1)a∥b (1)a⊥c 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。 3、P56 习题 2.1A 组 6 [来源:学。科。网] 第三课时§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之 间的位置关系 c⊥a => c⊥b b⊥c => a⊥b ( ( ) )

一、教学目标: 1、知能目标 (1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)了解空间中平面与平面的位置关系; (3)培养学生的空间想象能力。 二、教学重点、难点 重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较 好地完 成本节课的教学目标。 2、教学用具:多媒体、长方体模型 四、教学思想 (一)课题导入 教师以生活中的实例以及课本 P53 的思考题为载体,提出了:空 间中直线与平面有多少种位置关系?(板书课题) (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出 直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点

指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

例 4(多媒体展示)[来源:学科网 ZXXK] 师生共同完成例 4 例 4 的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活 实例以及对长方体模型的观察、思考,准确 归纳出两个平面之间有两种位置关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关 系用图形表示为

α

L

β

α

β

[来源:学科网]

α ∥β

α ∩β = L

教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个 平行四边形的对应边平行。 教材 P55 让学生独立思考,稍后教师作指导,加深学生对这两种位置关系 的理解 教材 P55 习 学生独立完成后教师检查、指导 (三)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识 的层次。 (四)作业 1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P56 习题 2.1 A 组第 4 题


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