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福建省厦大附中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案


厦大附中 2014-2015 学年第一学期期中考试 高二数学(理科)试卷题
考试时间:120 分钟 试卷总分 150 分

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.命题“ ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5≤0 ”的否定是( A. ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 2.抛物线 x 2 A. x ? ) B. ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5≤0 D. ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5≤0 ( ).

? ?8 y 的准线方程是

1 1 B. y ? 2 C. y ? D. y ? ?2 32 32 3. 某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 80 km/h 的汽车视为“超速”,并将

受到处罚.如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结 果的频率分布 直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( A.20 辆 B.40 辆 C.60 辆 ) D.80 辆

4.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( 4 5


5 x 5 2 5 x 5

y?? A.

5 x 4

y?? B.

5 x 2

y?? C.

y?? D.

5.如图所示,在边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形 2 中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为( 3 4 A.3 8 B.3 2 C.3 1 D.3 )

(第 5 题)

6 .如果方程 ( ) A. 3 ? m ? 4

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 4?m m?3

B. m ?

7 2

C.

7 ?m?4 2
1

D. 3 ? m ?

7 2

,1) 为中点作抛物线的弦,则这条弦所在直线的方程 7. 已知抛物线 y 2 ? 4x ,以 (1

为(

) B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0

A. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

8. 已知动圆 C 与圆 C1 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 9 和圆 C2 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 25 都外切 , 则动圆 圆心 C 的轨迹是 A.圆 ( ) B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支

9. M 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,F是焦点,P(5,4) 是定点,则当 MP ? MF 取 最小值时点 M 的横坐标是( A. 2 B. 4 ) C. 6 D. 8

x2 y 2 10.已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1、F2 为边作正 a b
三角形 MF1F2 ,若 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( A. 4 ? 2 3 B. )

3 ?1

C.

3 ?1

D.

3 ?1 2

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中 点 M 的横坐标为 2 ,则 | AB | 等于 .

y2 x2 12. 已知椭圆 + =1 的两个焦点是 F1、 F2,点 P 在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2, 2 4

则△PF1F2 的面积是

.

13.已知点 A(0,-1),当点 B 在曲线 y=2x2+1 上运动时,线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是____________.
2 14.已知 p : x ? x ? 2 ? 0 , q : x ? a ,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范

围是

.

15.已知两个点 M(-5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P,使|PM|-|PN|=6,则称该

2

直线为“B 型直线”, 给出下列直线: ①y=x+1; ② 中为“B 型直线”的是

y?

4 x 3 ; ③y=2; ④y=2x+1. 其

. (填上所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. (本小题 13 分) 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 是 y ? ? 3x , 且 双 曲 线 过 点

?

2, 3

?
? 的直线交双曲线于 A, B ,求 | AB | . 4

(Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)过双曲线右焦点 F 作倾斜角为

17. (本小题 13 分)
x2 y 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :关于 X 的 已知命题 p :方程 ? 2 m

方程 x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 无实根,若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题, 求实数 m 的取值范围.

18. (本小题 13 分) 某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个球的抽奖箱中,每次 取出后放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等 于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖。 (1)求中二等奖的概率; (2)求未中奖的概率。

19. (本小题 14 分) 已知顶点在坐标原点,焦点为 F (1, 0) 的抛物线 C 与直线 y ? 2 x ? b 相交于
3

A, B 两点, | AB |? 3 5 .

(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求 b 的值; (3)当抛物线上一动点 P 从点 A 到 B 运动时,求 ?ABP 面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分)
? 1) 已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为 A( 0 , ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3 .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在斜率为 k (k ? 0) ,过定点 Q(0,2)的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不 同的点 M ,N ,且 AM ? AN ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :
x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(1, ) ,其焦距为 2 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 其上一点 A( x0 , y0 ) 处的切线方程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则椭圆在 a 2 b2

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 ,试运用该性质解决以下问题: a2 b

(i)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分 别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值;
x2 y 2 ? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 (ii)如图(2 ) ,过椭圆 C2 : ? 8 2
PN ,切点分别为 M , N .当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN

相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

4

y
D B

y P M
O

N x

O

C

x

图(1)

图(2)

高二期中考数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分) 题号 答案 C 1 B 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 7 D 8 B 9 C 10

二、填空题(每小题4分,共20分)

11.
①③

6

12.

2

13.

y ? 4x2

14.

a ?1

15.

三.解答题: (本大题共6小题,共80分. ) 16.解:(1)设双曲线方程为: 3x 2 ? y 2 ? ? ,点 所以所求双曲线方程为: x ?
2

?

2, 3 代入得: ? ? 3 ,

?

y2 ?1 3

(2)直线 AB 的方程为: y ? x ? 2 , 由?

?y ? x ? 2 ?3x ? y ? 3
2 2

得: 2 x ? 4 x ? 7 ? 0 ,
2

? | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 ?
17.

72 ?6. 2

5

18.解: (1)记试验的基本事件为(x,y),x,y 分别表示第一次和第二次取到的编号,则所 有基本事件为 (0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3, 3)共 16 个, 设“中二等奖”的事件为 A,其中事件 A 包含基本事件 (1,3), (2, 2), (3,1) 共 3 个,

P ( A) ?

3 ———6 分 16

(2)设“未中奖”的事件为 B , “两个小球号码相加之和等于 3”这一事件包括基本事件

(0,3),(1, 2)(2,1),(3,0) 共 4 个, “两个小球号码相加之和等于 5”这一事件包括基本事
件 (2,3),(3, 2) 共 2 个

3 4 2 7 \ P ( B ) = 1- P ( B ) = 1- ( + + )= ——————12 分 16 16 16 16
答:略——————13 分 19. 解: (1)设所求的抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,根据题意
2

p ? 1,? p ? 2 2

∴所求的抛物线标准方程为 y ? 4 x . (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),
2

????2 分

由?

? y ? 2x ? b ? y ? 4x
2
2

得 4x +4(b-1)x+b =0,
2

2

2

????3 分 ????5 分

1 . 2 b2 又由韦达定理有 x1+x2=1-b,x1x2= , 4
Δ =16(b-1) -16b >0. ∴b ?
2 2 ∴ AB = 1 ? 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 5 ? 1 ? 2b ,

????7 分 ????8 分

即 5(1 ? 2b) ? 3 5 .

b ? ?4 . ∴

6

20. 解: (I)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F (c, 0) , 2 a

由题设:

|c?2 2 | ? 3 ,解得: c ? 2,?a ? 3 , 2
??? 4 分

x2 ? y2 ? 1 . 故所求椭圆的方程为 3
(II)设存在直线符合题意,直线方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程得:

(3k 2 ? 1) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 ,
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) 为弦 MN 的中点,则

??? 6 分

?? ? 144k 2 ? 36(3k 2 ? 1) ? 0 2 由韦达定理得: ? ,? k ? 1 ? 12k ? x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 ?

?? 8 分

? x0 ? ?

6k 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 , 2 3k ? 1 3k ? 1

??9 分

因为 AM ? AN ,? AP ? MN

?

y0 ? 1 ? k ? ?1 x0

? k ? ?1

?11 分

不符合 ? ? 0 ,所以不存在直线符合题意.

? 13 分

21. (I) 解: 依题意得: 椭圆的焦点为 F 由椭圆定义知: 2a ?| AF1 | ? | AF2 | 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,

? a ? 2, c ? 1?b ? 1
x2 ? y 2 ? 1. 2











C1









????? 4 分

7

(II) (ⅰ )设 B( x2 , y2 ) ,则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 令

x?0



yD ?

1 y2





x2 x ? y2 y ? 1 2 2 , y ? 0, xC ? x2





S?OCD ?

1 x2 y2

????? 5 分
2

x 2 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以 x2 ? 0, y2 ? 0, 2 ? y2 ? 1 2

x x 2 2 ?1 ? 2 ? y2 ? 2 2 y2 ? 2 x2 y2 2 2
?? 7 分

2

2

???

? S?OCD

x 1 1 2 2 ,当且仅当 2 ? y2 ? x2 ? 2 y2 ? 1 ? ? ? 2 x2 y2 2 2
2 ) 时 , 三 角 形 2
OCD 的 面 积 的 最 小 值 为

2

所 以 当 B (1,

2

????? 9 分

(Ⅲ)设 P(m, n) ,则椭圆 C1 在点 M ( x3 , y3 ) 处的切线为: 又 PM 过点 P(m, n) , 所以 所以 M , N 都在直线

x3 x ? y3 y ? 1 2

x x3 m ? y3 n ? 1 , 同理点 N ( x4 , y4 ) 也满足 4 m ? y4 n ? 1 , 2 2
y P

x m ? yn ? 1 上, 2 m 即:直线 MN 的方程为 x ? ny ? 1 2
所以原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

?????12 分

M
O

N

1 m2 ? n2 4

?

2 ,???? 13 分 2

所以直线 MN 始终与圆 x ? y ?
2 2

1 相切. 2

????? 14 分

8


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